平面向量的数量积及运算律（通用4篇）
教学目的：
1 掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4 掌握向量垂直的条件
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律
教学过程：
一、复习引入：
1. 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ
2.平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2
3.平面向量的坐标表示
分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得
把 叫做向量 的（直角）坐标，记作
4.平面向量的坐标运算
若 ， ，
则 ， ，
若 ， ，则
5. ∥ ( )的充要条件是x1y2-x2y1=0
6.线段的定比分点及λ
p1, p2是直线l上的两点，p是l上不同于p1, p2的任一点，存在实数λ，
使 =λ ，λ叫做点p分 所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7 定比分点坐标公式：
若点p1(x1,y1) ，p2(x2,y2)，λ为实数，且 ＝λ ，则点p的坐标为（ ），我们称λ为点p分 所成的比
8 点p的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞0时， 与 同向共线，这时称点p为 的内分点
②当λ＜0( )时， 与 反向共线，这时称点p为 的外分点
9 线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点o，设 ＝ ， ＝ ，
可得 =
10.力做的功：w = | || |cos，是 与 的夹角
二、讲解新课：
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，作 ＝ ， ＝ ，则∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫 与 的夹角
说明：（1）当θ＝0时， 与 同向；
（2）当θ＝π时， 与 反向；
（3）当θ＝ 时， 与 垂直，记 ⊥ ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 范围0≤≤180
2.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作 ，即有 = | || |cos，
（0≤θ≤π） 并规定 与任何向量的数量积为0
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
（2）两个向量的数量积称为内积，写成 ；今后要学到两个向量的外积 × ，而 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分 符号“• ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若 ，且 =0，不能推出 = 因为其中cos有可能为0
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c
但是 = =
如右图： = | || |cos = | ||oa|， = | || |cos = | ||oa|
= 但
(5)在实数中，有(aa)c = a(ac)，但是( ) ( )
显然，这是因为左端是与 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 不共线
3.“投影”的概念：作图
定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 | |；当 = 180时投影为 | |
4.向量的数量积的几何意义：
数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| | os的乘积
5.两个向量的数量积的性质：
设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量
1 = =| |cos
2 = 0
3 当 与 同向时， = | || |；当 与 反向时， = | || |
特别的 = | |2或
4 os =
5| | ≤ | || |
三、讲解范例：
例1 判断正误，并简要说明理由
① • ＝ ；②0• ＝0；③ － ＝ ；④｜ • ｜＝｜ ｜｜ ｜；⑤若 ≠ ，则对任一非零 有 • ≠0；⑥ • ＝0，则 与 中至少有一个为 ；⑦对任意向量 ， ， 都有（ • ） ＝ （ • ）；⑧ 与 是两个单位向量，则 2＝ 2
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有 • ＝0；
对于②：应有0• ＝ ；
对于④：由数量积定义有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜•｜cosθ｜≤｜ ｜｜ ｜，这里θ是 与 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜；
对于⑤：若非零向量 、 垂直，有 • ＝0；
对于⑥：由 • ＝0可知 ⊥ 可以都非零；
对于⑦：若 与 共线，记 ＝λ
则 • ＝（λ ）• ＝λ（ • ）＝λ（ • ），
∴（ • ）• ＝λ（ • ） ＝（ • ）λ ＝（ • ）
若 与 不共线，则( • ) ≠（ • ）
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律
例2 已知｜ ｜＝3，｜ ｜＝6，当① ∥ ，② ⊥ ，③ 与 的夹角是60°时，分别求 •
解：①当 ∥ 时，若 与 同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若 与 反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ • ＝｜ ｜｜ ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当 ⊥ 时，它们的夹角θ＝90°，
