3.4实际问题与一元一次方程（精选8篇）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：1. 体会数学建模思想. 2. 进一步探究如何用一元一次方程解决实际问题. 二. 知识要点：1. 数学建模这里所讲的数学建模是利用数学方法（一元一次方程）解决实际问题的一种实践. 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式（一元一次方程）表达，建立起数学模型，然后运用数学方法进行求解. 建立数学模型的这个过程就称为数学建模. 2. 用一元一次方程解决实际问题的几个注意事项（1）先弄清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再找出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理. （2）所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等. （3）要养成“验”的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义. （4）不要漏写“答”、“设”和“答”都不要丢掉单位名称. （5）分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真. 三. 重点难点：1. 重点：进一步体现一元一次方程与实际的密切联系，渗透数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力. 2. 难点：本讲问题的背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地列方程是主要难点. 突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系. 【典型例题】例1. 墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图中实线所示. 小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示. 小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
分析：饰物形状变化前后有两个不变的量，一个是周长，另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽. 根据题意可设长方形的长为x，则长方形的周长为2x＋2×10，梯形的周长为10＋10＋10＋6＋10＋6＝52. 则2x＋20＝52，从而解得x＝16. 解：设小明所钉长方形的长为x，根据题意得：2x＋2×10＝10＋10＋6＋10＋6＋10整理得，2x＋20＝52解得，x＝16由于饰物变化前后长度为10的边没有变化，所以长方形的一边长为10厘米. 答：长方形的长为16厘米，宽为10厘米. 评析：图形变化问题的等量关系往往是变化前后的周长相等、面积相等、体积相等. 例2. 一批货物，甲把原价降低10元卖出，用售价的10%做积累，乙把原价降低20元，用售价的20%做积累，若两种积累一样多，则这批货物的原售价是多少？ 分析：设这批货物的原售价为x元，则甲的积累是（x－10）×10%元，乙的积累是（x－20）×20%，相等关系是：甲的积累＝乙的积累. 解：设这批货物的原售价为x元，根据题意得：（x－10）×10%＝（x－20）×20%化简得：x－10＝2（x－20）即x－10＝2x－40解得x＝30答：这批货物的原售价为30元. 评析：这个问题的相等关系比较简单，难点是对两个百分数的处理. 例3. （XX年广东湛江）某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？ 分析：根据题意，所得的19分是踢胜的场数和踢平的场数所得的积分，而踢胜的场数和踢平的场数共14－5＝9场，如果设胜了x场，那么踢平的场数就是9－x场. 分别乘它们的分值，和为19. 解：设胜了x场，根据题意得：3x＋1×（14－x－5）＝19即3x＋9－x＝19解得x＝5答：这个队胜了5场. 评析：积分多少与胜、平、负的场数相关，同时也与比赛积分规定有关，如果对体育比赛有一定了解，会有助于理解题意. 例4. （XX年安徽）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%. 求这个月的石油价格相对上个月的增长率. 分析：数量关系如下表：
上个月
这个月
石油进口量
1
1－5%
进口石油费用
1
1＋14%
石油价格
1
1＋x 解：设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x. 根据题意得：（1＋x）（1－5%）＝1＋14%解得x＝＝20%答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%. 评析：借助表格来分析较复杂的数量关系. 这道题所用的相等关系是：数量×价格＝费用. 例5. （XX年上海）XX年以来，我市药店积极实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元. 五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示，表中缺失了XX年，XX年的相关数据. 已知XX年药品降价金额是XX年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求XX年和XX年的药品降价金额.
年份
降价金额（亿元）
54
35
40
分析：相等关系较为明显，可以根据累计降价的总金额为269亿元列方程，结合表格如果设XX年降价金额为x亿元，则XX年降价金额为6x亿元，有54＋x＋35＋40＋6x＝269. 解：设XX年降价金额为x亿元，根据题意得：54＋x＋35＋40＋6x＝269整理得，7x＝140解得，x＝206x＝6×20＝120答：XX年和XX年药品降价金额分别是20亿元和120亿元 评析：这个问题是以表格形式传递信息的，这种形式在现实中很普遍，重点培养从不同形式获取有关数据信息，是值得注意的问题. 例6. （XX年希望杯初一第1试）初一（1）班有学生60人，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少5人，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的多2人，则同时参加这两个小组的人数是 （ ） a. 16 b. 12 c. 10 d. 8 分析：数量关系如下：①全班共60人；②参加数学小组的36人；③参加英语小组的是36－5＝31人；④设同时参加两个小组的人数是x人；⑤两个小组都不参加的人数是（x＋2）人. 如图所示，可以得另外两个数量关系：⑥只参加数学小组的（36－x）人；⑦只参加英语小组的（31－x）人. 图中四部分相加和为60. 即（x＋2）＋（36－x）＋（36－5－x）＋x＝60. 解得：x＝12.
解：b 评析：这道题的数量关系非常复杂，但是结合图形可以使其变得很明朗. 【方法总结】应用数学知识去研究和和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型. 从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学研究的基础. 没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一. 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一. 【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 实验中学七年级（2）班有学生56人，已知男生人数比女生人数的2倍少11人，求男生和女生各多少人？下面设未知数的方法，合适的是 （ ） a. 设总人数为x人 b. 设男生比女生多x人c. 设男生人数是女生人数的x倍 d. 设女生人数为x人2. 甲厂的年产值为7450万元，比乙厂的年产值的5倍还多420万元，若设乙厂的年产值为x万元，下列所列方程中错误的是 （ ） a. 5x＋420＝7450 b. 7450－5x＝420c. 7450－（5x＋420）＝0 d. 5x－420＝74503. 某种品牌的彩电降价30%后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为 （ ） a. 0.7a元 b. 0.3a元 c. 元 d. 元4. a、b两城相距720km，普快列车从a城出发120km后，特快列车从b城开往a城，6h后两车相遇. 若普快列车是特快列车速度的，且设普快列车速度为xkm/h，则下列所列方程错误的是 （ ） a. 720－6x＝6＋120 b. 720＋120＝6（x＋x）c. 6x＋6＋120＝720 d. 6（x＋x）＋120＝7205. 用两根长12cm的铁丝分别围成正方形和长与宽之比为2∶1的长方形，则长方形和正方形的面积依次为 （ ） a. 9cm2和8cm2 b. 8cm2和9cm2 c. 32cm2和36cm2 d. 36cm2和32cm2*6. 有一位旅客携带了30kg重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带20kg重的行李，超重部分每千克按飞机票价格1.5%购买行李票，现该旅客购买了180元的行李票，则他的飞机票价格应是 （ ） a. 800元 b. 1000元 c. 1200元 d. 1500元二. 填空题1. （XX年河北）一件运动衣按原价的八折出售时，售价是40元，则原价为_____元. 2. 买4本练习本与3枝铅笔一共用了4.7元. 已知铅笔每枝0.5元，则练习本每本_____元. *3. 一个长方形鸡场的一边靠墙，墙的对面有一个2m宽的门，另三边（门除外）用篱笆围成，篱笆总长33m，若鸡场的长∶宽＝3∶2（尽量用墙），则鸡场的长为__________m，宽为__________m. 4. 某市居民XX年末的储蓄存款达到9079万元，比XX年末的储蓄存款的15倍还多4万元，则XX年末的存款为__________. 5. （XX年甘肃省白银）某商店销售一批服装，每件售价150元，打8折出售后，仍可获利20元，设这种服装的成本价为每件x元，则x满足的方程是__________. **6. （XX年广东茂名）依法纳税是每个公民应尽的义务，新的《中华人民共和国个人所得税法》规定，从XX年3月1日起，公民全月工薪不超过XX元的部分不必纳税，超过XX元的部分应缴纳个人所得税，此项税款按下表分段累进计算. 黄先生4月份缴纳个人所得税税金55元，那么黄先生该月的工薪是__________元.
