2.3函数的单调性（通用12篇）
幂函数、指数函数和对数函数·（一）·教案
教学目标
1.使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性.
2.通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力.通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力.
3.通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育.
教学重点与难点
教学重点：函数单调性的概念.
教学难点 ：函数单调性的判定.
教学过程 设计
一、引入新课
师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？
（用投影幻灯给出两组函数的图象.）
第一组：
第二组：
生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小.
师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对.他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别.当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小.虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质.我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质.而这些研究结论是直观地由图象得到的.在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容.
（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意.）
二、对概念的分析
（板书课题：）
师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍.
（学生朗读.）
师：好，请坐.通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？
生：我认为是一致的.定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少.
师：说得非常正确.定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质.这就是数学的魅力！
（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣.）
师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力.
（指图说明.）
师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间.
（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解.渗透数形结合分析问题的数学思想方法.）
师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……
（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师.）
生：较大的函数值的函数.
师：那么减函数呢？
生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数.
（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整.）
师：好.我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？
（学生思索.）
学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力.
（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气.在学生感到无从下手时，给以适当的提示.）
生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语.
师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同.增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性.请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？
生：不能.因为此时函数值是一个数.
师：对.函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化.那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？
生：不能.比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数.因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数.
（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知.）
师：好.他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”.这说明是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数.因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间.
师：还有没有其他的关键词语？
生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语.
师：你答的很对.能解释一下为什么吗？
（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示.）
师：“属于”是什么意思？
生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取.
师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？
生：可以.
师：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）.
师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？
（让学生思考片刻.）
生：可以构造一个反例.考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了.
师：那么如何来说明“都有”呢？
生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数.
师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性.
（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解.在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力.）
师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小.即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立.这恰是辩证法中一般和特殊的关系.
（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力.）
三、概念的应用
例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？
（用投影幻灯给出图象.）
生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间.
生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？
师：问得好.这说明你想的很仔细，思考问题很严谨.容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）.反之不然，你能举出反例吗？一般来说.若f（x）在[a，
（增或减）.反之不然.
例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数.
师：从函数图象上观察固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径.
（指出用定义证明的必要性.）
师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程.
（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演.学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发.）
师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立.因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系.
生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，
f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，
所以f（x）是增函数.
师：他的证明思路是清楚的.一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）.但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号.应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）.最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）.
这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住.需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以
小.
（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势.在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的.）
调函数吗？并用定义证明你的结论.
师：你的结论是什么呢？
上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数.
生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义.比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数.
生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数.
域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数.因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接.另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间.
上是减函数.
（教师巡视.对学生证明中出现的问题给予点拔.可依据学生的问题，给出下面的提示：
（1）分式问题化简方法一般是通分.
（2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2-x1.
要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变.
对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视.）
四、课堂小结
师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？
（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示.）
