因式分解（精选15篇）
课 题9.5乘法公式的再认识—因式分解
课时分配本课（章节）需 3 课时本 节 课 为 第 3 课时为 本 学期总第 课时因式分解（三）-- 提公因式法
教学目标1、 理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系2、 了解公因式的概念，掌握提公因式的方法3、 培养学生的观察、分析、判断及自学能力
重 点掌握公因式的概念，会使用提公因式法进行因式分解。
难 点1、正确找出公因式2、正确用提公因式法把多项式进行因式分解
教学方法
讲练结合、探索交流
课型
新授课
教具投影仪
教 师 活 动
学 生 活 动情景设置：学生阅读“读一读”后，完成练习下列由左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解，因式分解用的是哪个公式？⑴ （x+2）（x-2）=x2 - 4；⑵ x2 - 4=（x+2）（x-2）；⑶ x2 – 4 + 3x =（x+2）（x-2）+ 3x；⑷ x2 + 4 - 4x =（x-2）2⑸ am +bm +cm = m（a +b +c）新课讲解：我们来观察分析am +bm +cm = m（a +b +c），这个式子由左边到右边的变形是多项式的因式分解，这里m是多项式am +bm +cm的各项am 、bm 、cm都含有的因式，称为多项式各项的公因式。确定多项式的公因式的方法, 对数字系数取各项系数的最大公约数, 各项都含有的字母取最低次幂的积作为多项式的公因式, 公因式可以是单项式 , 也可以是多项式, 如:ax+bx 中的公因式是x. 多项式 a(x+y)+b(x+y) 的公因式是 (x+y). 如果多项式的第一项系数是负的, 一般要先提出 “一” 号, 使括号内的首项系数变为正, 在提出 “一” 号时, 注意括号里的各项都要变号.关键是确定多项式各项的公因式, 然后, 将多项式各项写成公因式与其相应的因式的积, 最后再提公因式, 把公因式写在括号外面, 然后再确定括号里的因式, 这个因式 ( 括号里的 ) 的项数与原多项式的项数相同, 如果项数不一致就漏项了.完成“议一议”如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来，把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。例题5：把下列各式分解因式：⑴ 6a3b – 9a2b2c﹢ ⑵ -2m3 + 8m2 - 12m思路点拨：通过例5，教会学生如何找公因式，讲清要决定系数与字母，具体方法加以强调。在提出 “一” 号后, 括到括号里的各项都要变号.解：⑴ 6a3b – 9a2b2c﹢= 3a2b·2a - 3a2b·3bc= 3a2b（2a - 3bc ） 完成“想一想”，要放手让学生去做例题6：把下列各式分解因式： ⑴ - 3x2 + 18x - 27； ⑵ 18a2 - 50；⑶ 2x2 y - 8xy + 8y。练习：第91页第1、2、3、4、5题小结：提公因式法分解因式的关键是确定公因式，当公因式是隐含的时候，多项式要经过适当的变形；变形的过程要注意符号的相应改变.我们已经学习了提公因式法和运用公式法，要注意先看能否用提公因式法，分解因式要进行到每个多项式因式都不能再分解为止。教学素材：a组题：1、 下列多项式因式分解正确的是 ( ) (a) (b) (c) (d) 2、(1) 的公因式是 (2) (3) 3、 把下列各式分解因式. (1) (2) (3) (4) 4、把下列各式分解因式：(1) 6p(p+q)-4p(p+q)；(2) (m+n)(p+q)-(m+n)(p-q)；(3) (2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)(4) x(x+y)(x-y)-x(x+y)2；5、把下列各式分解因式：(1) (a+b)(a-b)-(b+a)；(2) a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)；(3) 10a(x-y)2 - 5b(y-x)；(4) 3(x-1)3y-(1-x)3z b组题：1、把下列各式分解因式：(1) 6(p+q)2-2(p+q) (2) 2(x-y)2-x(x-y)⑶ 2x(x+y)2-(x+y)32、先因式分解，再求值. (1) x(a-x)(a-y)-y(x-a)(y-a)， 其中a=3，x=2，y=4； (2) -ab(a-b)2+a(b-a)2-ac(a-b)2， 其中a=3，b=2，c=1.让学生自己阅读“读一读”，体会因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系完成“议一议”由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充.学生回答：⑵ -2m3 + 8m2 - 12m= -（2m·m2 -2m· 4m +2m·6）= -2m（m2 - 4m +6）完成“想一想”由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充.让学生自己先做，同桌互相纠错，
作业第92页第2⑶⑷⑸、3题
板 书 设 计复习 例5 板演…… …… ………… …… ………… 例6 ………… …… ………… …… ……
教 学 后 记
这节课学习的主要内容是运用平方差公式进行因式分解，学习时如果直接就给同学们讲把前面在整式的乘法中学习到的平方差公式反过来运用就形成了因式分解的平方差公式，然后就是反复的运用、反复的操练的话，学生学起来就会觉得没有味道，对数学有一种厌烦感，所以我就想到了运用逆向思维的方法来学习这节课的内容。
在新课引入的过程中，我首先让学生回忆了前面在整式的乘法中遇到的乘法公式，比如平方差公式、完全平方公式。接着就让学生利用平方差公式做三个整式乘法的运算。然后，我巧妙的将刚才用平方差公式计算得出的三个多项式作为因式分解的题目请学生尝试一下。只见我的题目一出来，学生就争先恐后地回答出来了。待学生回答完之后，我马上追问“为什么”时，学生轻而易举地讲出是将原来的平方差公式反过来运用，马上使学生形成了一种逆向的思维方式。之后，我就顺利地和同学们一起分析了因式分解中的平方差公式——两数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，讨论了“怎样的多项式能用平方差公式因式分解？”可以说，对新问题的引入，我是采取了由浅入深的方法，使学生对新知识不产生任何的畏惧感。接下来，通过例题的讲解、练习的巩固让学生逐步掌握了运用平方差公式进行因式分解。