全月应纳税所得税额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至XX元的部分
10%
…
…三. 列方程解应用题1. （XX年吉林）据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市. 其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍. 求严重缺水城市有多少座？
*2. 甲、乙两个工人接受了加工一批服装的任务，规定两人各加工这批服装的一半，已知乙的工作效率相当于甲的，工作了8小时，甲完成了自己的任务，这时乙还差24件服装没有完成. 这批服装共有多少件？3. 如图所示，小红将一个正方形剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上沿平行短边的方向剪去一个宽为5cm的长条. 若两次剪下的长条面积正好相等，那么每一长条的面积为多少？原正方形的面积为多少？
**4. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节约用水的目的. 该市规定了如下的用水标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米a元收费；超过6m3时，不超过部分每立方米仍按a元收费，超过部分每立方米按b元收费. 该市居民张大爷一家今年3、4月份的用水量和水费如下表：
月份
用水量/m3
水费/元
3
5
7.5
4
9
27 设该户每月用水量为x（m3），应缴水费y（元）. （1）求a、b的值，写出用水不超过6m3和超过6m3时，y与x之间的代数表达式；（2）若张大爷一家今年5月份的用水量为8m3，该户5月份应缴的水费是多少？**5. 振华中学为进一步推进素质教育，把素质教育落到实处，利用课外兴趣小组活动开展棋类教学活动，以提高学生的思维能力，开发智力，七年级一班有50名同学，通过活动发现只有1人象棋、围棋都不会下，有30人象棋、围棋都会下，且会下象棋的学生比会下围棋的学生多7人. （1）若设会下围棋的有x个人，你能列出方程并证明x是35、36、37三个数中的哪一个吗？（2）你知道只会下象棋不会下围棋的人数吗？
【试题答案】一. 选择题1. d 2. d 3. d 4. b 5. b 6. c二. 填空题1. 50 2. 0.8 3. 15 10 （提示：可设长为3x，宽为2x，则3x＋2x＋2x－2＝33）4. 605万元 5. x＋ 20＝0.8×1506. 2800 提示：设黄先生4月份的工薪是x元，如果x在XX元~2500元，则5%（x－）＝55，解得x＝3100，不符合题意；如果x在2500元~4000元，则10%（x－－500）＋5%×500＝55，解得x＝2800. 所以黄先生4月份的工薪是2800元. 三. 列方程解应用题1. 解：设严重缺水城市有x座，根据题意得：4x－50＋2x＋x＝664解得，x＝102答：严重缺水城市有102座. 2. 解：设甲每小时加工服装x件，则乙的工作效率是每小时加工x件，根据题意得：8x＝x×8＋24去分母整理得：8x＝1208x正好是甲完成的工作量，这个工作量又是总数的一半，所以这批服装有120×2＝240件. 答：这批服装共有240套. 另解：设这批服装共有2x件，则＝（x－24），解得x＝120，2x＝240. 3. 解：设原正方形的边长为xcm，列方程为：4x＝5（x－4）解得，x＝204×20＝80（cm2），20×20＝400（cm2）答：每一长条的面积为80cm2，原正方形的面积为400cm2. 4. 解：（1）3月份用水5m3不超过6m3，所以水费按每立方米a元收取，所以5a＝7.5，所以a＝1.5；4月份用水9m3，所以7.5＋（9－6）·b＝27，解得：b＝6.5. 不超过6m3时，y＝1.5x；超过6m3时，y＝7.5＋6.5（x－6）（2）由（1）可得当x＝8时，y＝7.5＋6.5（x－6）即y＝7.5＋6.5×2＝20.5（元）答：略5. （1）设会下围棋的学生有x人，则会下象棋的学生为（x＋7）人，那么只会下围棋的学生有（x－30）人，只会下象棋的学生为（x＋7－30）人，根据题意得：x＋x＋7－30＝50－1，把x＝35，x＝36，x＝37分别代入方程，有x＝36成立，所以会下围棋的有36人. （2）会下象棋不会下围棋的有x＋7－30＝36＋7－30＝13（人）.
教学目标： 1、使学生会列一元一次方程解有关应用题. 2、培养学生分析解决实际问题的能力. 复习引入： 1、在小学里我们学过有关工程问题的应用题，这类应用题中一般有工作总量、工作时间、工作效率这三个量. 这三个量的关系是： （1）__________ （2）_________ （3）_________ 人们常规定工程问题中的工作总量为______. 2、由以上公式可知：一件工作，甲用a小时完成，则甲的工作量可看成________，工作时间是________，工作效率是_______. 若这件工作甲用6小时完成，则甲的工作效率是_______. 讲授新课： 1、例题讲解： 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成. 问：甲乙合做，需几小时完成这件工作？ （1）首先由一名至两名学生阅读题目. （2）引导 ⅰ:这道题目的已知条件是什么？ ⅱ：这道题目要求什么问题？ ⅲ：这道题目的相等关系是什么？ （3）由一学生口头设出求知数，并列出方程，师生共同解答；同时教师在黑板上写出解题过程，形成板书. 2、练习： 有一个蓄水池，装有甲、乙、丙三个进水管，单独开甲管，6分钟可注满空水池；单独开乙管，12分钟可注满空水池；单独开丙管，18分钟可注满空水池，如果甲、乙、丙三管齐开，需几分钟可注满空水池？ 此题的处理方法： ⅰ：先由一名学生阅读题目； ⅱ：然后由两名学生板演； 3、变式练习： 丙管改为排水管，且单独开丙管18分钟可把满池的水放完，问三管齐开，几分钟可注满空水池？要求学生口头列出方程. 4、继续讲解例题 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成. 若甲先单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做，问：还需几小时完成？ （1）先由学生阅读题目 （2）引导： ⅰ:这道题目的已知条件是什么？ ⅱ：这道题目要求什么问题？ ⅲ：这道题目的相等关系是什么？ （3）由一学生口头设出求知数，并列出方程，师生共同解答；同时教师在黑板上写出解题过程，形成板书. 5、练习： （1）一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成. 若乙先做2小时，然后由甲、乙合做，问还需几小时完成？ （2）一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做15小时完成，若先由甲、丙合做5小时，然后由甲、乙合做，问还需几天完成？ 以上两题的处理方法： ⅰ：先由两名学生阅读题目； ⅱ：然后由两名学生板演； ⅲ：其他学生任选一题完成. ⅴ：评讲后对第一题提出：这项工程共需几天完成？ ⅵ：第一题还可根据什么等量关系列出方程呢？根据此相等关系列出方程（学生口答）. 6、编应用题： （1）根据方程：3/12+x/12+x/6=1，编应用题. （2）事由：打一份稿件. 条件：现在甲、乙两名打字员，若甲单独打这份稿件需6小时打完，若乙单独打这份稿件需12小时打完. 要求：甲、乙两名打字员都要参与打字，并且要打完这份稿件. 处理方法：由学生编出应用题，并设出未知数，列出方程. 课堂总结： 工程问题中的三个量的关系. 课堂作业： 见作业本 选做题： 一件工作，甲单独做6小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做18小时完成，若先由甲、乙合做3小时，然后由乙丙合做，问共需几小时完成
2.4再探实际问题与一元一次方程(2)
【教学目标】1.学习利用表格的数据探索规律;2.认识代数解法(列方程解应用题)的局限性;3.让学生进一步感受数学的应用价值;4.感受与同伴交流的乐趣.【对话探索设计】〖探索1〗下表记录了一根金属丝在不同温度下的长度.根据数据猜测:温度/℃-10010203040长度/mm252.28252.60252.92253.24253.56253.88 (1)温度每升高1℃,这根金属丝的长度伸长了多少?.(2)当温度是80℃时, 这根金属丝的长度是多少?(3)若长度是256.76mm,温度是多少?(4)把温度记为t(℃),长度记为y(cm),求用t表示y的式子.〖探索2〗下表记录了一次实验中时间和温度的数据: 时间/分0510152025温度/℃102540557085 (1)如果温度的变化是均匀的,21分的温度是多少?(2)什么时间的温度是34℃?〖探索3〗p96探究3观察p96积分榜,回答下面的问题:(1)从最后一行数据可以发现:负一场积1分.从其它行的数据是否也能直接得出这个结论?(2)从第3行是否也能求出胜1场积2分?(3)把总积分记为s,胜场数记为n,怎样用含n的代数式表示s?(4)为什么说胜场的总积分不可能等于负场的总积分?
