高中数学等比数列知识点总结（精选20篇）
1.等比数列的有关概念
(1)定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q为非零常数).
(2)等比中项：
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的`等比中项.即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab.
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式：an=a1qn-1.
3.等比数列{an}的常用性质
(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a.
特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….
(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.
4.等比数列的特征
(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数.
(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
5.等比数列的前n项和Sn
(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.
1.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
有关系：
注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
2.等比数列通项公式
an=a1_q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)
an=Sn-S(n-1)(n≥2)
前n项和
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)
当q=1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=na1
3.等比数列前n项和与通项的关系
an=a1=s1(n=1)
an=sn-s(n-1)(n≥2)
4.等比数列性质
(1)若m、n、p、q∈N_，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;
(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
(4)等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)
(6)任意两项am，an的关系为an=am·q’(n-m)
(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。
注意：上述公式中a’n表示a的n次方。
等比数列求和公式
q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)
q=1时，Sn=na1
(a1为首项,an为第n项,d为公差,q为等比)
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。注：q=1时，{an}为常数列。利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。
等比数列求和公式推导
Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)
Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)
a(n+1)=a1qn
Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)
(1)直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数;若f￠(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;f￠(x)2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}
4、集合的分类：
1.有限集含有有限个元素的集合
2.无限集含有无限个元素的集合
3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系子集
注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA
2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设A={x|x2-1=0}B={-11}“元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
①任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果A?BB?C那么A?C
④如果A?B同时B?A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做AB的交集.
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做AB的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.
3、交集与并集的性质：A∩A=AA∩φ=φA∩B=B∩A，A∪A=A
A∪φ=AA∪B=B∪A.
4、全集与补集
(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)
记作：CSA即CSA={x?x?S且x?A}
(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
(3)性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
1.定义法：