生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时，应该注意证明的四个步骤.
五、作业
1.课本P53练习第1，2，3，4题.
数.
=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）
=（x1-x2）[a（x1+x2）+b].（*）
+b＞0.由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）.
课堂教学设计说明
是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质.并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用.对学生来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质.学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味.因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理.
另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点.因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用.
还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助.另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫.
课题：§1.3.1
教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性.
教学重点：函数的单调性及其几何意义.
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性.
教学过程：
一、引入课题
通过最近比较热门话题的股票作为引题，用上证指数随时间的“跌”、“涨”以及人们往往都会在涨到最高点卖出在最低点买进，形象刻画本课的要讲授的概念：函数的单调性以及最大最小值。
师：函数的性质的应用就在我们的生活中，我们的周边，如一天气温随时间的变化等。那我们今天就先来学习函数的单调性。
1. 画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1）f(x) = x
1 从左至右图象上升还是下降 ______?
2 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ .
2）f(x) = -2x+1
1 从左至右图象上升还是下降 ______?
2 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ .
3）f(x) = x2
1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ .
2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ .
问题设计的目的大体从三个层次上展开。首先画出图像并观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；然后，结合图、表，用自然语言描述，即y随x的增大而增大（或减小）；最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。问题链的设计由具体到抽象，由特殊到一般，由远及近，一步一步地促使学生形成概念。
问题1： 列表描点，画函数f（x）＝x2的图像。
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
f（x）＝x2
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…
意图：列表描点（自变量取值总是从小到大的选取，这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是一致的，这也是学生早就熟悉的。这样可以不必讨论，函数在某区间上递增是指从左到右的问题），通过计算函数值可以体验当自变量从小到大取值时，对应的函数值的大小变化规律。
说明：教师可以按照p37来excel画图。
问题2： 利用画出的图像，请描述函数值增减变化特征。
从函数图像及上述表格可以看出（这并不困难）：图象在y轴左侧“下降”，也就是，在区间 上，随着x的增大，相应的f（x）反而减小；图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间 上，随着x的增大，相应的f（x）也随着增大。
意图：几何直观，引导学生关注图形所反映出的特征。借助图像，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图形上的表现。
问题3： 当x从小到大变化时，y的值如何变化？
意图：是对前一个问题（直观）的再一次概括，一次自然语言描述。而且，既不能说随着x的增大y增大，也不能说随着x的增大y减小。学生必须分段回答这个问题，体验函数的这一特征是函数的局部特征。
问题4: 比较下列各数的大小。
22，32，42，（4.5）2，（5.1）2，（6.3）2。
就x在（0，+∞）从小到大取值时，具体讨论函数值的大小变化。这不难得到22＜32＜42＜（4.5）2＜（5.1）2＜（6.3）2。
显然有：当0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6时，有0＜x ＜x ＜x ＜x ＜x ＜x 时，即0＜y1＜y2＜y3＜y4＜y5＜y6。
意图：由具体的数字特征逐步向抽象的符号描述过渡。
问题5: 对于函数一个函数f（x），如果－1＜2时，有f（－1）＜f（2），能否说函数f（x）在区间（－1，2）上递增呢？
问题6: 函数f（x），对于（0，∞）上的无数个自变量的值x1，x2，x3，…，当0＜x1＜x2＜x3＜…时，有0＜y1＜y2＜y3＜…，能否说函数f（x）在（0，∞）上递增呢？请画图说明。
意图：这两个问题的目的是，逐步由“静态”、“有限”向“动态”、“无限”过渡。回答这些问题需要一定的抽象思维。问题6引导学生用反例说明问题，以便抓住问题的正面特征。
问题7: 在函数y＝x2的图像位于y轴右边的部分随便（任意）取两点，横坐标分别是x1，x2，即当0＜x1＜x2时，是否总有y1＜y2呢？
意图：抽象前的铺垫，以“随便”替代“任意”容易被接受。
问题8: 在函数y＝x2的图像位于y轴左边的部分任意取两点，横坐标分别是x1，x2，即当 x1＜x2＜0时，是否总有y1＜y2呢？
意图：把“随便”换成“任意”并不突然。任意x1＜x2＜0时，有y1＞y2。而0＜x1＜x2不变。这样，基本完成难点的突破。
问题9: 在函数y＝x2的图像上任意取两点，横坐标分别是x1，x2，当x1＜x2时，是否总有y1＜y2呢？
意图：函数递增、递减描述需要分段表述。
问题10: 你能否举出一个具体的函数的例子，使得它在区间（－∞，∞）上，对任意x1＜x2，总有y1＜y2。
意图：学生为寻找例子，会首先从形象直观的角度寻找思考，如f（x）＝x。加强几何直观与抽象表述之间的联系。
问题11: 你能否举出一个具体函数的例子，使得它在区间（0，∞）上，对任意x1＜x2，总有y1＞y2。
意图：使得学生把当前学习的内容与以前学习过的内容联系起来，先有函数性质特征再寻找具体函数的例子。从具体到抽象，从抽象到具体，体验函数的这一特征。
二、提出函数单调性定义
1.增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为i，
如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间d上是增函数（increasing function）.
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义.（学生活动）
意图：培养学生数学表达能力。
问题12：函数f（x）在区间（0，∞）上，总有f（x）＞f（0），能否说f（x）在（0，∞）上单调增？请举例说明。
意图：概念辨析。学生容易画出图形来加以说明。从反面进一步体验到，函数单调性中“任意x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）”中“任意”二字的意义，体验到为什么要在区间上任意取大小不同的两个值。
说明：
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2 必须是对于区间d内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) .
2.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间d叫做y=f(x)的单调区间：
3.已学函数的单调性：
三、单调性的应用：
例1.（教材p29例1）根据函数图象说明函数的单调性.
解：（略）
巩固练习：课本p38练习第1、3题
例2. 物理学中的波利尔定律p＝ （k是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积v减小，压强p将增大.试用函数的单调性证明之.
分析 怎样来证明“体积v减小，压强p将增大”呢，根据函数单调性的定义，只要证明函数p＝ （（k是正常数）是减函数.怎样证明函数p＝ （（k是正常数）是减函数呢，只要在区间（0，＋∞）（因为体积v＞0）任意取两个大小不相等的值，证明较小的值对应的函数值较大，即
设v1＜v2，去证明p1＞p2.也就是只要证明p1－p2＞0.
证明 设v1＜v2，v1，v2∈（0，+∞）.
p1－p2＝ － ＝ .
因为k是正常数，v1＜v2，所以 ＞0，p1＞p2.
所以，体积v减小，压强p将增大.
说明：教师把重心放在思路的分析上，而让学生进行具体的证明.
巩固练习：
1 课本p32练习第4题；
总结：利用定义证明函数f(x)在给定的区间d上的单调性的一般步骤：
1 任取x1，x2∈d，且x1<x2；
2 作差f(x1)－f(x2)；
3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间d上的单调性）.
探究：画出反比例函数 的图象.
1 这个函数的定义域是什么？
2 它在定义域i上的单调性怎样？证明你的结论.
（选讲）例3.借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间.
解：（略）
意图：新课程思想强调应用计算机软件等信息整合手段，本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象.
四、归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
五、作业布置
1. 书面作业：课本p39习题1.3（a组） 第1- 5题.
2. 提高作业：设f(x)是定义在r上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
1 求f(0)、f(1)的值；
2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集.
教学目的：函数单调性的应用
重点难点：含参问题的讨论，抽象函数问题.
教学过程
一、 复习引入 函数单调性的概念，复合函数的单调性.
二、 例题.
例1. 如果二次函数 在区间 内是增函数，求f(2)的取值范围.
分析：由于f(2)=22-(a-1) ×2+5=-2a+11,f(2)的取值范围即一次函数y= - 2a+11的值域，固应先求其定义域.
例2. 设y=f(x)在r上是单调函数，试证方程f(x)=0在r上至多有一个实数根.
分析：根据函数的单调性，用反证法证明.
例3. 设f(x)的定义域为 ，且在 上的增函数，
（1） 求证f(1)=0;f(xy)=f(x)+f(y);
（2） 若f(2)=1,解不等式
分析：利用f(x)的性质，脱去函数的符号，将问题化为解一般的不等式；注意，2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).
例4. 已知函数 .
（1） 当 时，求函数f(x)的最小值；
（2） 若对任意 恒成立，试求实数a的取值范围.
分析：（1）利用f(x)的单调性即可求最小值；
（2）利用函数的性质分类讨论解之.
例5.求函数 的单调区间.
分析：利用复合函数的单调性解题.
令 即函数的定义域为[-3，1]；
再根据复合函数的单调性求出其单调区间.
三、作业：《精析精练》p73智能达标训练.