地名时间
王家庄10:00
青山13:00
秀水15:00〖探索4〗汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示,翠湖在青山、秀水两地之间,距青山50千米,距秀水70千米.王家庄到翠湖的路程有多远?(1)从表中你得到哪些信息? 从图中你得到哪些信息?(2)从已知的信息,你认为题中哪些有关的元素是可求的?
提示:做学问要有主见,不要人云亦云.不唯书,不唯上. (3)你认为有必要列方程解吗? 〖探索5〗已知5台a型机器一天的产品装满8箱后还剩4个,7台b型机器一天的产品装满11箱后还剩1个,每台a型机器比b型机器一天多生产1个产品,求每箱有多少个产品.解法一:设每箱有x个产品,则5台a型机器一天生产__________个; 7台b型机器一天生产____________个.所以,每台a型机器一天生产__________个;每台b型机器一天生产____________个.根据每台a型机器比b型机器一天多生产1个产品,列方程: ________________________.解得x=_________.解法二:设每台b型机器一天生产x个产品,根据每台a型机器比b型机器一天多生产1个产品,得每台a型机器一天生产____________个产品.所以,7台b型机器一天生产_______个产品,因为这些产品装满11箱后还剩1个,得每个箱子装___________个产品;同样道理, 5台a型机器一天生产_______个产品,因为这些产品装满8箱后还剩4个,得每个箱子装___________个产品;现在该怎样列方程:根据什么?最后请写出答案. 【备用素材】1.某园林的门票每张10元,一次使用.考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多的游客,该园林除保留原来的售票方法外,还推出了一种"购买个人年票"的方法.个人年票从购票日起,可供持票者使用一年.年票每张60元,入园时需买一张2元的门票.(1)如果你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,应选择哪一种购票方式?(2)在什么情况下购买年票与不购买年票花费相等?(3)你认为在什么情况下购买年票比较合算?2.小王从家门口的公交车站去火车站.如果坐公交车,他将会在火车开车后半小时到达车站,如果坐出租车,可以在火车开车前15分到达火车站.已知公交车的速度是45km/h,出租车的速度是公交车的2倍,问小王的家到火车站有多远?解法一:设出租车到火车站要x小时,根据出租车的速度是公交车的2倍,得公交车到火车站要____小时,根据出租车到火车站所用的时间比公交车要少________小时,列方程:___________________.解得__________.把求得的时间乘速度得小王的家到火车站的路程是________.答略.解法二:设小王的家到火车站的路程是xkm,那么,根据时间等于路程÷速度,得他坐公交车到火车站要_______小时;坐出租车到火车站要_____小时.根据出租车到火车站所用的时间比公交车要少________小时,列方程:_______________________.(以下略)解法三:设小王出发时距离火车开车还有x分,坐出租车到火车站所用的时间为________;坐出租车的路程为_____________.坐公交车到火车站所用的时间为________;坐公交车的路程为_____________.列方程__________________________.(以下略) 9.弹簧的长度y(cm)与所挂的重物的质量x(千克)之间的关系如右图,根据图形,(1)求不挂重物时,弹簧的长度;(2)求当所挂重物的质量为5千克时,弹簧的长度;(3)若弹簧的长度为16cm,求所挂重物的质量.〖补充作业〗2.长途汽车客运公司规旅客可随身携带一定重量的行李，行李若超过规定，则需购买行李票.设行李重量是x(千克),行李费用是y元,根据下列表格所提供的信息,猜测y与x之间的关系式,并把表格填全,
x
25
40
50
60
......
n
y
0
3
6
15
......
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
本节内容是一元一次方程应用的延伸与拓展，它进一步让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，同时又渗透了函数与不等式的思想，为以后内容学习奠定了必要的数学基础，本节内容具有承上启下的作用.学生能深刻地认识到方程是刻画现实世界有效的数学模型，领悟到“方程”的数学思想方法.总之，本节内容无论在知识上还是在数学思想方法上，都是十分很好的素材，能很好培养学生的探索精神、应用意识以及创新能力.
（二）教材的重难点
本节的重点是探索并掌握列一元一次方程解决实际问题的方法.而方程的建模思想学生还是初步接触，寻找相等关系对学生来说仍相当困难，所以确定“找出已知量与未知量之间的关系，尤其是相等关系”为本节的难点之一，列方程解应用题的最终目标是运用方程的解对客观现实作出合理的解释，这是本节的难点之二.
二、教学目标分析
（一）知识技能目标
1.目标内容
(1) 结合生活实际，会在独立思考后与他人合作，结合估算和试探，列出一元一次方程解决本节的三个实际问题，并能解释结果的实际意义及其合理性.
(2) 培养学生建立方程模型来分析、解决实际问题的能力以及探索精神、合作意识.
2.目标分析
(1) 本节的内容就是通过列方程、解方程来解决实际问题，这是必须掌握的知识，估算与试探的思维方法也很重要，这是发现和解决问题的有效途径.
(2) 七年级的学生对数学建模还比较陌生，建模能突出应用数学的意识，而探索精神和合作意识又是课标所大力倡导的，因而必须加强培养学生这方面的能力.
（二）过程目标
1.目标内容
在活动中感受方程思想在数学中的作用，进一步增强应用意识.
2.目标分析
利用方程解决问题是有用的数学方法，学生在前两节的数学活动中，有了一些初步的经验，但是更接近生活，更富有挑战性的问题则需要师生合作，探索解决.
（三）情感目标
1.目标内容
(1) 在探索中获得成功的体验，激发学生学习数学的热情，享受与他人合作的乐趣，建立自信心.
(2) 通过对实际问题的解决，进一步体会“数学来源于生活，且服务于生活”的辩证思想.
2.目标分析
七年级学生的年龄特征决定了他们好奇心强、思想活跃、求知心切.利用教材培养学生良好的学习习惯、方法和品质，这是落实新课标倡导的教育理念的关键.