判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可.
2.转换法：
当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断.
3.集合法
在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：
若A∩B，则p是q的充分条件.
若A∪B，则p是q的必要条件.
若A=B，则p是q的充要条件.
若A∈B，且B∈A，则p是q的既不充分也不必要条件.
数学教研组韩婷老师代表自治区参加全国第六届高中数学优质课比赛获得一等奖的好成绩，韩婷老师优异的表现，充分展现了六盘山高中青年教师的活力和风采，体现了她扎实的教学功底和良好的数学素养，受到评委及来自全国各地听课教师的一致好评。该成绩的取得，除了韩婷老师自身的努力外，更是全数学教研组团结协作，精心打造的结果，是全体数学教师集体智慧的结晶。从参加自治区优质课选拔开始并获自治区一等奖，到参加全国比赛，前后一年时间，全组教师，特别是高二备课组教师，积极参与到听课、评课中献计献策，反复修改、打磨、完善，不仅使韩婷老师的课更加精湛，同时也提升了整个教研组的课堂教学能力。希望全组教师以此为契机，鼓舞士气，振奋精神，扎实工作，勤于钻研，不断提升自己的教育教学水平，为我校的繁荣发展发挥自己的聪明才智！
本次活动受到全国高中数学教师、数学教研部门、各会员单位的高度重视，来自全国除西藏、港澳台以外的所有省、直辖市、自治区，行业的近93名代表参加了本次活动，覆盖范围广，参与热情高。各会员单位做了大量前期工作，很多会员单位从两年前就开始布置、落实本项活动，把工作细化在过程中，积极组织当地广大高中青年数学教师参与观摩活动，引领广大教师交流教学经验，以观摩与评比活动带动课堂教学研究，在研究中不断深化课堂教学改革，切实提高课堂教学质量和效益。
本次大会的协办方卡西欧(上海贸易有限公司)、《中国数学教育》《数学周报》社为本项活动提供了资金、技术、奖品以及人力、物力的大力支持。
各位参赛选手付出了巨大的智力劳动，承受了巨大的心理压力，为本次活动做出了特殊的贡献。在教师专业化成长的道路上迈出了重要而坚实的一步。
由于本次活动组织方式的改变，对评委提出了高要求。各位评委不仅要事先对参赛选手的教学设计、教学设计说明和课堂实录进行仔细阅读、观摩，在现场还要聚精会神地观察选手的表现，根据参赛选手的预设和现场生成，做出评判，并给出点评。这项活动汇集了我国高中数学教学最前沿的教改、教研信息，展示了我国目前高中课程改革中取得的最新成果，反映了全国高中数学教育教研的前沿动态。
一、本次活动的基本成绩
1.关于活动满意度的调查。以问卷的方式，对本次活动的现场满意度作了调查：
参会代表最感兴趣的环节：选手讲述4.9%，代表互动16.5%，评委点评78.6%。这一组数据表明，广大观摩代表对评委会的期望值很高。
2.本次活动涉及的教材版本有人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、上海版、人教大纲版。版本的多样化从一个侧面反映了本次活动的代表性和广泛参与性。
3.内容覆盖了高中课程的所有板块，有大量的概念课，这是非常好的现象。概念教学是我国数学课堂的薄弱环节，加强研究很有必要。另外，有些选手选择了一些难点课题开展教学研究，例如概率、统计中的一些概念课，这是当前需要重点研讨的，体现了选手能迎难而上。
4.各位参赛选手在理解教学内容上下了很大功夫，与往届比较，在数学理解水平上有了很大长进。
5.学生主体意识进一步加强，注重精心设计学生活动，采取问题引导学习的方式，让学生带着问题开展探索活动。
6.教学过程中，能自觉注意根据学生的认知规律安排教学活动。特别值得一提的是，许多参赛教师都能注意根据概念教学的基本规律安排教学进程，注意通过具体事例的归纳、概括活动得出数学概念。
7.信息技术与数学教学整合的水平进一步提高，大部分教师都能做到恰当使用信息技术，帮助学生理解数学内容。
8.现场互动充分，评委事先观看了各位选手提供的完整的课堂录像，预先写好了点评提纲，并结合每一位选手的现场表现给予认真点评。代表的参与程度高，现场气氛热烈。摆事实、讲道理、亮观点的互动原则得到贯彻。
二、几个需要进一步思考的问题
1.正确理解“三维目标”
在参赛选手提供的教学设计中，教学目标的表述不尽一致。许多老师采用了“三维目标”分别阐述的方式呈现目标。
从积极的方面看，老师们已经注意到教学目标必须反映内容特点，关注到显性目标与隐性目标的不同。但这样的表述，除了目标分类不准确、表达不确切(如把“由一般到特殊、由特殊到一般”的逻辑思考方法不恰当地归入情感领域，把“培养学生积极严谨的学习态度和勇于探索的求知精神”这样的“放之四海而皆准”的目标作为一堂课的目标。)等“技术性”问题外，最大的问题是混淆了课程目标与课堂教学目标的关系。
“三维目标”是课程目标而不是课堂教学目标。“三个维度”具有内在统一性，都指向人的发展，它们交融互进。“知识与技能”只有在学生独立思考、大胆批判和实践运用中，才能实现知识的意义建构;“情感、态度与价值观”只有伴随着学生对数学知识技能的反思、批判与运用，才能得到升华;“过程与方法”只有学生以积极的情感、态度为动力，以知识和技能目标为适用对象，才能体现它的存在价值。
“三维目标”是中学课程目标的.整体设计思路，反映了一个学习过程中的三个心理维度，但不是教学目标的维度。在制定教学目标时简单地套用“三个维度”将使课堂不堪重负。
教学目标取决于教学内容的特点，要在“三个维度”的指导下，综合考虑高中阶段的数学教学目的、内容特点和学生情况来确定。课堂教学不是为了体现课程目标的“三个维度”而存在的，而是要具体而扎实地把数学课程内容传递给学生，要以数学知识教学为载体来促进学生的发展，这样才能真正实现“数学育人”。
因此，一堂数学课的教学目标，应当是以数学知识、技能为载体，在教学过程中开展数学思想、方法的教学，渗透情感、态度和价值观的教育。只有在正确理解教学内容的基础上，才能制定出恰当的教学目标。
2.围绕概念的核心展开教学