教学目的：1.. 巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；初步了解复合函数单调性的判断方法.2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤.教学难点：单调性的综合运用一、复习引入：1.有关概念：增函数，减函数，函数的单调性，单调区间.2.判断证明函数单调性的一般步骤：（区间内）设量，作差（或比），变形，比较，判断.二、讲解新课：1.函数单调性的判断与证明例1.求函数 的单调区间.2.复合函数单调性的判断对于函数 和 ，如果 在区间 上是具有单调性，当 时， ，且 在区间 上也具有单调性，则复合函数 在区间 具有单调性的规律见下表：增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘减 ↘增 ↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.证明：①设 ，且 ∵ 在 上是增函数，∴ ，且 ∵ 在 上是增函数，∴ .所以复合函数 在区间 上是增函数。②设 ，且 ，∵ 在 上是增函数，∴ ，且 ∵ 在 上是减函数，∴ .所以复合函数 在区间 上是减函数。③设 ，且 ，∵ 在 上是减函数，∴ ，且 ∵ 在 上是增函数，∴ .所以复合函数 在区间 上是减函数。④设 ，且 ，∵ 在 上是减函数，∴ ，且 ∵ 在 上是减函数，∴ .所以复合函数 在区间 上是增函数。例2.求函数 的值域，并写出其单调区间。解：题设函数由 和 复合而成的复合函数，函数 的值域是 ， 在 上的值域是 .故函数 的值域是 .对于函数的单调性，不难知二次函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数；二次函数 区间 上是减函数，在区间 上是增函数。当 时， ，即 ， 或 .当 时， ，即 ， .
x
[-1,0]
(0,1)
u=g(x)
增
增
减
减y=f(u)
增
减
减
增y=f(g(x))
增
减
增
减综上所述，函数 在区间 、 上是增函数；在区间 、 上是减函数。三、课堂练习：课本p60练习：3，4四、作业： 课本p60 习题2.3 6（2），7 补充，已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)<f(x2-1),求x的取值范围.
2.3 函数的单调性（3课时）教学目的：理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数的单调性；能利用函数的单调性及对称性作一些函数的图象.教学重点：函数单调性的概念. 教学难点：函数单调性的证明 教学过程：
第一课时教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思。（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间。（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性。教学重点：函数的单调性的概念；教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性。一、复习引入：观察 二次函数y=x2 ，函数y=x3的图象，由形（自左到右）到数（在某一区间内，当自变量增大时，函数值的变化情况）(见课件第一页图1，2)二、讲授新课⒈ 增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域i内某个区间上的任意两个自变量的值 ⑴若当 < 时，都有f( )<f( ),则说f(x)在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当 < 时，都有f( )>f( ),则说f(x) 在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y= （图1），当x∈[0,+ )时是增函数，当x∈(- ,0)时是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.三、讲解例题：例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 例2 证明函数f(x)=3x+2在r上是增函数.例3 证明函数f(x)= 在(0,+ )上是减函数.例4.讨论函数 在(-2,2)内的单调性.三、练习 课本p59练习1，2四、作业 课本p60 习题2.3 1，3，4
一.说教材
地位及重要性
函数的单调性一节属高中数学第一册(上)的必修内容，在高考的重要考查范围之内。函数的单调性是函数的一个重要性质，也是在研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小、对函数的定性分析以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用。通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握函数单调性的概念和证明函数单调性的步骤，又可加深对函数的本质认识。也为今后研究具体函数的性质作了充分准备，起到承上启下的作用。
教学目标
(1)了解能用文字语言和符号语言正确表述增函数、减函数、单调性、单调区间的概念;
(2)了解能用图形语言正确表述具有单调性的函数的图象特征;
(3)明确掌握利用函数单调性定义证明函数单调性的方法与步骤;并能用定义证明某些简单函数的单调性;
(4)培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质;同时让学生体验数学的艺术美，养成用辨证唯物主义的观点看问题。
教学重难点
重点是对函数单调性的有关概念的本质理解。
难点是利用函数单调性的概念证明或判断具体函数的单调性。
二.说教法
根据本节课的内容及学生的实际水平，我尝试运用“问题解决”与“多媒体辅助教学”的模式。力图通过提出问题、思考问题、解决问题的过程，让学生主动参与以达到对知识的“发现”与接受，进而完成对知识的内化，使书本知识成为自己知识;同时也培养学生的探索精神。
三.说学法
在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决;通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中;同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。
四.说过程
通过设置问题情景、课堂导入、新课讲授及终结阶段的教学中，我力求培养学生的自主学习的能力，以点拨、启发、引导为教师职责。
设置问题情景
[引例]学校准备建造一个矩形花坛，面积设计为16平方米。由于周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米。记花坛受限制的一边长为x米，半周长为y米。
写出y与x的函数表达式;
求(1)中函数的最大值。
(用多媒体出示问题，并让学生思考)