三、教材处理与教法分析
本节内容拟定两课时完成，今天说课的内容是第一课时（探究ⅰ、探究ⅱ）.根据本节课的特点及七年级学生的心理特征和认知特征，本节课采用探索发现法进行教学，在活动中充分体现学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者、合作者.本课借助多媒体辅助教学，给学生以直观形象的演示，增强感性认识，增强教学效果.课中以设疑提问、分组活动等方式，激发学生的兴趣，引导学生自主探索与合作交流，主动获得知识.
四、教学过程分析
（一）教学过程流程图
探究ⅰ
（二）教学过程ⅰ
（以探究为主线、形式多样化）
1.问题情境
(1) 多媒体展示有关盈亏的新闻报道，感受生活实际.
(2) 据此生活实例，展示探究ⅰ，引入新课.
考虑到学生不完全明白“盈利”、“亏损”这样的商业术语，故针对性地播放相关新闻报道，然后引出要探索的问题ⅰ.
2.讨论交流
(1) 学生结合自己的生活实际，交流对“盈利”、“亏损”含义的理解.
(2) 学生交流后，老师提出问题：某件商品的进价是40元，卖出后盈利25%，那么利润是多少？如果卖出后亏损25%，利润又是多少？（利润是负数，是什么意思？）
(3) 要求学生对探究ⅰ中商店的盈亏进行估算，交流讨论并说明理由.在讨论中学生对商店盈亏可能出现不同的观点，因此引导学生用数学方法解决问题，统一认识.
(4) 师生互动，要知道究竟是盈是亏，必须先知道什么？从而引出要算出每件衣服的进价.
让学生讨论盈利和亏损的含义，理解其概念，建立感性认识；乍一看，大多数学生可能在大体估算后得到不亏不盈，直觉上也是如此，但要解决实际问题，还要知其原价（未知量），从这一分析引入未知量，为后面建立模型，做了必要的铺垫.
3.建立模型
(1) 学生自主探索，寻找已知量与未知量之间的关系，确定相等关系.
(2) 学生分组，根据找出的相等关系列出方程，其中一组计算盈利25%的衣服的进价，另一组计算亏损25%的衣服的进价.
(3) 师生互动：①两件衣服的进价和为________；②两件衣服的售价和为________；③由于进价________售价，由此可知两件衣服的盈亏情况.
（教师及时给出完整的解答过程）
学生分组、计算盈亏；教师参与、适当提示；师生互动、得到决策.这样设计，让学生体会到合作交流、互相评价、互相尊重的学习方式，有利于学生知识的形成与发展，也有利于学生健康人格的养成.这样设计易于突出重点，突破难点，巩固应用一元一次方程作工具来解决实际问题的方法，也很好地让学生从已有的经验中、活动中，有意义地构建自己的知识结构，获得富有成效的学习体验.
4.小结
一个感悟：估算与主观判断往往与实际情况大相径庭，需要我们通过准确的计算来检验自己的判断.
培养学生科学的学习态度与严谨的学习作风.
探究ⅱ
（三）教学过程ⅱ
1.在灯具店选购灯具时，由于两种灯具价格、能耗的不同，引起矛盾冲突.
恰当的问题情境激发学生探索的欲望，同时让学生体会到数学来源于生活，又服务于生活的实用性.
启发：选择的目的是节省费用，费用又是由哪些因素决定的？学生讨论得出结论：
2.列代数式
费用＝灯的售价＋电费
电费＝0.5×灯的功率（千瓦）×照明时间（时）
在此基础上，用t表示照明时间（小时）.要求学生列出代数式表示这两种灯的费用.
节能灯的费用（元）：60＋0.5×0.011t.
白炽灯的费用（元）：3＋0.5×0.06t.
分析各个量之间的关系，列出代数式，为后面列方程，并进一步探索提供了基础.
3.特值试探 具体感知
学生分组计算：
t＝1000、2500、3000时，这两种灯具的使用费用，填入下表：
时间（小时）
1000
2500
3000
节能灯的费用（元）
白炽灯的费用（元）
学生填完表格后，展示由表格数据制成的条形统计图.
引导学生讨论：从统计图表，你发现了什么？
问题的答案是多样的，师生共同得出：照明时间不同，作出的选择不同.
由于在前面的第二节，学生已经学过“两种移动电话计费方式”的一道例题，因此学生应该能较熟练地完成表格中的特值试探.又因为七年级学生的认知以直观形象为主，再给出统计图，完成特殊到一般，感性到理性的深化.
4.方程建模
观察统计图，你能看出使用时间为多少（小时）时，这两种灯的费用相等吗？
列出方程：
60＋0.5×0.011t＝3＋0.5×0.06t
5.合作交流 解释拓展
(1) 照明时间小于2327小时，用哪种灯省钱？照明时间超过2327小时.但不超过3000小时，用哪种灯省钱？
学生分组讨论，交流各自的看法.
(2) 如果计划照明3500小时，则需购买两个灯，设计你认为合理的选灯方案.
学生分组、讨论购灯方案只有三种：①两盏节能灯；②两盏白炽灯；③一盏节能灯、一盏白炽灯.
学生计算各种方案所需费用.
关于选灯方案③，学生可能会有不同的结果，先让学生充分展示他们的计算理由，然后对学生得出“使用节能灯3000小时，白炽灯500小时”的结论，给予充分肯定，并引导学生寻找理论依据，列式验证：
设节能灯的照明时间为t（小时），那么总费用为：
60＋3＋0.5×0.011t＋0.5×0.06（3500－t）＝168－0.0245t（0≤t≤3000）
观察上式可看出，只有当t＝3000时，总费用最低.
培养学生合作交流，倾听他人意见，并从交流中获益的学习习惯，综合各方面信息的能力.讨论2需要考虑的情形不只一种，通过这一问题，培养分类讨论的思想，养成缜密的思维品质.此处渗透着函数、不等式和分类讨论的思想，为后面学习实际问题提供了实践经验.
6.反馈练习
一家游泳馆每年6～8月出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元，讨论并回答：
(1) 什么情况下，购会员证与不购证付相同的钱？
(2) 什么情况下，购会员证比不购证更合算？
(3) 什么情况下，不购会员证比购证更合算？
适时的反馈练习，以加深学生对这一知识的理解，逐步完善自己的知识结构.
（四）教学小结
学生分组小结“本课学到了什么”，各组发言交流体验、教师总结：
五、设计说明
七年级学生的年龄特征决定了他们好奇心强，思想活跃、求知心切.因此我从“以人为本”的理念出发，依据数学的工具性和人文性等特点，在整个教学活动中始终关注学生的发展，培养学生的创新精神与创新能力.
（一）充分尊重学生的主体地位
发挥学生的主体作用，坚持让学生自主探索、合作交流，展示学生的思维过程.
（二）树立方程建模思想
突出解释与应用，渗透函数、不等式、分类讨论等数学思想和方法，培养学生应用数学的意识.
（三）注重对学习过程与方法的评价
关注学生参与数学活动的热情，与他人合作的态度，以及独立地分析问题、解决问题的能力，力争让不同的人在数学上得到不同的发展.