∴ • ＝0；
③当 与 的夹角是60°时，有
• ＝｜ ｜｜ ｜cos60°＝3×6× ＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当 ∥ 时，有0°或180°两种可能
四、课堂练习：
五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1 概念辨析：正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：
1 已知△abc中， ＝5， ＝8，c＝60°，求 •
对此题，有同学求解如下：
解：如图，∵｜ ｜＝ ＝5，｜ ｜＝ ＝8，c＝60°，
∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cosc＝5×8cos60°＝20
分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中 与 两向量的起点并不同，因此，c并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是c的补角120°
2 向量的数量积不满足结合律
分析：若有（ • ） ＝ •（ • ），设 、 夹角为 ， 、 夹角为β，则( • ) ＝｜ ｜•｜ ｜cosα• ，
•( • )＝ •｜ ｜｜ ｜cosβ
∴若 ＝ ，α＝β，则｜ ｜＝｜ ｜，进而有：（ • ） ＝ •( • )
这是一种特殊情形，一般情况则不成立 举反例如下：
已知｜ ｜＝1，｜ ｜＝1，｜ ｜＝ ， 与 夹角是60°， 与 夹角是45°，则：
( • )• ＝（｜ ｜•｜ ｜cos60°） ＝ ，
•( • )＝（｜ ｜•｜ ｜cos45°） ＝
而 ≠ ，故（ • ）• ≠ •（ • ）
教学目的：
1 掌握平面向量数量积运算规律；
2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题
教学重点：平面向量数量积及运算规律
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质
教学过程：
一、复习引入：
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，作 ＝ ， ＝ ，则∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫 与 的夹角
2.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作 ，即有 = | || |cos，
（0≤θ≤π） 并规定 与任何向量的数量积为0
3.“投影”的概念：作图
定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 | |；当 = 180时投影为 | |
4.向量的数量积的几何意义：
数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积
5.两个向量的数量积的性质：
设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量
1 = =| |cos；2 = 0
3当 与 同向时， = | || |；当 与 反向时， = | || |
特别的 = | |2或
4cos = ；5| | ≤ | || |
6.判断下列各题正确与否：
1若 = ，则对任一向量 ，有 = 0 ( √ )
2若 ，则对任一非零向量 ，有 0 ( × )
3若 ， = 0，则 = ( × )
4若 = 0，则 、 至少有一个为零 ( × )
5若 ， = ，则 = ( × )
6若 = ，则 = 当且仅当 时成立 ( × )
7对任意向量 、 、 ，有( ) ( ) ( × )
8对任意向量 ，有 2 = | |2 ( √ )
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1.交换律： =
证：设 ， 夹角为，则 = | || |cos， = | || |cos
∴ =
2.数乘结合律：( ) = ( ) = ( )
证：若 > 0，( ) = | || |cos， ( ) = | || |cos， ( ) = | || |cos，
若 < 0，( ) =| || |cos() = | || |(cos) = | || |cos，
( ) = | || |cos，
( ) =| || |cos() = | || |(cos) = | || |cos
3.分配律：( + ) = c +
在平面内取一点o，作 = , = ， = ，
∵ + （即 ）在 方向上的投影等于 、 在 方向上的投影和，
即 | + | cos = | | cos1 + | | cos2
∴| | | + | cos =| | | | cos1 + | | | | cos2
∴ ( + ) = + 即：( + ) = +
说明：（1）一般地，( • ) ≠ （ • ）
（2） • ＝ • ， ≠ ＝
（3）有如下常用性质： 2＝｜ ｜2，
（ ＋ ）（ ＋ ）＝ • ＋ • ＋ • ＋ •
( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2
三、讲解范例：
例1 已知 、 都是非零向量，且 + 3 与7 5 垂直， 4 与7 2 垂直，求 与 的夹角
解：由( + 3 )(7 5 ) = 0 7 2 + 16 15 2 = 0 ①
( 4 )(7 2 ) = 0 7 2 30 + 8 2 = 0 ②
两式相减：2 = 2
代入①或②得： 2 = 2
设 、 的夹角为，则cos = ∴ = 60
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
解：如图： abcd中， ， ， =
∴| |2=
而 =
∴| |2=
∴| |2 + | |2 = 2 =
例3 四边形abcd中， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，且 • ＝ • ＝ • ＝ • ，试问四边形abcd是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量