一段时间以来，大家对数学教学的有效性开展了大量研究。如果在网上以“有效教学”为关键词搜索，那么有效教学的论文数以万计，还有许多理论专著，有效教学研究可谓一片繁荣。然而，与之形成鲜明对照的是课堂教学的低效甚至无效。看来，“有效教学”的研究也有“无效”之虞。到底怎样才能实现课堂教学的有效性?我认为，只有围绕数学概念的核心展开教学，在概念的本质和数学思想方法的理解上给予点拨、讲解，让学生在理解概念及其反应的数学思想和方法的基础上，对细节问题、变化的问题进行深入思考，这样才能实现有效教学。因为概念的核心、思想方法是不容易把握的，这是教师发挥主导作用的重点所在;具体细节正好是锻炼学生应用概念解决问题的机会，是促进学生理解概念的平台。那种事无巨细、包打天下的做法，要把所有细节、变化都在课堂上讲完练完的企图，最终只能把关键、重点、核心淹没在细节的海洋中，不仅教学效果不佳，而且导致学生负担沉重。
3.把引导学生提出问题作为重要教学内容
虽然老师们已经意识到，课堂教学中必须注意教师主导取向的讲授式与学生自主取向的活动式的结合，而且注意使用“问题引导学习”的教学，但学生只有回答老师提问的机会而没有提出问题的机会的做法仍需要进一步改进。教师要给学生以提问的示范，目的是使学生“看过问题三百个，不会解题也会问”。要把引导学生提问，使学生在独立思考后提出有质量的数学问题作为学生活动的重要内容。那种“构建模型我来干，你要做的就是算”的做法，挤压了学生独立思考的空间，剥夺了学生实质性思考的机会。
如何实现“让学生提问”呢?我认为，如果注意“先行组织者”的使用，在研究方法上多加指导，给学生提供类比的对象和方法，就能使学生自己提问。
4.“概念+数学思想方法”PK“题型+技巧”
在我们的数学课堂中，解题教学历来是重点、核心。教师常常把注意力集中在“题型”及其技巧上，许多老师分不清技巧与思想方法的界限，错误地把技巧当成思想方法，而且往往把技巧直接告诉学生，再让学生通过模仿训练记住技巧，而对技巧的来龙去脉则语焉不详特别是对蕴含于数学知识中的数学思想方法教学，因其是一种潜移默化、润物无声的“慢工”，被有些老师判为“不实惠”而得不到应有的渗透、提炼和概括。结果是在稍有变化的情境中，因为没有数学思想方法的支撑，“特技”失灵，“动作”变形，灵活应用数学知识解决问题的能力成为“泡影”。在“能力立意”的高考中出现“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”的结局就不足为奇了。
实际上，技巧往往是“可以意会不可言传”的，是不可复制的，而且掌握技巧需要付出大量时间、精力的代价，这是得不偿失的。大众数学教育是普及性的，目的是培养公民的基本数学素养，就像平时锻炼身体不需要专业运动技巧一样，并不需要太多高超的解题技巧，教学时也很难用富有启发性的语言予以传授。因此，技巧，雕虫小技也，不足道也！概念及其蕴含的思想方法才是根本大法！我们要强调数学知识及其蕴含的思想方法教学的重要性，无知者无能，在对数学知识没有基本理解时就进行解题训练是盲目的，也是注定低效的。解题训练应针对概念的理解和应用，要让学生养成从基本概念出发思考问题、解决问题的习惯。另外，解题的灵活性来源于概念的实质性联系，技巧是不可靠的，因此要加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。
5.怎样进行“思维的教学”
众所周知，数学是思维的科学，数学是思维的体操。数学教学的核心任务之一是要培养学生的思维能力，使学生在掌握数学基础知识的过程中，学会感知、观察、归纳、类比、想象、抽象、概括、推理、证明和反思等逻辑思考的基本方法。从课堂教学现状看，许多老师还没有掌握“思维的教学”的基本方法，不能有效地抓住“思维的教学”的时机。
思维发展心理学的研究表明，概括是人们掌握概念的直接前提;概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度、创造程度等思维品质的基础;概括是科学研究的关键机制;学习和应用知识的过程也是概括的过程;数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能力的训练是数学思维能力训练的基础;概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的基础。因此，“思维的教学”的基本方法是以数学知识的发生发展过程为载体，为学生的概括活动搭建平台，千方百计地给学生提供概括的机会，锻炼学生的概括能力，使学生学会概括。特别要注意在概括的关键环节上放手让学生自主活动。
顺便提及，要搞好“思维的教学”，关键是教师自己先要理解好数学内容的本质，教师自己要成为善于思考者。
6.如何进行课堂小结
从本次活动中发现，课堂小结问题还有进一步研究的必要。许多老师在小结时的第一个问题是“通过今天的学习，你有哪些收获?”这样的问题过于宽泛，学生的回答往往是“使我知道了数学与现实生活是紧密联系的”，“数学是有趣的”，“数学奇妙无穷的”，“我学会了数形结合思想”……大话、空话、套话甚至是假话满天飞，这种没有以本课内容为载体的“收获”是虚无飘渺的。
小结的主要任务是归纳本课内容，提炼思想方法，总结学习经验。要提高小结环节的教学立意，应当围绕本课的内容及其反应的数学思想方法，以知识的发生发展过程为线索展开，通过小结使学生头脑中形成关于本课内容的一个清晰的知识结构(包括相关知识的联系)。特别是，要把认识数学对象的“基本套路”、解决问题的“基本思路”等纳入其中。另外，在总结“学到了什么”的同时，还要总结“哪些地方没有学好、没学会”。
7.充分认识教材在教学中的地位
当前，教师误解“用教材教”“创造性地使用教材”的课改理念，不下功夫深入研读教材，在没有准确理解教材编写意图的情况下就随意地删减、补充或更改教材内容，有的甚至轻率地脱离教材进行教学，以那些粗制滥造的教辅资料为依据进行教学。这样做的结果是使教学失去基本依据，数学课堂变得没有章法。这种做法，只考虑“应试”而不顾学生的可持续发展，不重视教材，不要求学生精心阅读课本，把大部分时间花费在做教辅资料的题目上，已经导致学生会解题但不会提问，会模仿解题技巧而不会读书、不会独立思考。因此，这种局面必须引起我们的高度警觉，并下大力气扭转。作为优秀教师，应当注意到：
第一，一定要正确理解“用教材教”“创造性地使用教材”的内涵。这是针对“照本宣科”而言的，绝对不是提倡“脱离教材”搞教学。
第二，教材的“基础性”与高考的“选拔性”确有一定的目标差异，但学好教材一定是高考取得好成绩的前提，教师的主要精力应放在帮助学生熟练掌握教材内容上。