教学内容
用因式分解法解一元二次方程.
教学目标
掌握用因式分解法解一元二次方程.
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题.
重难点关键
1.重点：用因式分解法解一元二次方程.
2.难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便.
教学过程
一、复习引入
（学生活动）解下列方程.
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为 ， 的一半应为 ，因此，应加上（ ）2，同时减去（ ）2.（2）直接用公式求解.
二、探索新知
（学生活动）请同学们口答下面各题.
（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）
因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=- .
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2.
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.
例1.解方程
（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4
分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式
解：（1）移项，得：4x2-11x=0
因式分解，得：x（4x-11）=0
于是，得：x=0或4x-11=0
x1=0，x2=
（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0
（x-2）2-2（x-2）=0
因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0
整理，得：（x-2）（x-4）=0
于是，得x-2=0或x-4=0
x1=2，x2=4
例2.已知9a2-4b2=0，求代数式 的值.
分析：要求 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误.
解：原式=
∵9a2-4b2=0
∴（3a+2b）（3a-2b）=0
3a+2b=0或3a-2b=0，
a=- b或a= b
当a=- b时，原式=- =3
当a= b时，原式=-3.
三、应用拓展
例3.我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程.
（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0
分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交*相乘而成的.根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式.
解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）
∴（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）
∴（x-6）（x-1）=0
∴x-6=0或x-1=0
∴x1=6，x2=1
（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）
∴（x+5）（x-1）=0
∴x+5=0或x-1=0
∴x1=-5，x2=1
上面这种方法，我们把它称为十字相乘法.
四、归纳小结
本节课要掌握：
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用.
（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：
联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次.
②公式法是由配方法推导而得到.
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程.
区别：①配方法要先配方，再开方求根. ②公式法直接利用公式求根. ③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
五、作业
一、选择题
1.下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）.
a.（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
b.（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=
c.（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
d.x2=x 两边同除以x，得x=1
2.下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（ ）.
a.0个 b.1个 c.2个 d.3个
3.如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（ ）.
a.- b.-1 c. d.1
二、填空题
1.x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______.
2.方程（2x-1）2=2x-1的根是________.
3.二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________.
三、综合提高题
1.用因式分解法解下列方程.
（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0
（3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=0
2.已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值.