解：四边形abcd是矩形，这是因为：
一方面：∵ ＋ ＋ ＋ ＝0，
∴ ＋ ＝－（ ＋ ），∴( ＋ )2＝（ ＋ ）2
即｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2
由于 • ＝ • ，
∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2①
同理有｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2②
由①②可得｜ ｜＝｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜即四边形abcd两组对边分别相等
∴四边形abcd是平行四边形
另一方面，由 • ＝ • ，有 （ － ）＝0，而由平行四边形abcd可得 ＝－ ，代入上式得 •(2 )＝0
即 • ＝0，∴ ⊥ 也即ab⊥bc
综上所述，四边形abcd是矩形
评述：(1)在四边形中， ， ， ， 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即 ＋ ＋ ＋ ＝ ，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系
四、课堂练习：
1 下列叙述不正确的是（ ）
a 向量的数量积满足交换律 b 向量的数量积满足分配律
c 向量的数量积满足结合律 d • 是一个实数
2 已知| |=6,| |=4, 与 的夹角为60°，则( +2 )•( -3 )等于（ ）
a 72 b -72 c 36 d -36
3 | |=3,| |=4,向量 + 与 - 的位置关系为（ ）
a 平行 b 垂直 c 夹角为 d 不平行也不垂直
4 已知| |=3,| |=4,且 与 的夹角为150°，则( + )2＝
5 已知| |=2,| |=5, • =-3,则| + |=______,| - |=
6 设| |=3,| |=5,且 +λ 与 －λ 垂直，则λ＝
参考答案：1 c 2 b 3 b 4 2 5 －1+2 5 6 ±
五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题
六、课后作业
1 已知| |=1,| |= ,且( - )与 垂直，则 与 的夹角是（ ）
a 60° b 30° c 135° d 45°
2 已知| |=2,| |=1, 与 之间的夹角为 ，那么向量 ＝ -4 的模为
a 2 b 2 c 6 d 12
3 已知 、 是非零向量，则| |=| |是( + )与( - )垂直的（ ）
a 充分但不必要条件 b 必要但不充分条件
c 充要条件 d 既不充分也不必要条件
4 已知向量 、 的夹角为 ，| |=2,| |=1,则| + |•| - |=
5 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、 是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么 • =
6 已知 ⊥ 、 与 、 的夹角均为60°，且| |=1,| |=2,| |=3,则( +2 - )2＝______
7 已知| |=1,| |= ,(1)若 ∥ ,求 • ;(2)若 、 的夹角为60°，求| + |；(3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角
8 设 、 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量 =2 + 与 =2 -3 的夹角
9 对于两个非零向量 、 ，求使| +t |最小时的t值，并求此时 与 +t 的夹角
参考答案：1 d 2 b 3 c 4 5 –63 6 11
7 (1)- (2) (3)45° 8 120° 9 90°
七、板书设计（略）
八、课后记及备用资料：
1 常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛
即( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2，（ － ）2＝ 2－2 • ＋ 2
上述两公式以及( ＋ )( － )＝ 2－ 2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用
2 应用举例
例1 已知｜ ｜＝2，｜ ｜＝5， • ＝－3，求｜ ＋ ｜，｜ － ｜
解：∵｜ ＋ ｜2＝（ ＋ ）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝22＋2×（－3）＋52＝23
∴｜ ＋ ｜＝ ，∵（｜ － ｜）2＝（ － ）2＝ 2－2 • ＋ 2＝22－2×（－3）×52＝35，
∴｜ － ｜＝ .
例2 已知｜ ｜＝8，｜ ｜＝10，｜ ＋ ｜＝16，求 与 的夹角θ(精确到1°)
解：∵（｜ ＋ ｜）2＝（ ＋ ）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝｜ ｜2＋2｜ ｜•｜ ｜cosθ＋｜ ｜2
∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102，
∴cosθ＝ ，∴θ≈55°
（第二课时）
一、教学目标
1.掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；
2.掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；
3.了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
5.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识.
二、教学重点 平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；
教学难点 平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用.