第三，理解教材是当好数学教师的前提，而“理解教材”的第一要义是“理解数学”。了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等都是教师的基本功。
第四，要仔细分析教材编写意图。教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的。因此，在处理教材时，内容顺序的调整要十分小心(否则容易导致教学目标的偏离)，例子可以根据学生基础和当地教学环境替换，但所换的例子要反映教科书的意图，要能承载书上例子的教学任务。
三、结束语：把教研作为一种生活方式
本项活动在我国中学数学教育界具有很大影响力，已成为研究课堂教学问题，探讨课堂教学规律，提高课堂教学质量和效益，促进教师专业化发展的重要平台。“重在参与，重在过程，重在交流，重在研究”的活动宗旨深入人心。我们欣喜地看到，本项活动模式上不断创新，质量不断提高。所有这些都得益于大家的共同智慧和创造，得益于各会员单位在准备过程中不断加强和完善过程性、研究性，将本项活动宗旨具体化。在这几天的展示与观摩活动期间，做到了锦上添花，把各地的研究成果充分展示出来，通过现场互动交流，进一步发挥了这些成果的引领、示范作用。
教师专业化发展是一个没有止境的过程，要求广大教师把教学研究作为自己的生活常态甚至是一种生活方式，这是为人师表需要的一种态度，也是教师应具备的一种职业精神。做教研要有“默而识之，学而不厌，诲人不倦”的态度和精神：教研不是为了表演、作秀，要静下心来，心无旁骛，要默默然领会在心，也就是要“默而识之”;教研还要有“学而不厌”的精神，因为它不能让你升官发财，更多的是“枯燥乏味”，甚至费九牛二虎之力而难入其门，很多老师也因此而放弃，但这正是进步的开端，因此做教研要有“面壁十年”的准备;当教师必须有“诲人不倦”的态度，当今的教育，受功利化社会环境的污染，已经忘记了自己“教书育人”的根本职责，家长、社会、行政部门以“教育GDP”(升学率)论英雄，这种社会氛围十分令人生厌。数学教学也不能置身事外，教师为了分数而不得不让学生进行大运动量机械重复训练，而数学的育人本分(培养思维能力、发展理性精神)则被抛到九霄云外，这种没有思想、没有灵魂的教育已经“造就”了大批只会解题不会读书的学生。在这样的环境下，一个真正的数学教师，必须怀有一种菩萨心肠，无私地热爱学生;还要有普度众生的学识、精神、耐心、耐力，不厌其烦地把自己掌握的数学知识和领悟到的思想、精神传递给学生。惟有坚持“诲人不倦”的精神，我们才能在尽教书育人职责的同时，实现自己的人生价值，找到人生乐趣。
愿我们数学教师真心诚意地热爱教研，专心致志地研究教学，在教学过程中，随时随地思考，随时随地发现，随时随地实践，随时随地体验，随时随地领悟，随时随地反省。这是教研的真谛，也是教好书、做好人的真谛。
知识点概述
本节包括集合的概念、集合元素的特性、集合的表示方法、常见的特殊集合、集合的分类和集合间的基本关系等知识点，除了集合的表示方法中的描述法较难理解，其它的都多是好理解的知识，只需加强记忆。
知识点总结
方法：常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算
1、包含关系子集
注意：有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。
反之：集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA
2、不含任何元素的集合叫做空集，记为
规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集
3、相等关系（55，且55，则5=5）
实例：设A={xx2—1=0}B={—11}元素相同
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
常见考点考法
集合是学习函数的基础知识，在段考和高考中是必考内容。在段考中多考查集合间的子集和真子集关系，在高考中也是不可少的考查内容，多以选择题和填空题的形式出现，经常出现在选择填空题的前几小题，难度不大。主要与函数和方程、不等式联合考查的集合的表示方法和集合间的基本关系。
常见误区提醒
1、集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
2、集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。
3、集合的运算注意端点的取等问题。最好是直接代入原题检验。
4、集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征，尤其是确定性和互异性。在解题中，要注意把握与运用，例如在解答含有参数问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因为不满足互异性而导致结论错误。
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集R
1） 列举法：{a,b,c}
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集含有有限个元素的集合
(2) 无限集含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝
二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
B或BA 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x-1=0} B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
nn-1有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集
例题：
下列四组对象，能构成集合的是 A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c }的真子集共有个
3.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .
4.设集合A=xx2，B=a，若AB，则a的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.