(1) 某种商品因换季打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元；而按定价的九折出售将赚20元.问这种商品的定价为多少元？
(2) 某商店为了促销a牌高级洗衣机，规定在元旦那天购买该机可以分两期付款，在购买时先付一笔款，余下部分及它的利息（年利率为5.6%）在明年的元旦付清，该洗衣机售价是每台8 224元，若两次付款相同，问每次应付款多少元？
(3) 工厂甲、乙两车间去年计划共完成税利720万元，结果甲车间完成了计划的115%，乙车间完成了计划的110%，两车间共完成税利812万元，求去年两个车间各超额完成税利多少万元？
(4) 一辆汽车用40千米/时的速度由甲地驶向乙地，车行3小时后，因遇雨平均速度被迫每小时减少10千米，结果到达乙地时比预计的时间晚了45分钟，求甲、乙两地间的距离.
(5) 甲、乙两人合办一小型服装厂，并协议按照投资额的比例多少分配所得利润，已知甲与乙投资比例为3∶4，第一年共获利30 800元，问甲、乙两人可获利润多少元？
(6) 有人问老师班级有多少名学生时，老师说：“一半学生在学数学，四分之一学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，还剩六名学生在操场踢球.”你知道这个班有多少名学生吗？
(7) 某人10时10分离家去赶11时整的火车，已知他家离车站10千米，他离家后先以3千米/时的速度走了5分钟，然后乘公共汽车去车站，问公共汽车每小时至少走多少千米才能不误火车？
综合运用
4.某市居民生活用电基本价格是每度0.40元，若每月用电量超过a度，超出部分按基本电价的70%收费.
(1) 某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a；
(2) 若该户六月份的电费平均为每度0.36元，求六月份共用电多少度？应交电费多少元？
5.为了鼓励节约用水，市政府对自来水的收费标准作如下规定：每月每户不超过10吨部分，按0.45元/吨收费；超过10吨而不超过20吨部分，按0.80元/吨收费；超过20吨部分，按1.5元/吨收费.现已知李老师家六月份缴水费14元，问李老师家六月份用水多少吨？
6.一支自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进.突然，有一名队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后调转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合.你知道这名队员从离队到与队员重新会合，经过了多长时间吗？
7.有8名同学分别乘两辆轿车赶往火车站，其中一辆轿车在距离火车站15千米时出现故障，此时离火车停止检票时间还有42分，这时惟一可以利用的交通工具只有一辆轿车，连司机在内限乘5人，这辆小轿车的平均速度为60千米/时.这8名同学都能赶上火车吗？
拓广探索
8.一家庭（父亲、母亲和孩子们）去某地旅游.甲旅行社说：“如父亲买全票一张，其余人可享受半价优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行算集体票，按原价的优惠.”这两家旅行社的原价相同.你知道哪家旅行社更优惠吗？
教 学 任 务
教学目标
知识技能
通过探索球赛积分与胜负场数之间的数量关系，进一步体会一元一次方程是解决实际问题的数学模型。
数学思考
1、会从实际问题中抽象出数学问题，并会建立一元一次方程模型解决问题；
2、认识到由实际问题得到的方程的解要符合实际意义。
解决问题
对于实际问题能够进行观察思考，并转化为数学问题，然后找到解决问题的关键——利用方程模型列出方程，进而解决问题。
情感态度
增强学生运用数学知识解决实际问题的意识，激发学生学习数学的热情。
重点
把实际问题转化为数学问题，会用列方程求出问题的解，并会进行推理判断。
难点
在实际问题中找到一元一次方程模型
教 学 流 程
活 动 流 程 图
活 动 内 容 和 目的
活动1 观看球赛片段。
活动2 认识球赛积分表提出问题。
活动3 对问题进行分解。
活动4 解决问题。
活动5 问题深入化。
创设情境，激发学生学习欲望,引入新课。
展示积分表，学生观察，培养学生的观察思考能力。
引导、分析，为解决问题建立数学模型。
利用数学模型解决实际问题，实现“问题——数学——问题”。
进一步培养学生利用数学模型解决实际问题的能力。
教 学 过 程
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动1]
展示篮球赛片段，引出积分表问题
教师：操作课件，播放篮球赛片段。
学生：欣赏球赛。
创设情境，激发学生的学习欲望。
[活动2]
展示课本96页中赛季全国男篮甲a联赛常规赛最终积分榜。提出问题：
（1）列式表示积分与胜场数之间的数量关系；
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
教师：说明积分规则
学生：观察表格
教师在学生自由观察表格并发表意见的基础上引导学生观察表格中横、纵所隐藏着的信息，并建立数学模型。
教师重点关注：
（1）胜场积分+负场积分=总积分
（2）解决问题的关键：胜一场积几分，负一场积几分。
在观察表格中培养学生的观察能力，引导学生用数学的方法去观察、思考问题，实现“问题——数学”，激发学生的求知欲。
让学生明确总积分是如何得出的，建立数学模型，并找到解决问题的关键。
[活动3]探究：
胜一场积几分，负一场积几分。
学生继续观察表格，教师提问题：
你选择表格中哪一行能说明负一场积几分呢？
学生探究交流得：
从最后一行数据可以发现：负一场积1分。
教师继续提问：
胜一场积几分呢？
学生探究交流。
学生可能会用算术法得出胜一场积2分，这时教师应关注：
1、引导学生通过列一元一次方程，用解方程的方法得到，为最后问题的拓展奠定基础。
2、负一场积1分，胜一场积2分。
培养学生观察能力的同时，帮助学生建立数学模型，让学生明白列一元一次方程是解决实际问题的一种方法。
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动4]解决问题
(1)列式表示积分与胜场数之间的数量关系.
(2)某队的胜场总积分等于它的负场总积分吗?
教师：以上的分析得出的结论是：
胜一场积2分，负一场积1分。
学生分组讨论交流解决问题（1）
教师应关注：
(1)负场数=比赛场数－胜场数
（2）总积分=胜场积分+负场积分
（3）问题变式：列式表示积分与负场数之间的数量关系
学生分组讨论交流解决问题（2）
解：设一个队胜了x场,则负了(22-x)场,如果这个队的胜场总积分等负场总积分则利用问题(1)的结论,可得:
2x=22-x,解得x=22/3
教师应关注：
（1）列一元一次方程解决
（2）方程的解与实际问题的关系
在学生与他人交流的过程中获得解决问题的方法,同时也展示自己的解答,既训练了学生的表达能力,也增强了合作交流地信心,营造了良好的学习氛围,使所有学生都能在数学学习中树立自信心,养成思考习惯，增强交流的勇气。
[活动5]
1、探究
如果删去积分榜的最后一行，你还能解决这两个问题吗？
2、小结、作业p100t8、9
教师提出问题
教师应关注：
解决问题的关键还是要求出胜一场积几分，负一场积几分，并引导学生思考：删去了最后一行，不能直接得到负一场积1分，又如何来求胜一场积几分，负一场得几分呢？
教师提示：
可利用各队胜一场积分相等或利用各队负一场积分相等，任选两个胜、负场数不相同的队即可列方程解决。
学生课后思考完成。
教师：通过这节课的学习，你有哪些收获？
学生举手发表自己的想法
教师应关注：
对实际问题思考抽象出数学问题，并对数学问题的解决找到其关键，然后，通后列一元一次方程解决
通过探究使学生明白在解决问题的过程中体会到解决问题是可以有不同策略的，每一个人都应有自己对问题的理解，并在此基础上形成自己解决问题的基本策略。
通过学生回顾感悟，进一步理解一元一次方程与实际问题的联系，形成一种解决问题的思考方法。
设计说明：通过引导学生观察积分表，从中读取信息，让学生体会到数学源于生活并应用于生活，实现“问题——数学——问题”的数学模型，让学生感受到数不就在我们身边，明白方程是解决实际问题的一般模型。
注：本教学设计是云梦县道桥中学夏辉老师在“湖北省XX年初中数学使用新教材暨全国全省一等奖教师优质课展示活动”中的展示课中的教学设计，课堂教学效果较好。
再探实际问题与一元一次方程(3) 云梦县教研室阮业广 云梦县道桥中学 夏 辉
教学任 务
教学目标
知识技能
通过探索球赛积分与胜负场数之间的数量关系,进一步体会一元一次方程是解决实际问题的数学模型。
数学思考
1、会从实际问题中抽象出数学问题,并会建立一元一次方程模型解决问题;
2、认识到由实际问题得到的方程的解要符合实际意义。
解决问题
对于实际问题能够进行观察思考,并转化为数学问题,然后找到解决问题的关键——利用方程模型列出方程,进而解决问题。
情感态度
增强学生运用数学知识解决实际问题的意识,激发学生学习数学的热情。
重点
把实际问题转化为数学问题,会用列方程求出问题的解,并会进行推理判断。
难点
在实际问题中找到一元一次方程模型
教学 流程
活动流程图
活动内容和目的
活动1 观看球赛片段。
活动2 认识球赛积分表提出问题。
活动3 对问题进行分解。
活动4 解决问题。
活动5 问题深入化。
创设情境,激发学生学习欲望,引入新课。
展示积分表,学生观察,培养学生的观察思考能力。
引导、分析,为解决问题建立数学模型。
利用数学模型解决实际问题,实现“问题——数学——问题”。
进一步培养学生利用数学模型解决实际问题的能力。
教学过程
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动1]
展示篮球赛片段,引出积分表问题
教师:操作课件,播放篮球赛片段。
学生:欣赏球赛。
创设情境,激发学生的学习欲望。
[活动2]
展示课本96页中赛季全国男篮甲a联赛常规赛最终积分榜。提出问题:
(1)列式表示积分与胜场数之间的数量关系;
(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?