三、教学具准备
投影仪
四、教学过程
1.设置情境
上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？
2.探索研究
（1）师：什么叫做两个向量的数量积？
生： （ 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积）
师：向量的数量积有哪些性质？
生：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
师：向量的数量积满足哪些运算律？
生（由学生验证得出）
交换律：
分配律：
师：这个式子 成立吗？（由学生自己验证）
生： ，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，而 与 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。
（2）例题分析
【例1】求证：
（1）
（2）
分析：本例与多项式乘法形式完全一样。
证：
注： （其中 、 为向量）
答：一般不成立。
【例2】已知 ， ， 与 的夹角为 ，求 .
解：∵
注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值.
【例3】已知 ， 且 与 不共线，当且仅当 为何值时，向量 与 互相垂直.
分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？
生：
解： 与 互相垂直的充要条件是
即
∵
∴
∴
∴ 当且仅当 时， 与 互相垂直.
3.演练反馈（投影）
（1）已知 ， 为非零向量， 与 互相垂直， 与 互相垂直，求 与 的夹角.
（2） ， 为非零向量，当 的模取最小值时，
①求 的值；
②求证： 与 垂直.
（3）证明：直径所对的圆周角为直角.
参考答案：
（1）
（2）解答：①由
当 时 最小；
②∵
∴ 与 垂直.
（3）如图所示，设 ， ， （其中 为圆心， 为直径， 为圆周上任一点）
则
∵ ，
∴ 即 圆周角
4.总结提炼
（l）
（2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立.
（3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件.
（4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律.
五、板书设计
课题：
1.数量积性质
2.数量积运算律
例题
1
2
3
演练反馈
总结提炼
（第一课时）
一、教学目标
1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；
2.掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；
3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
4.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.
二、教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用
教学难点 平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解.
三、教学具准备
直尺，投影仪
四、教学过程
1.设置情境
师：我们学过功的概念：即一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功： ，其中 表示一个什么角度？
表示力 的方向与位移 的方向的夹角.
我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量 、 ，来规定 的含义。
2.探索研究
（l）已知两个非零向量 和 ，在平面上任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹角.你能指出下列图中两向量的夹角吗？
① 与 的夹角为 ，② 与 的夹角为 ，③ 与 的夹角是 ，④ 与 的夹角是 .
（2）下面给出数量积定义：
师：（板书）已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 ，叫做向量 与 的数量积或（内积）记作 即
并规定
师：在平面向量的数量积的定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别.
生：向量的数量积结果是一个数量，而向量的加法和减法的结果还是一个向量.
师：你能从图中作出 的几何图形吗？ 表示的几何意义是什么？
生：如图，过 的终点 作 的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得：
所以 叫做向量 在向量 上的投影， 叫做 在 上的投影.
师：因此我们得到 的几何意义：向量 与 的数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的积.
注意：1°投影也是一个数量，不是向量。
2°当q为锐角时投影为正值；
当q为钝角时投影为负值；
当q为直角时投影为0；
当q =0°时投影为 |b|；
当q =180°时投影为 -|b|。
向量的数量积的几何意义：
数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。
（3）下面讨论数量积的性质：
（每写一条让学生动手证一条）设 ， 都是非零向量， 是与 的方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则
①
②
③当 与 同向时， ，当 与 反向时， 。
特别地
④
⑤
3.演练反馈（投影）
（通过练习熟练掌握性质）
判断下列各题是否正确
（1）若 ，则对任意向量 ，有 （ ）
（2）若 ，则对任意非零量 ，有 （ ）
（3）若 ，且 ，则 （ ）
（4）若 ，则 或 （ ）
（5）对任意向量 有 （ ）
（6）若 ，且 ，则 （ ）
参考答案：（l）√，（2）×，（3）×，（4）×，（5）√，（6）×.
4.总结提炼
（l）向量的数量的物理模型是力的做功.
（2） 的结果是个实数（标量）
（3）利用 ，可以求两向量夹角，尤其是判定垂直。
（4）二向量夹角范围 .
（5）五条属性要掌握.
五、板书设计
课题
1.“功”的抽象
2.数量积的定义
3.（5）条性质
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
4.演练反馈
5.总结提炼