7.已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
1）元素的确定性；
2）元素的互异性；
3）元素的无序性。
说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}
1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345}。
2）集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集N_或N+整数集Z有理数集Q实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a：A。
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x—3>2的解集是{x？R|x—3>2}或{x|x—3>2}
4、集合的分类：
1）有限集含有有限个元素的集合。
2）无限集含有无限个元素的集合。
3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝。
二、集合间的基本关系
1、“包含”关系子集
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之：集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA。
2、“相等”关系（5≥5，且5≤5，则5=5）
实例：设A={x|x2—1=0}B={—11}“元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B。
①任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集：如果A？B且A？B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）
③如果ABBC那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3、不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ。
规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1、交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做AB的交集。
记作A∩B（读作”A交B”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}。
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做AB的并集。记作：A∪B（读作”A并B”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}。
3、交集与并集的性质：A∩A=AA∩φ=φA∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=AA∪B=B∪A。
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作：CSA即CSA={x？x？S且x？A}。
（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
（3）性质：⑴CU（CUA）=A⑵（CUA）∩A=Φ⑶（CUA）∪A=U。
时光荏苒，岁月不居，转眼间又是一个学年。送走了老学生，迎来了新 弟子。回忆过去的这一学年，我不得不感叹时间的飞逝和生活的繁忙。正因为这繁忙，才使我感叹教师工作的辛苦，可是，我们的辛苦终将换来硕果累累。那远在海角天涯的问候便是对我们最大的安慰。回忆这一年的工作，总结下来就是这样几个字“愁过，累过，忧过，喜过。”是的，在这一年里，我付出了很多，但我不后悔，因为我的付出取得了满意的成绩。回顾这一年，我将自己的工作总结如下：
一、 师德方面 严于律己，踏实工作。
面对全体学生，一视同仁，不歧视学生，不打骂学生，注意自己的言行，提高自己的思想认识和觉悟程度水平，做到爱岗敬业，学而不厌，诲人不倦，为人师表，治学严谨，还要保持良好的教态。因为我知道，老师的教学语言和教态对学生的学习有直接的影响。老师的教态好，学生就喜欢，他们听课的兴趣就高，接受知识也快。反之，学生就不喜欢，甚至讨厌。所以，注重学生的整体发展，经常的和学生谈心、谈人生。师生关系非常融洽。受到学生的一致认可。他们在背后都叫我“安哥”。
二、 教育教学方面
为了更好的完成高三年级的复课工作，在学期初，我不但制订了严密的工作计划，同时也为自己制定了一学期的奋斗目标。首先，上好一节课的前提是备课，为了备好每节课，我大量的阅读各种复习资料，希望能更加完整并精简的给学生呈现每节课的知识和做题方法。
每天晚上，我都会在网上查阅下节课的相关资料并加以整理。把一节课的内容整理成学生好学易懂的知识，使学生掌握起来很顺手。学生自然也喜欢听课，做起笔记来津津有味。同时，我知道，数学的枯燥乏味是学生听课的最大的障碍。所以，我在业余时间经常看一些课外书籍，并不断思索着把数学知识和实际结合起来讲，在我的课堂上学生很少走神，因为他们喜欢听这样的数学课。他们喜欢这样知识渊博的数学老师。课外，我给学生布置了适合他们的作业，因为我带了一个文科班和一个理科班，所以，不知作业也有所区别。学生能做但不好做。批作业时，我认真看完每本作业，给学生指出作业中存在的问题，我经常是在教室看作业，随时可以给学生纠正作业中存在的问题。让学生当场改正。有利于学生的纠错意识。上自习时，我让我的学生大胆提问，有些学生，一开始还不喜欢问老师题，后来，在我的鼓励下，问问题很活跃。成绩也就慢慢上去了。学生成绩的提高，使我每天疲惫的心里总有那么一点点的高兴。
三，教研方面
因为我是高三年级数学备课组组长，同时也为了更好的指导我的复课工作，我认真研究陕西的高考大纲，并不断的研究新课改地区的高考试题，并将自己看到的一些信息及时的反馈到我的课堂，取得一定的效果，在今年的高考中，我为我的学生争取到了6分的成绩。虽然这分数很少，但是，我已知足。同时，我坚持听课，在听课中学习老教师的经验和新教师的新的思路的方法，我也鼓励同组的老师互相
学习听课，在这里，我不得不提一下我尊敬的两位老师，王北平老师和高天发老师，正是他们的指导使我不断成长。
四，学校工作方面
这一学年，我除了担任高三的数学教学外，还兼任了高三年级的教导副主任，主管学校的分类推进工作，在工作中，我严格按照学校的要求，制定了一学年的分类推进计划，把几乎所有的渴望生都安排在列，同时，自己也按照分类推进的要求对所带班的学生进行了辅导。高考中不但学校的成绩优异，我所带的班级的成绩也很是让我欣慰，两个班的平均成
紧扣新课程标准，在有限的时间吃透教材，分组讨论定稿，每个人根据本班学生情况说课、主讲、自评；积极利用各种教学资源，创造性地使用教材公开轮讲，反复听评，从研、讲、听、评中推敲完善出精彩的案例。实践表明，这种备课方式，既照顾到各班实际情况，又有利于教师之间的优势互补，从而整体提高备课水平。
三。课堂教学，交往互动、共同发展
为保证新课程标准的落实，我们把课堂教学营造成学生主动探索的学习环境，学生在获得知识和技能的同时，在过程方法、情感态度价值观等方面都得到了充分发展，把数学教学变成了师生之间、学生之间交往互动，共同发展的过程。
在平时的教学实践中，我们还注意记下学生学习中的闪光点或困惑，记下自已的所感、所思、所得，积累宝贵的第一手资料。教学经验的积累和教训的吸取，对今后改进课堂教学和提高教学水平十分有用。