3.今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场.为了节约材料，鸡场的一边*着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）
答案:
一、1.b 2.a 3.d
二、1.x（x-5），（x-3）（2x-5） 2.x1= ，x2=1 3.（x+12）（x+8），x1=-12，x2=-8
三、1.
（1）3y（y-2）=0，y1=0，y0=2
（2）（5y）2-42=0 （5y+4）（5y-4）=0，y1=- ，y2=
（3）（x-14）（x+2）=0 x1=14，x2=-2
（4）（x-7）（x-5）=0 x1=7，x2=5
2.x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=1
3.设宽为x，则长为35-2x，依题意，得x（35-2x）=150 2x2-35x+150=0 （2x-15）（x-10）=0， x1=7.5，x2=10，当宽x1=7.5时，长为35-2x=20，当宽x=10时，长为15，因a≥20m，两根都满足条件.
一、教学目标
1.使学生理解二次三项式的意义；知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系；
2.使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式；
3.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力；
4.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步向学生渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般；
5.通过利用一元二次方程根的知识来分解因式，渗透知识间是普遍联系的数学美。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点：用公式法将二次三项式因式分解。
2.教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。
3.教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。
4.解决办法：二次三项式能分解因式
二次三项式不能分解
二次三项式分解成完全平方式
三、教学步骤
（一）教学过程
1.复习提问
（1）写出关于x的二次三项式？
（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解。
①；②；③。
由③感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题。
2.新知讲解
（1）引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系。
①；
解：原式变形为。
∴ ，
②；
解原方程可变为
观察以上各例，可以看出1，2是方程的两个根，而，……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式。
（2）推导出公式
设方程的两个根为，那么，
∴
这就是说，在分解二次三项式的因式时，可先用公式求出方程的两个根，然后写成
教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊。
（3）公式的应用
例1 把分解因式
解： ∵ 方程的根是
教师板书，学生回答。
由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的，目的是化简①。
练习：将下列各式在实数范围因式分解。
（1）；（2）
学生板书、笔答，评价。
例2 用两种方程把分解因式。
方法一，解：
方法二，解： ，
方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法。
练习：将下列各式因式分解。
学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：
（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程，可变形为；但将二次三项式分解因式时，就不能将变形为。
例如用求根公式求得的两个根是后，得出这就错了，这是因为丢掉了系数2。
（2）还要注意符号方面的错误，比如下面的例子如果写成也是错误的。
（3）一元二次方程当时，方程有两个实根。当时，方程无实根。这就决定了：当时，二次三项式在实数范围内可以分解；当时，二次三项式在实数范围内不可以分解。
（二）总结、扩展
1.用公式法将二次三项式因式分解的步骤是先求出方程的两个根，再将写成形式。
2.二次三项式因式分解的条件是：当，二次三项式在实数范围内可以分解；时，二次三项式在实数范围内不可以分解。
3.通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律。
四、布置作业
教材P38A1，2。
五、板书设计
因式分解是初中代数的重要内容，因其分解方法较多，题型变化较大，教学有一定难度。转化思想是数学的重要解题思想，对于灵活较大的题型进行因式分解，应用转化思想，有章可循，易于理解掌握，能收到较好的效果。
因式分解的基本方法是：提取公因式法、应用公式法、十字相乘法。对于结构比较简单的题型可直接应用它们来进行因式分解，学生能够容易掌握与应用。但对于分组分解法、折项、添项法就有些把握不住，应用转化就思想就能起到关键的作用。