北大附中深圳南山分校：马立明一、教材分析-----教学内容、地位和作用本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。总课时安排为3课时，《函数的单调性》是本节中的第一课时。函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。按现行教材结构体系，该内容安排在学习了函数的现代定义及函数的三种表示方法之后，了解了在生活实践中函数关系的普遍性，另外学生已在初中学过一次函数、反比例函数、二次函数等初等函数。在学生现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；在本节课是以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。二、学情分析教学目标的制定与实现，主要取决于我们对学习者掌握的程度。只有了解学习者原来具有的认知结构，学习者的准备状态，学习风格，情感态度等，我们才能制定合适的教学目标，安排合适的教学活动与评价标准。不同的教学环境，不同的学习主体有着不同的学习动机和学习特点。我所教授的班级的学生具体学情具体到我们班级学生而言有以下特点：学生多才多艺，个性张扬，但学科成绩不很理想，参差不齐；经受不住挫折，需要经常受到鼓励和安慰，否则就不能坚持不懈的学习；学习习惯不好，小动作较多，学习时注意力抗干扰能力不强，易被外界因素所影响，需要不断的引导；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。只有少部分学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。三、教学目标：根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征 ，制定如下教学目标： (一)三维目标1 知识与技能：（1） 使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。（2） 通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力； 2 过程与方法： （1） 通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。（2） 通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。。（二）重点、难点重点：函数单调性的概念: 为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为：作图象并观察图象→讨论：函数图象的变化趋势是什么？→在这种变化趋势下， x与函数值y是如何相互影响的？→你能从量的角度出一个缜密的，完善的定义来吗？每个步骤都是在教师的参与下与引导下，通过学生与学生之间，师生之间的合作交流，不断反省，探索，直到完善结论，最终达到一个严密，简洁的定义。难点：函数单调性的判断与推证：突破该难点的：通过对照、分析定义，引导学生，概括出证明方法及步骤：“取量定大小，作差定符号，判断得结论”，并注意解题过程的规范性与严谨性。四、教学方法：合作学习认为教学是师生之间、生生之间相互作用的过程，强调多边互动，共同掌握知识。视教学为师生平等参与和互动的过程，强调教师只是小组中的普通一员，起到一个引导者，管理者角色。在课堂教学中要加强知识发生过程的教学，充分调动学生的参与的积极性，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性品质，从而达到提高学生整体的数学素养的目的。结合教学目标和学生情况我采用合作交流，探究学习相结合的教学方法。五、内容组织形式 课堂教学环节
六、教学过程及设想
教学环节
教学过程
设计意图
(一)课前诊测，完善认知画出函数的图象,并研究出它们各自的变化趋势。认知派学习理论认为学习的积累及恰当与否取决于学习者已有的认知结构。残缺的认知结构是完成不了整个学习过程的。针对学生的实际情况，在上一节的课后布置作业让学生画一次函数，二次函数及反比例函数图象，回顾以前知识，尽而形成一个完整的认知结构，为以后的学习排除障碍。
（二）创设情景，引发兴趣
师：在生活中我们经常会关注一些实际问题。如果你是市长分管防洪抗旱工作，你会对水位的涨落随时间变化的规律特别关心，如果你为一个股民的话，你心里想得就是如果能预见每天股价的走势那该是一件多么幸福的事情。实际上这些问题归根结底就是：是研究量与量之间的变化趋势，也就是研究其中两个变量如何相互影响的，这也是我们今天所要研究的主要课题。
看以下实际问题：
请说出气温在哪些时段是升高的，怎么样用数学语言来刻画“随时间的增大气温逐步升高”这一特征？
这种在一定时间内，随着时间增大，气温逐步升高的现象反映在数学中，我们称它为函数的单调性 行为学习理论者强调环境对学习产生的影响。当学习者对某种特殊的刺激做出反应时，就产生了“学习”。依据教材知识，渗透新课标理念，通过与实际问题的联系，揭示我们研究此节内容的现实意义，目的引发学生学习兴趣，有利于学生学习动力的产生。要点：短，平，快。
（三）合作交流，建构数学
师生互动，引导探索
(四)建构数学，收获新知让一小组的代表上台来展示在上节课后所做的几个函数图象，并据此讨论下列问题，问题1、并说一说所画函数的图象的变化趋势。(下面打出部分函数的图象)观察得到：随着x值的增大，函数的函数图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈下降的趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一个区间内呈逐渐下降的趋势。(注意一定要提醒：是从左到右的看)问题2：你能明确的说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？此时x与函数值y如何相互影响的？讨论得到：在某一个区间内，当x值增大时，函数值y也增大 图象在该区间内呈上升趋势。在某一个区间内，当x值增大时，函数值y也反而减小 图象在该区间内呈下降趋势。在众多的函数中，很多函数都具有这种性质，因此我们有必要对函数的这种性质做进一步的讨论与研究。这就是我们今天这一节课的主题。函数的这种性质，我们就称为函数的单调性。(对每一个问题，小组成员先独立做，再分别说出自己的想法，然后讨论，形成集体的意见。)1、通过一系列的问题，引发对概念的全面思考。从具体到抽象，再从抽象到具体，并通过合作交流，增强学生对概念的理解，不断的修正、完善结论，达到建构数学的目的。2、教学实践证明，小组内成员合作，组间成员竞争的讨论是一种有效的教学策略，使得整个评价的重心同个人之间竞争转为团体合作达标。并能使教师与学生、学生与学生之间有更多的交往、互动的机会。它也是引导学生积极参与教学过程的重要措施，是培养学生合作精神和激发学生创新意识的重要手段，也是促使每个学生得到充分发展的有效途径3、重点：学生能否抓住定义中的关键词“给定区间”、“任意”和“都有”，是能否正确，深入透彻地理解和掌握概念的重要一环。分析定义，使学生把定义与图形结合起来，使新旧知识 融为一体，加深对概念的理解，渗透数形结合的分析问题的数学思想方法问题3：我们刚才已经对函数的单调性，做了定性的分析，我们如何从量的角度来刻画这种性质。你能给出一个确切的定义来吗？请用你自己的话表达出来，并说给你的小组成员听，并与他交流后，形成集体意见，再展示给大家。(教师巡视，视小组讨论情况，可提示：在区间a中，若x=2时，y=5；x=3时，y=7，能不能说随着x的增大，y也增大；)
最后的结论：
定义：对于函数f(x)的定义域i内某个区间a上的任意两个值
⑴若当 < 时，都有f( )<f( ),则说f(x)在这个区间上是增函数；
⑵若当 < 时，都有f( )>f( ),则说f(x) 在这个区间上是减函数。增函数的本质是在某个区间上，较大的自变量对应较大的函数值，减函数反之。
（四）数学运用，巩固新知(一)例题例1：(1)定义在r上的函数y=f(x)图象如图甲，所示，请说出它的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数
(2)参看所画看图乙，指出函数y=(1/x)的单调区间，能不能说在定义域内是单调减函数？指出函数 的单调区间，能不能说在定义域内是单调减函数？