课前准备不流于形式，变成一种实实在在的研究，教师的集体智慧得到充分发挥，课后的反思为以后的教学积累了许多有益的经验与启示。 “学生是教学活动的主体，教师成为教学活动的组织者、指导者、参与者。”这一观念的确立，满堂灌的教法就没有了市场。无论是问题的提出，还是已有数据处理、数学结论的获得等环节，都体现学生自主探索研究。突出过程性，注重学习结果更注重学习过程以及学生在学习过程中的感受和体验。学生的智慧、能力、情感、信念水乳交融，心灵受到震撼，心理得到满足，学生成了学习的主人，学习成了他们的需求，学中有发现，学中有乐趣，学中有收获。实践证明：营造情境，培养学生的主动探究精神是探究性学习的新空间、新途径。
四.加快新教师的培养，做学者型教师
通过新老教师结对子等活动，数学组新教师在两位老教师的悉心指导下，通过自身努力，半年时间内在课堂教学的各个方面都取得了长足进步，现在已经能够胜任正常的教育教学工作。新教师的汇报课得到了上级主管领导及校领导的高度评价和充分肯定，多位教师在校内外的优质课比赛中取得优异成绩。每位教师在做好正常教育教学工作的同时，通过多种途径不断学习提高，争做研究性、学者型教师。
第一，全体教师参加宿迁市教育局新课程及研究性学习培训。及时了解高中新课程改革的最新动态，认真研究新课程标准及新教材，立体建构起新课程改革下的数学教学框架，并在以后的教学工作中收到了良好效果。
第二，全体新教师利用节假日参加了由甘谷县教育局组织的教师继续教育培训活动，认真听专家讲座，积极向其他教师学习宝贵经验，提高了自身水平和能力。
第三，走出去引进来。在学校的统一安排下，多人次到甘谷县一中，二中、天水市，兰州市等地听公开课、专家报告和讲座；及时在集体备课活动中与同组成员分享讨论共同提高。
一份耕耘，一份收获，教学工作苦乐相伴。我们将本着“勤学、善思、实干”的准则，一如既往，再接再厉，把教学工作搞得更出色。
★高中数学导数知识点
一、早期导数概念————特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f（A+E）—f（A），发现的因子E就是我们所说的导数f（A）。
二、17世纪————广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的变化率为流数相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。
三、19世纪导数————逐渐成熟的理论1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简单表示{dy/dx）=lim（oy/ox）。1823年柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数如果函数y=f（x）在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后魏尔斯特拉斯创造了ε—δ语言对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式。
四、实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。就历史来看两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年后来极限论就是现在所使用的。光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论都不是最好的手段。
★高中数学导数要点
1、求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf（x）在区间（a，b）内可导，（1）如果恒f（x）0，则函数yf（x）在区间（a，b）上为增函数；（2）如果恒f（x）0，则函数yf（x）在区间（a，b）上为减函数；（3）如果恒f（x）0，则函数yf（x）在区间（a，b）上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf（x）的定义域；②求导数f（x）；③解不等式f（x）0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式f（x）0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数yf（x）在区间（a，b）内可导，
（1）如果函数yf（x）在区间（a，b）上为增函数，则f（x）0（其中使f（x）0的x值不构成区间）；
（2）如果函数yf（x）在区间（a，b）上为减函数，则f（x）0（其中使f（x）0的x值不构成区间）；
（3）如果函数yf（x）在区间（a，b）上为常数函数，则f（x）0恒成立。
2、求函数的极值：
设函数yf（x）在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f（x）f（x0）（或f（x）f（x0）），则称f（x0）是函数f（x）的极小值（或极大值）。
可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：
（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f（x）；（3）求方程f（x）0的全部实根，x1x2xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f（x）和f（x）值的
变化情况：
（4）检查f（x）的符号并由表格判断极值。
3、求函数的最大值与最小值：
如果函数f（x）在定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f（x）f（x0），则称f（x0）为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。
求函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤：（1）求f（x）在区间（a，b）上的极值；
（2）将第一步中求得的极值与f（a），f（b）比较，得到f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值。
4、解决不等式的有关问题：
（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。
f（x）（xA）的值域是[a，b]时，
不等式f（x）0恒成立的充要条件是f（x）max0，即b0；
不等式f（x）0恒成立的充要条件是f（x）min0，即a0。
f（x）（xA）的值域是（a，b）时，
不等式f（x）0恒成立的充要条件是b0；不等式f（x）0恒成立的充要条件是a0。
（2）证明不等式f（x）0可转化为证明f（x）max0，或利用函数f（x）的单调性，转化为证明f（x）f（x0）0。
5、导数在实际生活中的应用：
实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值。在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。
本学期我担任高一（4）班的数学教学工作，一直本着实事求是、脚踏实地的工作原则，圆满完成本学期的教学任务，并在思想水平、业务水平等方面有很大的进步，现就一学期的工作总结如下：
一、思想政治方面