教师:说明积分规则
学生:观察表格
教师在学生自由观察表格并发表意见的基础上引导学生观察表格中横、纵所隐藏着的信息,并建立数学模型。
教师重点关注:
(1)胜场积分+负场积分=总积分
(2)解决问题的关键:胜一场积几分,负一场积几分。
在观察表格中培养学生的观察能力,引导学生用数学的方法去观察、思考问题,实现“问题——数学”,激发学生的求知欲。
让学生明确总积分是如何得出的,建立数学模型,并找到解决问题的关键。
[活动3]探究:
胜一场积几分,负一场积几分。
学生继续观察表格,教师提问题:
你选择表格中哪一行能说明负一场积几分呢?
学生探究交流得:
从最后一行数据可以发现:负一场积1分。
教师继续提问:
胜一场积几分呢?
学生探究交流。
学生可能会用算术法得出胜一场积2分,这时教师应关注:
1、引导学生通过列一元一次方程,用解方程的方法得到,为最后问题的拓展奠定基础。
2、负一场积1分,胜一场积2分。
培养学生观察能力的同时,帮助学生建立数学模型,让
探究实际问题与一元一次方程（3）学生明白列一元一次方程是解决实际问题的一种方法。
问题与情境
师生行为
设计意图
[活动4]解决问题
(1)列式表示积分与胜场数之间的数量关系.
(2)某队的胜场总积分等于它的负场总积分吗?
教师:以上的分析得出的结论是:
胜一场积2分,负一场积1分。
学生分组讨论交流解决问题(1)
教师应关注:
(1)负场数=比赛场数-胜场数
(2)总积分=胜场积分+负场积分
(3)问题变式:列式表示积分与负场数之间的数量关系
学生分组讨论交流解决问题(2)
解:设一个队胜了x场,则负了(22-x)场,如果这个队的胜场总积分等负场总积分则利用问题(1)的结论,可得:
2x=22-x,解得x=22/3
教师应关注:
(1)列一元一次方程解决
(2)方程的解与实际问题的关系
在学生与他人交流的过程中获得解决问题的方法,同时也展示自己的解答,既训练了学生的表达能力,也增强了合作交流地信心,营造了良好的学习氛围,使所有学生都能在数学学习中树立自信心,养成思考习惯,增强交流的勇气。
[活动5]
1、探究
如果删去积分榜的最后一行,你还能解决这两个问题吗?
2、小结、作业p100t8 9
教师提出问题
教师应关注:
解决问题的关键还是要求出胜一场积几分,负一场积几分,并引导学生思考:删去了最后一行,不能直接得到负一场积1分,又如何来求胜一场积几分,负一场得几分呢?
教师提示:
可利用各队胜一场积分相等或利用各队负一场积分相等,任选两个胜、负场数不相同的队即可列方程解决。
学生课后思考完成。
教师:通过这节课的学习,你有哪些收获?
学生举手发表自己的想法
教师应关注:
对实际问题思考抽象出数学问题,并对数学问题的解决找到其关键,然后,通后列一元一次方程解决
通过探究使学生明白在解决问题的过程中体会到解决问题是可以有不同策略的,每一个人都应有自己对问题的理解,并在此基础上形成自己解决问题的基本策略。
通过学生回顾感悟,进一步理解一元一次方程与实际问题的联系,形成一种解决问题的思考方法。
设计说明:通过引导学生观察积分表,从中读取信息,让学生体会到数学源于生活并应用于生活,实现“问题——数学——问题”的数学模型,让学生感受到数不就在我们身边,明白方程是解决实际问题的一般模型。
注:本教学设计是云梦县道桥中学夏辉老师在“湖北省XX年初中数学使用新教材暨全国全省一等奖教师优质课展示活动”中的展示课中的教学设计,课堂教学效果较好。
2.4再探实际问题与一元一次方程(1)
【教学目标】1.能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系,列出方程;2.了解怎样对不同的方案作出选择;3.使学生在从事探索性活动的学习过程中,形成良好的学习方式和学习态度;4.熟悉列方程解应用题的一般思路.【对话探索设计】〖探索1〗(1)一件衣服的进价为50元,售价为60元,利润是______元,利润率是_______.(提示:利润=售价-进价, 利润率=利润÷进价.)(2)一件衣服的进价为50元,售价为80元,若按原价的8折出售,利润是______元,利润率是__________.(3)一件衣服的进价为50元,售价为60元,若按原价的8折出售,利润是______元,利润率是__________.(4)一件衣服的进价为50元,若要利润率是20%,应把售价定为________.〖探索2〗某商店以每件60元的价格卖出一件衣服,盈利25%,这件衣服的进价是多少?利润是多少?解:设这件衣服的进价是x元,根据利润率、利润、进价三者的关系(关系式为利润=_____________),得利润为_________,根据利润、售价、进价三者之间的关系可列方程:________________________.解得___________.利润为_________.(答略)另解: 设这件衣服的进价是x元,根据利润、售价、进价三者之间的关系,得利润为_________,想一想:下一步应该根据哪一个关系式列方程?比较两种解法,你有什么体会?〖试一试〗某商店以每件60元的价格卖出一件衣服,亏损25%,利润是多少?相信你能独立解决这道题,如果能用两种方法解更好.〖探索3〗某服装店出售一种优惠卡,花200元买这种卡后,可凭卡在这家商店按8折购物.小芳购卡后买了一件原价1200元的西装;小敏购卡后买了一件原价500元的毛衣.他们买卡购物是否划算?为什么? 你知道她们在什么情况下买卡购物才划算吗?〖探索4〗1.若每千瓦时的电费为0.5元,3只60瓦(即0.06千瓦)的白炽灯,一个月使用120小时,该付电费多少元?提示:电灯的电功率(千瓦数)×使用时间(小时数)=用电量(千瓦时数).2.小明和爸爸一起逛超市.小明想在两种灯中选购一种,其中一种是11瓦(即0.011千瓦)的节能灯,售价是50元;另一种是60瓦的白炽灯,售价3元,两种灯的照明效果一样,使用寿命也相同,起初,小明想节省一点,买白炽灯.爸爸告诉他: “节能灯售价高,但较省电.”已知两种灯的使用寿命都是3000小时,每千瓦时的电费是0.5元.(1)请你帮小明算一下,如果照明时间为1000小时,该买哪一种灯?如果照明时间为小时呢?(2)照明多少时间用两种灯的费用相等(精确到1小时)?(3)照明多少时间选择节能灯可以省钱? 【备用素材】1.某种品牌服装的利润率为15%.如果进货价降低8%,而售出价不变, 那么利润率可增加到多少?比原来多了几个百分点?解:设原进价为a元(使用辅助性字母),则原售价为_______元,现进价为_______元,现利润率为(_____-______)÷_______=_____%.∴______%-15%=______%.答:___________________________.(思考:为什么不能说比原来多了10%?)