分组分解法实质是一种手段，通过分组，每组采用三种基本方法进行因式分解，从而达到分组的目的，这就利用了转换思想。看下面几例：
例1、 4a2+2ab+2ac+bc
解:原式 =（4a2+2ab）+(2ac+bc)
=2a(2a+b)+c(2a+b)
=(2a+b)(2a+c)
分组后，每组提出公因式后，产生新的公因式能够继续分解因式，从而达到分解目的。
例2、 4a2-4a-b2-2b
解:原式=(4a2-b2)-(4a+2b)
=(2a+b)(2a-b)-2(2a+b)
=(2a+b)(2a-b-2)
按“二、二”分组，每组应用提公因式法，或用平方差公式，从而继续分解因式。
例3、 x2-y2+z2-2xz
解:原式=(x2-2xz+z2)-y2
=(x-z2)-y2
=(x+y-z)(x-y-z)
四项式按“三一”分组，使三项一组应用完全平方式，再应用平方差进行因式分解。
对于五项式一般可采用“三二”分组。三项这一组可采用提公因式法、完全平方式或十字相乘法，二项这一组可采用提公因式法或平方差公式分解，因此变化性较大。
例4、 x2-4xy+4y2-x+2y
解:原式=(x2-4xy+4y2)-(x-2y)
=(x-2y)2-(x-2y)
=(x-2y)(x-2y-1)
例5、 a2-b2+4a+2b+3
解:原式=(a2+4a+4)-(b2-2b+1)
=(a+2)2-(b-1)2
=(a+2+b-1)(a+2-b+1)
=(a+b+1)(a-b+3)
对于六项式可进行“二、二、二”分组，“三、三”分组，或“三、二、一”分组。
例6、 ax2-axy+bx2-bxy-cx2+cxy
①解:原式=(ax2-axy)+(bx2-bxy)-(cx2-cxy)
=ax(x-y)+bx(x-y)-cx(x-y)
=(x-y)(ax+bx-cx)
=x(x-y)(a+b-c)
②解:原式=(ax2+bx2-cx2)-(axy+bxy-cxy)
=x2(a+b-c)-xy(a+b-c)
=x(x-y)(a+b-c)
例7、 x2-2xy+y2+2x-2y+1
解:原式=(x2-2xy+y2)+(2x-2y)+1
=(x-y)2+2(x-y)+1
=(x-y+1)2
对于折项、添项法也可转化成这三种基本的方法来进行因式分解。
例8、 x4+4y4
解:原式=(x4+4x2y2+4y4)-4x2y2
=(x2+2y2)2-4x2y2
=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)
例9、 x4-23x2+1
解:原式=x4+2x2+1-25x2
=(x2+1)2-25x2
=(x2-5x+1)(x2+5x+1)
又如x3-7x-6可用折项、添项多种方法分解因式:
⑴x3-7x-6=(x3-x)-(6x+6)
⑵x3-7x-6=(x3-4x)-(3x+6)
⑶x3-7x-6=(x3+2x2+x)-(2x2+8x+6)
⑷x3-7x-6=(x3-6x2-7x)+(6x2-6)
只有掌握好三种基本的因式分解方法，才能应用转化思想处理灵活性较大、技巧性较强的题型。
本文有些内容超出大纲，但由于强调转化，既巩固知识，又开阔视野，对因式分解这一章会起到一定
用因式分解法求解一元二次方程导学案
§2.4用因式分解法求解一元二次方程
学习目标
1.我能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
2.我会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
学习重点
掌握分解因式法解一元二次方程。
学习难点
灵活运用分解因式法解一元二次方程。
学习方法
自主 合作 交流探究
环节一
自主学习
自主学习
1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为 的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为 。
3、选择合适的方法解下列方程：
①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0
4、 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
5、因式分解法 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x2－9＝0，这个方程可变形为(x＋3)(x－3)＝0，要(x＋3)(x－3)等于0，必须并且只需(x＋3)等于0或(x－3)等于0，因此，解方程(x＋3)(x－3)＝0就相当于解方程x＋3＝0或x－3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
6、因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程.其理论根据是：若a·b＝0新北师大版 <wbr>九年级上册数学2.4用因式分解法求解一元二次方程 <wbr>导学案a＝0或b＝0.
环节二
交流展示
二.交流展示
例：解下列方程。
1. 5x2=4x 2. x-2=x(x-2)
3.x2－6x－19＝0； 4. 3x2＝4x＋1
想一想：你能用几种方法解方程1、x2 -4=0, 2、(x+1) 2 -25=0 ？
环节三
能力提升
三、能力提升
1、用适当方法解下列方程：
(1)y2－15＝2y；(2)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0 (3)t(2t－1)＝3(2t－1)；
环节四
达标检测
1、关于x的方程x2＋(m＋n)x＋mn＝0的解为___
2、已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0.求x2＋y2的值.