一年来，我积极参加政治学习，政治学习笔记整理的认真细致。我时刻用教师的职业道德要求来约束自己，爱岗敬业，严于律己，服从组织分配，对工作尽职尽责，任劳任怨，注重师德修养。我始终认为作为一名教师应把“师德”放在一个极其重要的位置上，因为这是教师的立身之本。本人奉守“学高为师，身正为范”的从业准则，从踏上讲台的第一天，我就时刻严格要求自己，力争做一个有崇高师德的人。热爱学生，坚持“德育为首，育人为本”的原则，不仅在课堂上坚持德育渗透，而且注重从思想上、生活上、学习上全面关心学生，在学生评教中深受学生的敬重与欢迎。能严格遵守校级校规，严格按照作息上下班，团结同志，能与同事和睦相处。
二、教育教学方面
教学工作是学校各项工作的中心，也是检验一个教师工作成败的关键。
（一）注意培养学生良好的学习习惯和学习方法
学生在从初中到高中的过渡阶段，往往会有些不能适应新的学习环境。例如以往的学习方法不能适应高中的学习，不良的学习习惯和学习态度等一些问题困扰和制约着学生的学习。为了解决这些问题，我从下面几方面下功夫：
1、改变学生学习数学的一些思想观念，树立学好数学的信心
在开学初，我就给他们指出高中数学学习较初中的要难度大，内容多，知识面广，大家其实处在同一起跑线上，谁先跑，谁跑得有力，谁就会成功。对较差的学生，给予多的关心和指导，并帮助他们树立信心；对骄傲的学生批评教育，让他们不要放松学习。
2、改变学生不良的学习习惯，建立良好的学习方法和学习态度
开始，有些学生有不好的学习习惯，例如作业字迹潦草，不写解答过程；不喜欢课前预习和课后复习；不会总结消化知识；对学习马虎大意等。为了改变学生不良的学习习惯，我要求统一作业格式，表扬优秀作业，指导他们预习和复习，强调总结的重要性，让学生写章节小结，做错题档案，总结做题规律等。对做得好的同学全班表扬并推广，不做或做得差的同学要批评。通过努力，大多数同学能很快接受，慢慢的建立起好的学习方法和认真的学习态度。
（二）日常数学教学的方法及对策
1、备课
本学期我根据教材内容及学生的实际情况设计课程教学，拟定教学方法，并对教学过程中遇到的问题尽可能的预先考虑到，认真写好教案。高一虽然已经教过了几轮，但是每一年的感觉都不一样。从不敢因为教过而有所懈怠。我还是像一位新老师一样认真阅读新课标，钻研新教材，熟悉教材内容，查阅教学资料，适当增减教学内容，认真细致的备好每一节课，真正做到重点明确，难点分解。遇到难以解决的问题，就向老教师讨教或在备课组内讨论。其次，深入了解学生，根据学生的知识水平和接受能力设计教案，每一课都做到“有备而去”。 并积极听老教师的课，取其所长，并不断归纳总结经验教训。
2、课堂教学
针对#高中学生特点，坚持学生为主体，教师为主导、教学为主线，注重讲练结合。在教学中注意抓住重点，突破难点。
课堂上我特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生在学习过程中的主动性，让学生学得轻松，学得愉快。在课堂上讲得尽量少些，而让学生自己动口动手动脑尽量多些；同时在每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生学习需求和接受能力，让各个层次的学生都得到提高。同时更新理念，坚持采用多媒体辅助教学，深受学生欢迎。每堂课都在课前做好充分的准备，并制作各种利于吸引学生注意力的有趣教具，课后及时对该课作好总结，写好教学后记。
（三）课后辅导
课后在给学生解难答疑时耐心细致，使学生在接受新知识的同时，不断地对以往的知识进行复习巩固。在“导师制”活动开展后，我负责一年四班x同学的数学学习，除了在课堂上关注她，课后也及时进行交流
一、求导数的方法
（1）基本求导公式
（2）导数的四则运算
（3）复合函数的导数
设在点x处可导，y=在点处可导，则复合函数在点x处可导，且即
二、关于极限
1、数列的极限：
粗略地说，就是当数列的项n无限增大时，数列的项无限趋向于A，这就是数列极限的描述性定义。记作：=A。如：
2、函数的极限：
当自变量x无限趋近于常数时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当x趋近于时，函数的极限是，记作
三、导数的概念
1、在处的导数。
2、在的导数。
3。函数在点处的导数的几何意义：
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，
即k=，相应的切线方程是
注：函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。
例、若=2，则=A—1B—2C1D
四、导数的综合运用
（一）曲线的切线
函数y=f（x）在点处的导数，就是曲线y=（x）在点处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程。具体求法分两步：
（1）求出函数y=f（x）在点处的导数，即曲线y=f（x）在点处的切线的斜率k=
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为x。
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设A={2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的`任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
①任何一个集合是它本身的子集。AíA
②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果AíB,BíC,那么AíC
④如果AíB同时BíA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集
一、高中数列基本公式：
1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=
Sn=
Sn=
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1qn-1an= akqn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);
当q≠1时，Sn=
Sn=
二、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则
4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列仍为等比数列。
7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq;
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
一、函数的有关概念
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意：
1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)
2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的.坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法
常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间
（3）区间的数轴表示. 5.映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）” 对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集. 补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的