(3))如图丙，函数图象如图，写出单调区间 让学生进一步理解一般函数单调区间的定义，(1)区间的端点要不要？(2)在这里一定要强调单调性只是函数的“局部性质”它与区间密不可分。-----不能把函数的单调区间写成
例2 判断并证明函数f(x)= 在(0,+ )上的单调性。证明：设 , 是(0,+ )上的任意两个实数，且 < ，------------------------------(取量定大小)则f( )－f( )= － = , 由 , ∈(0,+ )，得 >0,又由 < ,得 － <0 ,于是f( )－f( )<0,即 f( )<f( )------------------------------作差定符号∴f(x)= 在(0,+ )上是减函数.--------- 判断定结论 (让一个中等学生上去板演)，2、由于例2难度较大，学生难以从中归纳出 证明方法及步骤，因而有必要先详细讲解，通过分析、引导学生抽象、概括出方法及步骤，提示学生注意证明过程的规范性及严谨性。 归纳证明方法并加以比较说明；使学生突破本节的难点，掌握重点内容。基本步骤：“取量定大小，作差定符号，判断定结论”其中第二环节是难点“作差→变形→判断正负”。(二)课堂练习：1、判断下列说法是否正确(1) 定义在r上的函数 满足 ，则函数是r上的增函数。(2) 定义在r上的函数 满足 ，则函数是r上不是减函数。(3) 定义在r上的函数 在 上是增函数，在 上也是增函数，则函数是r上的增函数。(4)、定义在r上的函数 在 上是增函数，在 上也是增函数，则函数是r上的增函数。2、 判断函数f(x)=kx+b在r上的单调性，并说明理由.3、判断并证明函数 在(- ，0)上的单调性。练习的设定也是由浅入深层层推进的。
(五)回顾总结，加深理解 理解理解请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是词语特别注意的？(请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示)1、函数单调性的定义，注意定义中的关键词。2、证明函数单调性的一般步骤；3、在写单调区间时，不要轻易用并集的符号连接；课后知识性内容总结，把课堂内容转化为学生的素质
( 六)兼顾差异，分层练习必做：习题2.1(3)：第1、4、7题选做：研究 的单调性，并给出严格证明，你能求出该函数的值域吗？ 1、针对学生个体的差异设置分层练习。既注重课内基础知识掌握，又兼顾了有余力的学生的能力的提高。 2、提出新的课题是想把问题研究引向课外，激发学生兴趣，为下一节课“最值”作好充分的准备。
希望得到各位评委的批评指正课后记：在本节课中我力求做一名引导者，管理者营造一种平等，民主，和谐的学习气氛，充分发挥评价在教学中的导向和激励作用，与学生平等，民主的讨论问题，增强学生之间的合作交流意识。集体讲授时力求简要清晰，高效低耗。
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一、教材分析
1 、教材地位和作用：二面角是我们日常生活中经常见到的、很普通的一个空间图形。“二面角”是人教版《数学》第二册(下B)中9.7的内容。它是在学生学过两条异面直线所成的角、直线和平面所成角、又要重点研究的一种空间的角，它是为了研究两个平面的垂直而提出的一个概念，也是学生进一步研究多面体的基础。因此，它起着承上启下的作用。通过本节课的学习还对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。
2、教学目标:
知识目标：(1)正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力目标：(1) 突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。(2)通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
德育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生应用数学的意识(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。
3、重点、难点：
重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念
难点：“二面角的平面角”概念的形成过程
二、教法分析
1、教学方法：在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法，在新课探究中采用问题启导、活动探究和类比发现法，在形成技能时以训练法、探究研讨法为主。
2、教学控制与调节的措施：本节课由于充分运用了多媒体和实物教具，预计学生对二面角及二面角平面角的概念能够理解，根据学生及教学的实际情况，估计二面角的具体求法一节课内完成有一定的困难，所以将其放在下节课。
3、教学手段：教学手段的现代化有利于提高课堂效益，有利于创新人才的培养，根据本节课的教学需要，确定利用多媒体课件来辅助教学;此外，为加强直观教学，还要预先做好一些二面角的模型。
三、学法指导
1 、乐学：在整个学习过程中学生要保持强烈的好奇心和求知欲，不断强化自己的创新意识，全身心地投入到学习中去，成为学习的主人。
2 、学会：在掌握基础知识的同时，学生要注意领会化归、类比联想等数学思想方法的运用，学会建立完善的认知结构。
3、 会学：通过自己亲身参与，学生要领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法，从而既学到知识，又学会创新，既能解决问题，更能发现问题 。
四、教学过程
心理学研究表明，当学生明确数学概念的学习目的和意义时，就会对概念的学习产生浓厚的兴趣。创设问题情境，激发了学生的创新意识，营造了创新思维的氛围。
(一)、二面角
1、揭示概念产生背景。
问题情境 1 、在平面几何中“角”是怎样定义的?
问题情境 2 、在立体几何中我们还学习了哪些角?
问题情境 3 、运用多媒体和身边的实例，展示我们遇到的另一种空间的角——二面角(板书课题)。
通过这三个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备;同时也让学生领会到，二面角这一概念的产生是因为它与我们的生活密不可分，激发学生的求知欲。2、展现概念形成过程。
问题情境 4 、那么，应该如何定义二面角呢?
创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。教师应注意多让学生说，对于学生的创新意识和创新结果，教师要给与积极的评价。
问题情境 5 、同学们能举出一些二面角的实例吗?通过实际运用，可以促使学生更加深刻地理解概念。
(二)、二面角的平面角
1 、揭示概念产生背景。平面几何中可以把角理解为是一个旋转量，同样一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量。说明二面角不仅有大小，而且其大小是唯一确定的。平面与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况，为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题。
问题情境6、二面角的大小应该怎么度量?能否转化为平面角来处理?这样就从度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念产生的背景。
2 、展现概念形成过程
( 1 )、类比。 教师启发，寻找类比联想的对象。
问题情境 7 、我们以前碰到过类似的问题吗? 引导学生回忆前面所学过的两种空间角的定义，电脑演示以提高效率。
问题情境 8 、两定义的共同点是什么? 生：空间角总是转化为平面的角，并且这个角是唯一确定的。
问题情境9、这个平面的角的顶点及两边是如何确定的?