3、已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x2－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是多少？
4、已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值
5、已知x2＋3xy－4y2＝0(y≠0)，试求新北师大版 <wbr>九年级上册数学2.4用因式分解法求解一元二次方程 <wbr>导学案的值.
环节五
作业布置
一、说教材
1、关于地位与作用。
本说课的内容是数学第二册7.1《因式分解》。因式分解不言而喻，就整个数学而言，它是打开整个代数宝库的一把钥匙。就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。它是继乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过这节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下的作用。
2、关于教学目标。
根据因式分解一节课的内容，对于掌握各种因式分解的方法，乃至整个代数教学中的地位和作用，特制定如下教学目标：
（一）知识与技能目标：
① 了解因式分解的必要性；
② 深刻理解因式分解的概念；
③ 掌握从整式乘法得出因式分解的方法。
（二）体验性目标：
①感受整式乘法与因式分解矛盾的对立统一观点；
②体验由和差到积的形成过程，初步获得因式分解的经验。
3、关于教学重点与难点。
重点是因式分解的概念。理由是理解因式分解的概念的本质属性是学习整章因式分解的灵魂，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，以及它们之间的关系进行因式分解的思想。理由是学生由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。在前一章整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。
4、关于教法与学法。
教法与学法是互相联系和统一的，不能孤立去研究。什么样的教法必带来相应的学法。因此，我们应该重点阐述教法。一节课不能是单一的教法，教无定法。但遵循的原则——启发性原则是永恒的。在教师的启发下，让学生成为行为主体。正如新《数学课程标准》所要求的，让学生“动手实践、自主探索、合作交流 ”。在上述思想为出发点，就本节课而言，不妨利用对比教学，让学生体验因式分解的必要性；利用类比教学，以概念的形曾成和同化相结合，促进学生对因式分解概念的理解；利用尝试教学，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。教师充分依照学生的认知心理，不断创设“最近发展区”，造就认知冲突，促进学生不断发现、不断达到知识的内化。
不管用什么教法，一节课应该不断研究学生的学习心理机制，不断优化教师本身的教学行为，自始至终对学生充满情感创造和谐的课堂氛围，这是最重要的。二、说过程。
第一环节，导入阶段。教师出示下列各题，让学生练习。
计算：（1）（a + b)^2 ； （2）（5a + 2b）（5a – 2b）； （3）m（a + b）.
学生完成后，教师引导：把上述等式逆过来看，即
（1）a^2+2ab+b^2=（a + b）^2；（2）25a^2– 4b^2 =（5a + 2b）（5a – 2b）；（3）ma+mb= m（a+ b）.
成立吗？
△安排这一过程的意图是：一是复习整式的乘法，激活学生原有整式乘法的认知结构，促使新旧认知结构的联结，满足“温故而知新”的教学原理。二是为本节课目标的达成作好垫铺。在此基础上引出课题——因式分解。
第二环节，新课阶段。
1、对比练习。让学生练习：当a=101，b=99时，求a2-b2的值.教师巡视，并代表性地抽取两名学生板演，给出两种解法。
△教师安排这一过程的意图是：利用对比分析，让学生体会，把a2-b2化为整式积的形式，给计算带来的优越性，顺应了因式分解概念的引出。
2、类比练习。让学生练习：分解下列三个数的质因数 （1）42； （2）56；（3）11.