2.若进货价降低 8 %, 而售出价不变, 那么利润率可由目前的 p% 增加到(p+10)%(即增加10个百分点),求原来的利润率是多少?
解:不妨设原进货价为1元,则售出价为(1+p%)元,现在的进货价为0.92元,列方程:0. 92×[1+(p+10)%]=1+p%.解得p%=15%.答略.另解:设原进货价为a元,则售出价为(1+p%)a元,现在的进货价为0.92a元,列方程:0. 92a×[1+(p+10)%]=(1+p%)a.解得p%=15%.答略.思考:后一种解法是否比前一种更有说服力?
探索实际问题与一元一次方程 河北省迁安市扣庄中学 兰义元
一、教材分析
(一)教材的地位和作用
本节内容是一元一次方程应用的延伸与拓展,它进一步让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,同时又渗透了函数与不等式的思想,为以后内容学习奠定了必要的数学基础,本节内容具有承上启下的作用.学生能深刻地认识到方程是刻画现实世界有效的数学模型,领悟到“方程”的数学思想方法.总之,本节内容无论在知识上还是在数学思想方法上,都是十分很好的素材,能很好培养学生的探索精神、应用意识以及创新能力.
(二)教材的重难点
本节的重点是探索并掌握列一元一次方程解决实际问题的方法.而方程的建模思想学生还是初步接触,寻找相等关系对学生来说仍相当困难,所以确定“找出已知量与未知量之间的关系,尤其是相等关系”为本节的难点之一,列方程解应用题的最终目标是运用方程的解对客观现实作出合理的解释,这是本节的难点之二.
二、教学目标分析
(一)知识技能目标
1.目标内容
(1) 结合生活实际,会在独立思考后与他人合作,结合估算和试探,列出一元一次方程解决本节的三个实际问题,并能解释结果的实际意义及其合理性.
(2) 培养学生建立方程模型来分析、解决实际问题的能力以及探索精神、合作意识.
2.目标分析
(1) 本节的内容就是通过列方程、解方程来解决实际问题,这是必须掌握的知识,估算与试探的思维方法也很重要,这是发现和解决问题的有效途径.
(2) 七年级的学生对数学建模还比较陌生,建模能突出应用数学的意识,而探索精神和合作意识又是课标所大力倡导的,因而必须加强培养学生这方面的能力.
(二)过程目标
1.目标内容
在活动中感受方程思想在数学中的作用,进一步增强应用意识.
2.目标分析
利用方程解决问题是有用的数学方法,学生在前两节的数学活动中,有了一些初步的经验,但是更接近生活,更富有挑战性的问题则需要师生合作,探索解决.
(三)情感目标
1.目标内容
(1) 在探索中获得成功的体验,激发学生学习数学的热情,享受与他人合作的乐趣,建立自信心.
(2) 通过对实际问题的解决,进一步体会“数学来源于生活,且服务于生活”的辩证思想.
2.目标分析
七年级学生的年龄特征决定了他们好奇心强、思想活跃、求知心切.利用教材培养学生良好的学习习惯、方法和品质,这是落实新课标倡导的教育理念的关键.
三、教材处理与教法分析
本节内容拟定两课时完成,今天说课的内容是第一课时(探究ⅰ、探究ⅱ).根据本节课的特点及七年级学生的心理特征和认知特征,本节课采用探索发现法进行教学,在活动中充分体现学生是学习的主人,教师是学习的组织者、引导者、合作者.本课借助多媒体辅助教学,给学生以直观形象的演示,增强感性认识,增强教学效果.课中以设疑提问、分组活动等方式,激发学生的兴趣,引导学生自主探索与合作交流,主动获得知识.
四、教学过程分析
(一)教学过程流程图
探究ⅰ
(二)教学过程ⅰ
(以探究为主线、形式多样化)
1.问题情境
(1) 多媒体展示有关盈亏的新闻报道,感受生活实际.
(2) 据此生活实例,展示探究ⅰ,引入新课.
考虑到学生不完全明白“盈利”、“亏损”这样的商业术语,故针对性地播放相关新闻报道,然后引出要探索的问题ⅰ.
2.讨论交流
(1) 学生结合自己的生活实际,交流对“盈利”、“亏损”含义的理解.
(2) 学生交流后,老师提出问题:某件商品的进价是40元,卖出后盈利25%,那么利润是多少?如果卖出后亏损25%,利润又是多少?(利润是负数,是什么意思?)
(3) 要求学生对探究ⅰ中商店的盈亏进行估算,交流讨论并说明理由.在讨论中学生对商店盈亏可能出现不同的观点,因此引导学生用数学方法解决问题,统一认识.
(4) 师生互动,要知道究竟是盈是亏,必须先知道什么?从而引出要算出每件衣服的进价.
让学生讨论盈利和亏损的含义,理解其概念,建立感性认识;乍一看,大多数学生可能在大体估算后得到不亏不盈,直觉上也是如此,但要解决实际问题,还要知其原价(未知量),从这一分析引入未知量,为后面建立模型,做了必要的铺垫.
3.建立模型
(1) 学生自主探索,寻找已知量与未知量之间的关系,确定相等关系.
(2) 学生分组,根据找出的相等关系列出方程,其中一组计算盈利25%的衣服的进价,另一组计算亏损25%的衣服的进价.
(3) 师生互动:①两件衣服的进价和为________;②两件衣服的售价和为________;③由于进价________售价,由此可知两件衣服的盈亏情况.
(教师及时给出完整的解答过程)
学生分组、计算盈亏;教师参与、适当提示;师生互动、得到决策.这样设计,让学生体会到合作交流、互相评价、互相尊重的学习方式,有利于学生知识的形成与发展,也有利于学生健康人格的养成.这样设计易于突出重点,突破难点,巩固应用一元一次方程作工具来解决实际问题的方法,也很好地让学生从已有的经验中、活动中,有意义地构建自己的知识结构,获得
实际问题与一元一次方程探索富有成效的学习体验.
4.小结
一个感悟:估算与主观判断往往与实际情况大相径庭,需要我们通过准确的计算来检验自己的判断.