( 2 )、提出猜想： 二面角的大小也可通过平面的角来定义。 对学生提出的猜想，教师应该给予充分的肯定，以培养他们大胆猜想的意识和习惯，这对强化他们的创新意识大有帮助。
问题情境10 、那么，这个角的顶点及两边应如何确定呢? 生：顶点放在棱上，两边分别放在两个面内。 这也是学生直觉思维的结果。
( 3 )、探索实验。通过实验，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的动手操作能力。
( 4 )、继续探索，得到定义。
问题情境11 、那么，怎样使这个角的大小唯一确定呢? 师生共同探讨后发现，角的顶点确定后，要使此角的大小唯一确定，只须使它的两条边在平面内唯一确定，联想到平面内过直线上一点的垂线的唯一性，由此发现二面角的大小的一种描述方法。
( 5 )、自我验证 ：要求学生阅读课本上的定义。并说明定义的合理性，教师作适当的引导，并加以理论证明。
(三)、二面角及其平面角的画法
主要分为直立式和平卧式两种，用电脑《几何画板》作图。
(四)、范例分析
为巩固学生所学知识，由于时间的关系设置了一道例题。来源于实际生活，不但培养了学生分析问题和解决问题的能力，也让学生领会到数学概念来自生活实际，并服务于生活实际，从而增强他们应用数学的意识。
例：一张边长为 10 厘米的正三角形纸片 ABC ，以它的高 AD 为折痕，折成一个 120 0 二面角，求此时 B 、 C 两点间的距离。
分析：涉及二面角的计算问题，关键是找出(或作出)该二面角的平面角。引导学生充分利用已知图形的性质，最后发现可由定义找出该二面角的平面角。可让学生先做，为调动学生的积极性，并增加学生的参与感，活跃课堂的气氛，教师可给学生板演的机会。教师讲评时强调解题规范即必须证明 ∠ BDC 是二面角 B — AD — C 的平面角。
变式训练：图中共有几个二面角?能求出它们的大小吗?根据课堂实际情况，本题的变式训练也可作为课后思考题。
题后反思：(1)解题过程中必须证明∠ BDC 是二面角 B — AD — C 的平面角。
(2)求二面角的平面角的方法是：先找(或作)——后证——再解(三角形)
(五)、练习、小结与作业
练习：习题9.7的第3题
小结 在复习完二面角及其平面角的概念后，要求学生对空间中三种角加以比较、归纳，以促成学生建立起空间中角这一概念系统。 同时要求学生对本节课的学习方法进行总结，领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法。
作业：习题9.7的第4题
思考题：见例题
五、板书设计(见课件)
以上是我对《二面角》授课的初步设想，不足之处，恳请大家批评指正，谢谢!
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一.说教材
地位及重要性
函数的单调性一节属高中数学第一册(上)的必修内容，在高考的重要考查范围之内。函数的单调性是函数的一个重要性质，也是在研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小、对函数的定性分析以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用。通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握函数单调性的概念和证明函数单调性的步骤，又可加深对函数的本质认识。也为今后研究具体函数的性质作了充分准备，起到承上启下的作用。
教学目标
(1)了解能用文字语言和符号语言正确表述增函数、减函数、单调性、单调区间的概念;
(2)了解能用图形语言正确表述具有单调性的函数的图象特征;
(3)明确掌握利用函数单调性定义证明函数单调性的方法与步骤;并能用定义证明某些简单函数的单调性;
(4)培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质;同时让学生体验数学的艺术美，养成用辨证唯物主义的观点看问题。
教学重难点
重点是对函数单调性的有关概念的本质理解。
难点是利用函数单调性的概念证明或判断具体函数的单调性。
二.说教法
根据本节课的内容及学生的实际水平，我尝试运用“问题解决”与“多媒体辅助教学”的模式。力图通过提出问题、思考问题、解决问题的过程，让学生主动参与以达到对知识的“发现”与接受，进而完成对知识的内化，使书本知识成为自己知识;同时也培养学生的探索精神。
三.说学法
在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决;通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中;同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。
四.说过程
通过设置问题情景、课堂导入、新课讲授及终结阶段的教学中，我力求培养学生的自主学习的能力，以点拨、启发、引导为教师职责。
设置问题情景
[引例]学校准备建造一个矩形花坛，面积设计为16平方米。由于周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米。记花坛受限制的一边长为x米，半周长为y米。
写出y与x的函数表达式;
求(1)中函数的最大值。
(用多媒体出示问题，并让学生思考)
通过问题情景的设置主要是为了达到以下两个目的：
⑴第一问为了复习回顾函数的表达式;
五、板书
概念反思：
1.数学是一种工具：通过它可以很好的分析和解决问题。数学总是在不断的发明创造中去解决所遇到的问题。
2.为了研究自然界中量与量之间的变化关系发明了函数 …….同样为了进一步研究函数值的增减变化情况发明了单调性的概念……导数概念的发明使我们对函数性质的了解在单调性的基础上又更深入一步……增减变化的快慢.(图像的陡峭程度问题被数量化)
概念回顾:
函数单调性的定义
方法梳理:
1.函数单调性的判断及运用：
① 观察法： 同增异减.
② 导数法：在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减.
③ 图像法：变换
④ 用定义来判断函数的单调性.
对于任意的两个数x1，x2∈i，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间i上的增函数.
对于任意的两个数x1，x2∈i，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间i上的减函数.