在此，教师帮助归纳：42与56两个数可以化为几个整数的积，叫做因数分解。本身是质数的数就不能再分解。同时设疑，对于一个多项式能化为几个整式的积的形式吗？在师生互动的基础上，要求学生翻开课本阅读课本因式分解定义。
3、创设问题情景。同学们，我们不能迷信课本，课本的因式分解定义有毛病，请大家逐字研读，找出问题。让学生分四人小组讨论。（事实上正确）提问学生讨论结果，课本定义是正确的。教师板书：
一个多项式→几个整式+积→因式分解
师生归纳要注意的问题：
（1）因式分解是对多项式而言的一种变形；（2）因式分解的结果仍是整式；
（3）因式分解的结果必是一个积；（4）因式分解与整式乘法正好相反。
板书：
4、学生练习课本p152练习第1、2两题。
△教师安排这一过程意图是：通过对比教学，提高学生对因式分解的知觉水平；通过具体数的分解这一类比教学，产生正迁移，认识新概，符合学生概念形成的认知规律；通过故设偏差法，制造认知冲突，让学生咬文嚼字因式分解概念，引导学生主动探求，造求学生自主学习的积极势态，促进学生对概念本质属性的理解；让学生用正反习题的练习，达到知觉水平上的运用，促使对因式分解概念的理解。从而使本节课达到高潮。
第三环节。尝试练习，信息反馈。
让学生尝试练习：课本p152第3题，并引导中下学生看p152例题，教师及时点拨讲评。
△教师安排这一过程，完全放手让学生自主进行，充分暴露学生的思维过程，展现学生生动活泼、主动求知和富有的个性，使学生真正成为学习的主体，使因式分解与整式的乘法的关系得到正强化。
第四环节。小结阶段。
这是最后的一个环节，教师出示“想一想”：下列式子从左边到右边是因式分解吗，为什么？
学生展开讨论，得到下列结论：A.左边是乘法，而右边是差，不是积；
B.左右两边都不是整式；
C.从右边到左边是利用了因式分解的变形方法进行分解。
由此可知，上式不是因式分解。进而，教师呈现因式分解定义。
△教师安排这一过程意图是：学生一般到临近下课，大脑处于疲劳状态，注意力开始分散。教师如果把定义及要注意的问题进行小结后直接抛给学生，只能是是似而非。通过让学生练习，在练习中归纳，再一次点燃学生即将沉睡而去的心理兴奋点，点燃学生主题意识的再度爆发。同时，学生的知识学习得到了自我评价和巩固，成为本节课的最后一个亮点。
因式分解的简单应用一、 教学目标 1、 会运用因式分解进行简单的多项式除法。2、 会运用因式分解解简单的方程。二、 教学重点与难点教学重点：因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用。 教学难点 ：应用因式分解解方程涉及较多的推理过程。 三、 教学过程 （一） 引入新课1、 知识回顾（1） 因式分解的几种方法: ①提取公因式法: ma+mb=m(a+b) ②应用平方差公式: – =(a+b) (a-b)③应用完全平方公式:a ±2ab+b =(a±b) （2） 课前热身： ①分解因式:(x +4) y - 16x y（二） 师生互动，讲授新课1、运用因式分解进行多项式除法例1 计算: (1) (2ab －8a b) ÷(4a－b)（2）(4x －9) ÷(3－2x)解:(1) (2ab －8a b)÷(4a－b) =－2ab(4a－b) ÷(4a－b) =－2ab (2) (4x －9) ÷(3－2x) =(2x+3)(2x－3) ÷[－(2x－3)] =－(2x+3) =－2x－3 一个小问题 : 这里的x能等于3/2吗 ?为什么?想一想:那么(4x －9) ÷(3－2x) 呢?练习：课本P162——课内练习 12、 合作学习想一想:如果已知 ( )×( )=0 ，那么这两个括号内应填入怎样的数或代数式子才能够满足条件呢？ （让学生自己思考、相互之间讨论！）事实上，若A×B=0 ，则有下面的结论：（1）A和B同时都为零，即A=0，且B=0（2）A和B中有一个为零，即A=0，或B=0试一试:你能运用上面的结论解方程(2x+1)(3x-2)=0 吗？3、 运用因式分解解简单的方程例2 解下列方程： (1) 2x +x=0 (2) (2x-1) =(x+2) 解：x(x+1)=0 解：(2x-1) -(x+2) =0则x=0，或2x+1=0 (3x+1)(x-3)=0∴原方程的根是x1=0，x2= 则3x+1=0，或x-3=0 ∴原方程的根是x1= ，x2=3注：只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，比如：x1 ，x2 等练习：课本P162——课内练习2做一做！对于方程:x+2=(x+2) ，你是如何解该方程的，方程左右两边能同时除以(x+2)吗？为什么？ 教师总结：运用因式分解解方程的基本步骤（1）如果方程的右边是零，那么把左边分解因式，转化为解若干个一元一次方程； （2）如果方程的两边都不是零，那么应该先移项，把方程的右边化为零以后再进行解方程；遇到方程两边有公因式，同样需要先进行移项使右边化为零，切忌两边同时除以公因式！