任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：
1 任取x，x∈D，且x<x； ○
2 作差f(x)－f(x)； ○
3 变形（通常是因式分解和配方）； ○
4 定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）； ○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.
(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数. （2）.奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○
2确定f(－x)与f(x)的关系； ○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)○
是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数. 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法
2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法
10.函数最大（小）值（定义见课本p36页）
1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○
2 利用图象求函数的最大（小）值 ○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴y
⑵
y2.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _
3.若函数f(x1)的定义域为[2，3]，则函数f(2x1)的定义域是
x2(x1)
4.函数 ，若f(x)3，则x= f(x)x2(1x2)
2x(x2)
5.求下列函数的值域：
⑴yx22x3 (xR) ⑵yx22x3 x[1,2]
(3)yx
yf(2x1)的解析式
6.已知函数f(x1)x24x，求函数f(x)，7.已知函数f(x)满足2f(x)f(x)3x4，则
f(x)= 。
8.设f(x)是R上的奇函数，且当x[0,)时
,f(x)x(1,则当x(,0)时 f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： ⑴ yx22x3
⑵yf(x)=
⑶ yx26x1
10.判断函数yx31的单调性并证明你的结论. 11.设函数f(x)
1x2判断它的奇偶性并且求证：1
ff(x). 2
1
有界性
设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界.
单调性
设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D.如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的.单调递增和单调递减的函数统称为单调函数.
奇偶性
设为一个实变量实值函数，若有f（—x）=—f（x），则f（x）为奇函数.
几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变.
奇函数的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）.
设f（x）为一实变量实值函数，若有f（x）=f（—x），则f（x）为偶函数.
几何上，一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变.
偶函数的例子有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）.
偶函数不可能是个双射映射.
连续性
在数学中，连续是函数的一种属性.直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数.如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）.
集合的分类：
(1)按元素属性分类，如点集，数集。
(2)按元素的个数多少，分为有/无限集
关于集合的概念：
(1)确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，这就是说，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。
(3)无序性：判断一些对象时候构成集合，关键在于看这些对象是否有明确的标准。
集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：
含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
非负整数全体构成的集合，叫做自然数集，记作N;
在自然数集内排除0的集合叫做正整数集，记作N+或Nx;
整数全体构成的集合，叫做整数集，记作Z;
有理数全体构成的集合，叫做有理数集，记作Q;(有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。)
实数全体构成的集合，叫做实数集，记作R。(包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的'点一一对应的数。)
1.列举法：如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在花括号“{｝”内表示这个集合，例如，由两个元素0，1构成的集合可表示为{0，1｝.
有些集合的元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不致于发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。
例如：不大于100的自然数的全体构成的集合，可表示为{0，1，2，3，…，100｝.
无限集有时也用上述的列举法表示，例如，自然数集N可表示为{1，2，3，…，n，…｝.
2.描述法：一种更有效地描述集合的方法，是用集合中元素的特征性质来描述。
例如：正偶数构成的集合，它的每一个元素都具有性质：“能被2整除，且大于0”
而这个集合外的其他元素都不具有这种性质，因此，我们可以用上述性质把正偶数集合表示为
一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有的性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质。于是，集合A可以用它的性质p(x)描述为{x∈I│p(x)｝
例如：集合A={x∈R│x2-1=0｝的特征是X2-1=0
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”
a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向;
当λ1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算率
a·b=b·a(交换率);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