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.
体验回顾:
1.下列说法正确的是 .
1）定义在r上的函数 满足 ，则 为r上的单调增函数
2）定义在r上的函数 在 上是单调增函数，在 上是单调增函数，则 为r上的单调增函数
3）定义在r上的函数 在 上是单调减函数，在 上是单调减函数，则为r上的单调减函数
4）定义在r上的函数 满足 ，则 为r上不是单调减函数
2. 求下列函数的单调区间 .
①. ； ②.
3. 函数 的单调减区间是 .
4.函数 ，单调区间 .
5.函数 的最小值是 .
经典探究:
例: 已知函数 ,对于 上的任意 ,有如下条件：① ；② ；③ .其中是 的充分条件是 (将充分条件的序号都填上) ___________. . ②,③
变式：已知函数 与 的定义域都是 ,值域分别是 与 ,在 上 是增函数而 是减函数,求证 分: 在 上为减函数.
变式：函数 在区间 上是单调 函数，求实数 的取值范围。
解：设 且 ，则
而 在 上是单调函数， 在 上恒正或恒负。
又 ，由 知只 有 符合题意，
时， 在 上单减
变式：若函数f(x)＝4xx2＋1在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则m∈__________.
解析 ∵f′(x)＝4(1－x2)(x2＋1)2，令f′(x)>0，得－1<x<1,
∴f(x)的增区间为(－1,1).
又∵f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
∴m≥－1，2m＋1≤1， ∴－1≤m≤0.
∵区间(m,2m＋1)中2m＋1>m，∴m>－1.
综上，－1<m≤0.
答案 (－1,0]
例:2 三个同学对问题“关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的范围”提出各自的解题思路：
甲说：只需不等式左边最小值不小于右边最大值。
乙说：把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数最值。
丙说：把不等式两边看成关于 的函数，作出函数的图像。
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 的范围是
参考答案：解析一：两边同除以 ，则
当且仅当 ，两等式同时成立， 所以 时，右边取最小值10，
解析二：根据填空题特点，可用数值代入，推算 值
设 ，将 上函数值列表如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
30 20.5 17.53 14.25 10 16.17 24.57 35.13 47.78 62.5 79.27
可推算 时， 取最小值10，
解析三：
当 ，
故 时， 取最小值10， 。（此法需用 结论）
命题意图与思路点拨：本题作为填空有效考查了学生探究能力与运算变换能力，以学生交流给出的语言作为解题参考，削减难度，探讨不等式恒成立的可能途径，充分考查学生利用函数思想处理恒成立不等式问题能力，题型别致。要重视变量分离方法在解题中的作用。
变式：当 时，函数 的最小值为 8
变式：关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的范围为__ ____
变式：
变式：设 ，则函数( 的最小值是 .
课后拓展：
1.下列说法正确的有 (填序号)
①若 ，当 时， ，则 在i上是增函数.
②函数 在r上是增函数.
③函数 在定义域上是增函数.
④ 的单调区间是 .
2.若函数 的零点 ， ，则所有满足条件的 的和为?
3. 已知函数 ( 为实常数).
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 ，设 在区间 的最小值为 ，求 的表达式；
（3）设 ，若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围.
解析：(1) 2分
∴ 的单调增区间为( )，(- ,0), 的单调减区间为(- )，( )
(2)由于 ，当 ∈[1,2]时，
10 即
20 即
30 即 时
综上可得
(3) 在区间[1,2]上任取 、 ，且
则
(*)
∵ ∴
∴(*)可转化为 对任意 、
即
10 当
20 由 得 解得
30 得
所以实数 的取值范围是
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一、教材分析
1 、教材地位和作用：二面角是我们日常生活中经常见到的、很普通的一个空间图形。“二面角”是人教版《数学》第二册(下b)中9.7的内容。它是在学生学过两条异面直线所成的角、直线和平面所成角、又要重点研究的一种空间的角，它是为了研究两个平面的垂直而提出的一个概念，也是学生进一步研究多面体的基础。因此，它起着承上启下的作用。通过本节课的学习还对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。
2、教学目标:
知识目标：(1)正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
(2)进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
能力目标：(1) 突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。(2)通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
德育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生应用数学的意识(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。
3、重点、难点：
重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念
难点：“二面角的平面角”概念的形成过程
二、教法分析
1、教学方法：在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法，在新课探究中采用问题启导、活动探究和类比发现法，在形成技能时以训练法、探究研讨法为主。
2、教学控制与调节的措施：本节课由于充分运用了多媒体和实物教具，预计学生对二面角及二面角平面角的概念能够理解，根据学生及教学的实际情况，估计二面角的具体求法一节课内完成有一定的困难，所以将其放在下节课。
3、教学手段：教学手段的现代化有利于提高课堂效益，有利于创新人才的培养，根据本节课的教学需要，确定利用多媒体课件来辅助教学;此外，为加强直观教学，还要预先做好一些二面角的模型。
三、学法指导
1 、乐学：在整个学习过程中学生要保持强烈的好奇心和求知欲，不断强化自己的创新意识，全身心地投入到学习中去，成为学习的主人。
2 、学会：在掌握基础知识的同时，学生要注意领会化归、类比联想等数学思想方法的运用，学会建立完善的认知结构。
3、 会学：通过自己亲身参与，学生要领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法，从而既学到知识，又学会创新，既能解决问题，更能发现问题 。
四、教学过程
心理学研究表明，当学生明确数学概念的学习目的和意义时，就会对概念的学习产生浓厚的兴趣。创设问题情境，激发了学生的创新意识，营造了创新思维的氛围。
(一)、二面角
1、揭示概念产生背景。
问题情境 1 、在平面几何中“角”是怎样定义的?
问题情境 2 、在立体几何中我们还学习了哪些角?