4、知识延伸解方程：(x +4) -16x =0解：将原方程左边分解因式，得 (x +4) -(4x) =0(x +4+4x)(x +4-4x)=0(x +4x+4)(x -4x+4)=0 (x+2) (x-2) =0接着继续解方程，5、 练一练 ①已知 a、b、c为三角形的三边，试判断 a -2ab+b -c 大于零？小于零？等于零？解: a -2ab+b -c =(a-b) -c =(a-b+c)(a-b-c)∵ a、b、c为三角形的三边∴ a+c ﹥b a﹤b+c∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 ，因此 a -2ab+b -c 小于零。6、 挑战极限①已知：x=2004,求∣4x -4x+3 ∣ -4 ∣ x +2x+2 ∣ +13x+6的值。解: ∵4x - 4x+3=(4x －4x+1)+2 =(2x-1) +2 ＞0x +2x+2 =(x +2x+1)+1 =(x＋1) +1＞0∴ ∣4x -4x+3 ∣ -4 ∣ x +2x+2 ∣ +13x+6=4x - 4x+3 -4(x +2x+2 ) +13x+6=4x - 4x+3 -4x -8x -8+13x+6=x+1即：原式=x+1=2004+1=2005 （三）梳理知识，总结收获因式分解的两种应用：（1）运用因式分解进行多项式除法（2）运用因式分解解简单的方程 （四）布置课后作业 1、作业 本6.42、课本P163作业 题(选做)四、 教学反思
因式分解是初中代数的重要内容，因其分解方法较多，题型变化较大，教学有一定难度。转化思想是数学的重要解题思想，对于灵活较大的题型进行因式分解，应用转化思想，有章可循，易于理解掌握，能收到较好的效果。
因式分解的基本方法是：提取公因式法、应用公式法、十字相乘法。对于结构比较简单的题型可直接应用它们来进行因式分解，学生能够容易掌握与应用。但对于分组分解法、折项、添项法就有些把握不住，应用转化就思想就能起到关键的作用。
分组分解法实质是一种手段，通过分组，每组采用三种基本方法进行因式分解，从而达到分组的目的，这就利用了转换思想。看下面几例：
例1、 4a2+2ab+2ac+bc
解:原式 =（4a2+2ab）+(2ac+bc)
=2a(2a+b)+c(2a+b)
=(2a+b)(2a+c)
分组后，每组提出公因式后，产生新的公因式能够继续分解因式，从而达到分解目的。
例2、 4a2-4a-b2-2b
解:原式=(4a2-b2)-(4a+2b)
=(2a+b)(2a-b)-2(2a+b)
=(2a+b)(2a-b-2)
按“二、二”分组，每组应用提公因式法，或用平方差公式，从而继续分解因式。
例3、 x2-y2+z2-2xz
解:原式=(x2-2xz+z2)-y2
=(x-z2)-y2
=(x+y-z)(x-y-z)
四项式按“三一”分组，使三项一组应用完全平方式，再应用平方差进行因式分解。
对于五项式一般可采用“三二”分组。三项这一组可采用提公因式法、完全平方式或十字相乘法，二项这一组可采用提公因式法或平方差公式分解，因此变化性较大。
例4、 x2-4xy+4y2-x+2y
解:原式=(x2-4xy+4y2)-(x-2y)
=(x-2y)2-(x-2y)
=(x-2y)(x-2y-1)
例5、 a2-b2+4a+2b+3
解:原式=(a2+4a+4)-(b2-2b+1)
=(a+2)2-(b-1)2
=(a+2+b-1)(a+2-b+1)
=(a+b+1)(a-b+3)
对于六项式可进行“二、二、二”分组，“三、三”分组，或“三、二、一”分组。
例6、 ax2-axy+bx2-bxy-cx2+cxy
①解:原式=(ax2-axy)+(bx2-bxy)-(cx2-cxy)
=ax(x-y)+bx(x-y)-cx(x-y)
=(x-y)(ax+bx-cx)
=x(x-y)(a+b-c)
②解:原式=(ax2+bx2-cx2)-(axy+bxy-cxy)
=x2(a+b-c)-xy(a+b-c)
=x(x-y)(a+b-c)
例7、 x2-2xy+y2+2x-2y+1
解:原式=(x2-2xy+y2)+(2x-2y)+1
=(x-y)2+2(x-y)+1
=(x-y+1)2
对于折项、添项法也可转化成这三种基本的方法来进行因式分解。
例8、 x4+4y4
解:原式=(x4+4x2y2+4y4)-4x2y2
=(x2+2y2)2-4x2y2
=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)
例9、 x4-23x2+1
解:原式=x4+2x2+1-25x2
=(x2+1)2-25x2
=(x2-5x+1)(x2+5x+1)
又如x3-7x-6可用折项、添项多种方法分解因式:
⑴x3-7x-6=(x3-x)-(6x+6)
⑵x3-7x-6=(x3-4x)-(3x+6)
⑶x3-7x-6=(x3+2x2+x)-(2x2+8x+6)