培养学生科学的学习态度与严谨的学习作风.
探究ⅱ
(三)教学过程ⅱ
1.在灯具店选购灯具时,由于两种灯具价格、能耗的不同,引起矛盾冲突.
恰当的问题情境激发学生探索的欲望,同时让学生体会到数学来源于生活,又服务于生活的实用性.
启发:选择的目的是节省费用,费用又是由哪些因素决定的?学生讨论得出结论:
2.列代数式
费用=灯的售价+电费
电费=0.5×灯的功率(千瓦)×照明时间(时)
在此基础上,用t表示照明时间(小时).要求学生列出代数式表示这两种灯的费用.
节能灯的费用(元):60+0.5×0.011t.
白炽灯的费用(元):3+0.5×0.06t.
分析各个量之间的关系,列出代数式,为后面列方程,并进一步探索提供了基础.
3.特值试探 具体感知
学生分组计算:
t=1000、2500、3000时,这两种灯具的使用费用,填入下表:
时间(小时)
1000
2500
3000
节能灯的费用(元)
白炽灯的费用(元)
学生填完表格后,展示由表格数据制成的条形统计图.
引导学生讨论:从统计图表,你发现了什么?
问题的答案是多样的,师生共同得出:照明时间不同,作出的选择不同.
由于在前面的第二节,学生已经学过“两种移动电话计费方式”的一道例题,因此学生应该能较熟练地完成表格中的特值试探.又因为七年级学生的认知以直观形象为主,再给出统计图,完成特殊到一般,感性到理性的深化.
4.方程建模
观察统计图,你能看出使用时间为多少(小时)时,这两种灯的费用相等吗?
列出方程:
60+0.5×0.011t=3+0.5×0.06t
5.合作交流 解释拓展
(1) 照明时间小于2327小时,用哪种灯省钱?照明时间超过2327小时.但不超过3000小时,用哪种灯省钱?
学生分组讨论,交流各自的看法.
(2) 如果计划照明3500小时,则需购买两个灯,设计你认为合理的选灯方案.
学生分组、讨论购灯方案只有三种:①两盏节能灯;②两盏白炽灯;③一盏节能灯、一盏白炽灯.
学生计算各种方案所需费用.
关于选灯方案③,学生可能会有不同的结果,先让学生充分展示他们的计算理由,然后对学生得出“使用节能灯3000小时,白炽灯500小时”的结论,给予充分肯定,并引导学生寻找理论依据,列式验证:
设节能灯的照明时间为t(小时),那么总费用为:
60+3+0.5×0.011t+0.5×0.06(3500-t)=168-0.0245t(0≤t≤3000)
观察上式可看出,只有当t=3000时,总费用最低.
培养学生合作交流,倾听他人意见,并从交流中获益的学习习惯,综合各方面信息的能力.讨论2需要考虑的情形不只一种,通过这一问题,培养分类讨论的思想,养成缜密的思维品质.此处渗透着函数、不等式和分类讨论的思想,为后面学习实际问题提供了实践经验.
6.反馈练习
一家游泳馆每年6~8月出售夏季会员证,每张会员证80元,只限本人使用,凭证购入场券每张1元,不凭证购入场券每张3元,讨论并回答:
(1) 什么情况下,购会员证与不购证付相同的钱?
(2) 什么情况下,购会员证比不购证更合算?
(3) 什么情况下,不购会员证比购证更合算?
适时的反馈练习,以加深学生对这一知识的理解,逐步完善自己的知识结构.
(四)教学小结
学生分组小结“本课学到了什么”,各组发言交流体验、教师总结:
五、设计说明
七年级学生的年龄特征决定了他们好奇心强,思想活跃、求知心切.因此我从“以人为本”的理念出发,依据数学的工具性和人文性等特点,在整个教学活动中始终关注学生的发展,培养学生的创新精神与创新能力.
(一)充分尊重学生的主体地位
发挥学生的主体作用,坚持让学生自主探索、合作交流,展示学生的思维过程.
(二)树立方程建模思想
突出解释与应用,渗透函数、不等式、分类讨论等数学思想和方法,培养学生应用数学的意识.
(三)注重对学习过程与方法的评价
关注学生参与数学活动的热情,与他人合作的态度,以及独立地分析问题、解决问题的能力,力争让不同的人在数学上得到不同的发展.
(1) 某种商品因换季打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元;而按定价的九折出售将赚20元.问这种商品的定价为
实际问题与一元一次方程探索多少元?
(2) 某商店为了促销a牌高级洗衣机,规定在元旦那天购买该机可以分两期付款,在购买时先付一笔款,余下部分及它的利息(年利率为5.6%)在明年的元旦付清,该洗衣机售价是每台8 224元,若两次付款相同,问每次应付款多少元?
(3) 工厂甲、乙两车间去年计划共完成税利720万元,结果甲车间完成了计划的115%,乙车间完成了计划的110%,两车间共完成税利812万元,求去年两个车间各超额完成税利多少万元?
(4) 一辆汽车用40千米/时的速度由甲地驶向乙地,车行3小时后,因遇雨平均速度被迫每小时减少10千米,结果到达乙地时比预计的时间晚了45分钟,求甲、乙两地间的距离.
(5) 甲、乙两人合办一小型服装厂,并协议按照投资额的比例多少分配所得利润,已知甲与乙投资比例为3∶4,第一年共获利30 800元,问甲、乙两人可获利润多少元?
(6) 有人问老师班级有多少名学生时,老师说:“一半学生在学数学,四分之一学生在学音乐,七分之一的学生在读外语,还剩六名学生在操场踢球.”你知道这个班有多少名学生吗?
(7) 某人10时10分离家去赶11时整的火车,已知他家离车站10千米,他离家后先以3千米/时的速度走了5分钟,然后乘公共汽车去车站,问公共汽车每小时至少走多少千米才能不误火车?
综合运用
4.某市居民生活用电基本价格是每度0.40元,若每月用电量超过a度,超出部分按基本电价的70%收费.
(1) 某户五月份用电84度,共交电费30.72元,求a;
(2) 若该户六月份的电费平均为每度0.36元,求六月份共用电多少度?应交电费多少元?
5.为了鼓励节约用水,市政府对自来水的收费标准作如下规定:每月每户不超过10吨部分,按0.45元/吨收费;超过10吨而不超过20吨部分,按0.80元/吨收费;超过20吨部分,按1.5元/吨收费.现已知李老师家六月份缴水费14元,问李老师家六月份用水多少吨?
6.一支自行车队进行训练,训练时所有队员都以35千米/时的速度前进.突然,有一名队员以45千米/时的速度独自行进,行进10千米后调转车头,仍以45千米/时的速度往回骑,直到与其他队员会合.你知道这名队员从离队到与队员重新会合,经过了多长时间吗?
7.有8名同学分别乘两辆轿车赶往火车站,其中一辆轿车在距离火车站15千米时出现故障,此时离火车停止检票时间还有42分,这时惟一可以利用的交通工具只有一辆轿车,连司机在内限乘5人,这辆小轿车的平均速度为60千米/时.这8名同学都能赶上火车吗?
拓广探索
8.一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游.甲旅行社说:“如父亲买全票一张,其余人可享受半价优惠.”乙旅行社说:“家庭旅行算集体票,按原价的优惠.”这两家旅行社的原价相同.你知道哪家旅行社更优惠吗?