问题情境 3 、运用多媒体和身边的实例，展示我们遇到的另一种空间的角——二面角(板书课题)。
通过这三个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备;同时也让学生领会到，二面角这一概念的产生是因为它与我们的生活密不可分，激发学生的求知欲。2、展现概念形成过程。
问题情境 4 、那么，应该如何定义二面角呢?
创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。教师应注意多让学生说，对于学生的创新意识和创新结果，教师要给与积极的评价。
问题情境 5 、同学们能举出一些二面角的实例吗?通过实际运用，可以促使学生更加深刻地理解概念。
(二)、二面角的平面角
1 、揭示概念产生背景。平面几何中可以把角理解为是一个旋转量，同样一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量。说明二面角不仅有大小，而且其大小是唯一确定的。平面与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况，为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题。
问题情境6、二面角的大小应该怎么度量?能否转化为平面角来处理?这样就从度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念产生的背景。
2 、展现概念形成过程
( 1 )、类比。 教师启发，寻找类比联想的对象。
问题情境 7 、我们以前碰到过类似的问题吗? 引导学生回忆前面所学过的两种空间角的定义，电脑演示以提高效率。
问题情境 8 、两定义的共同点是什么? 生：空间角总是转化为平面的角，并且这个角是唯一确定的。
问题情境9、这个平面的角的顶点及两边是如何确定的?
( 2 )、提出猜想： 二面角的大小也可通过平面的角来定义。 对学生提出的猜想，教师应该给予充分的肯定，以培养他们大胆猜想的意识和习惯，这对强化他们的创新意识大有帮助。
问题情境10 、那么，这个角的顶点及两边应如何确定呢? 生：顶点放在棱上，两边分别放在两个面内。 这也是学生直觉思维的结果。
( 3 )、探索实验。通过实验，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的动手操作能力。
( 4 )、继续探索，得到定义。
问题情境11 、那么，怎样使这个角的大小唯一确定呢? 师生共同探讨后发现，角的顶点确定后，要使此角的大小唯一确定，只须使它的两条边在平面内唯一确定，联想到平面内过直线上一点的垂线的唯一性，由此发现二面角的大小的一种描述方法。
( 5 )、自我验证 ：要求学生阅读课本上的定义。并说明定义的合理性，教师作适当的引导，并加以理论证明。
(三)、二面角及其平面角的画法
主要分为直立式和平卧式两种，用电脑《几何画板》作图。
(四)、范例分析
为巩固学生所学知识，由于时间的关系设置了一道例题。来源于实际生活，不但培养了学生分析问题和解决问题的能力，也让学生领会到数学概念来自生活实际，并服务于生活实际，从而增强他们应用数学的意识。
例：一张边长为 10 厘米的正三角形纸片 abc ，以它的高 ad 为折痕，折成一个 120 0 二面角，求此时 b 、 c 两点间的距离。
分析：涉及二面角的计算问题，关键是找出(或作出)该二面角的平面角。引导学生充分利用已知图形的性质，最后发现可由定义找出该二面角的平面角。可让学生先做，为调动学生的积极性，并增加学生的参与感，活跃课堂的气氛，教师可给学生板演的机会。教师讲评时强调解题规范即必须证明 ∠ bdc 是二面角 b — ad — c 的平面角。
变式训练：图中共有几个二面角?能求出它们的大小吗?根据课堂实际情况，本题的变式训练也可作为课后思考题。
题后反思：(1)解题过程中必须证明∠ bdc 是二面角 b — ad — c 的平面角。
(2)求二面角的平面角的方法是：先找(或作)——后证——再解(三角形)
(五)、练习、小结与作业
练习：习题9.7的第3题
小结 在复习完二面角及其平面角的概念后，要求学生对空间中三种角加以比较、归纳，以促成学生建立起空间中角这一概念系统。 同时要求学生对本节课的学习方法进行总结，领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法。
作业：习题9.7的第4题
思考题：见例题
五、板书设计(见课件)
以上是我对《二面角》授课的初步设想，不足之处，恳请大家批评指正，谢谢!
一.说教材
地位及重要性
函数的单调性一节属高中数学第一册(上)的必修内容，在高考的重要考查范围之内。函数的单调性是函数的一个重要性质，也是在研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小、对函数的定性分析以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用。通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握函数单调性的概念和证明函数单调性的步骤，又可加深对函数的本质认识。也为今后研究具体函数的性质作了充分准备，起到承上启下的作用。
教学目标
(1)了解能用文字语言和符号语言正确表述增函数、减函数、单调性、单调区间的概念;
(2)了解能用图形语言正确表述具有单调性的函数的图象特征;
(3)明确掌握利用函数单调性定义证明函数单调性的方法与步骤;并能用定义证明某些简单函数的单调性;
(4)培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质;同时让学生体验数学的艺术美，养成用辨证唯物主义的观点看问题。
教学重难点
重点是对函数单调性的有关概念的本质理解。
难点是利用函数单调性的概念证明或判断具体函数的单调性。
二.说教法
根据本节课的内容及学生的实际水平，我尝试运用“问题解决”与“多媒体辅助教学”的模式。力图通过提出问题、思考问题、解决问题的过程，让学生主动参与以达到对知识的“发现”与接受，进而完成对知识的内化，使书本知识成为自己知识;同时也培养学生的探索精神。
三.说学法
在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决;通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中;同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。
四.说过程
通过设置问题情景、课堂导入、新课讲授及终结阶段的教学中，我力求培养学生的自主学习的能力，以点拨、启发、引导为教师职责。
设置问题情景
[引例]学校准备建造一个矩形花坛，面积设计为16平方米。由于周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米。记花坛受限制的一边长为x米，半周长为y米。
写出y与x的函数表达式;
求(1)中函数的最大值。
(用多媒体出示问题，并让学生思考)
通过问题情景的设置主要是为了达到以下两个目的：
⑴第一问为了复习回顾函数的表达式;