⑷x3-7x-6=(x3-6x2-7x)+(6x2-6)
只有掌握好三种基本的因式分解方法，才能应用转化思想处理灵活性较大、技巧性较强的题型。
本文有些内容超出大纲，但由于强调转化，既巩固知识，又开阔视野，对因式分解这一章会起到一定
一、教学目标
1.使学生理解二次三项式的意义；知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系；
2.使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式；
3.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力；
4.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步向学生渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般；
5.通过利用一元二次方程根的知识来分解因式，渗透知识间是普遍联系的数学美。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点：用公式法将二次三项式因式分解。
2.教学难点 ：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。
3.教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。
4.解决办法：二次三项式能分解因式
二次三项式不能分解
二次三项式分解成完全平方式
三、教学步骤
（一）教学过程
1.复习提问
（1）写出关于x的二次三项式？
（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解。
①；②；③。
由③感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题。
2.新知讲解
（1）引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系。
①；
解：原式变形为。
∴ ，
②；
解原方程可变为
观察以上各例，可以看出1，2是方程的两个根，而，……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式。
（2）推导出公式
设方程的两个根为，那么，
∴
这就是说，在分解二次三项式的因式时，可先用公式求出方程的两个根，然后写成
教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊。
（3）公式的应用
例1 把分解因式
解： ∵ 方程的根是
教师板书，学生回答。
由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的，目的是化简①。
练习：将下列各式在实数范围因式分解。
（1）；（2）
学生板书、笔答，评价。
例2 用两种方程把分解因式。
方法一，解：
方法二，解： ，
方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法。
练习：将下列各式因式分解。
学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：
（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程，可变形为；但将二次三项式分解因式时，就不能将变形为。
例如用求根公式求得的两个根是后，得出这就错了，这是因为丢掉了系数2。
（2）还要注意符号方面的错误，比如下面的例子如果写成也是错误的。
（3）一元二次方程当时，方程有两个实根。当时，方程无实根。这就决定了：当时，二次三项式在实数范围内可以分解；当时，二次三项式在实数范围内不可以分解。
（二）总结、扩展
1.用公式法将二次三项式因式分解的步骤是先求出方程的两个根，再将写成形式。
2.二次三项式因式分解的条件是：当，二次三项式在实数范围内可以分解；时，二次三项式在实数范围内不可以分解。
3.通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律。
四、布置作业
教材P38A1，2。
五、板书设计
课 题9.5乘法公式的再认识—因式分解
课时分配本课（章节）需 3 课时本 节 课 为 第 1 课时为 本 学期总第 课时一、运用平方差公式分解因式
教学目标1、使学生了解运用公式来分解因式的意义。2、使学生理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点；使学生知道把乘法公式反过来就可以得到相应的因式分解。3、掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式（直接用公式不超过两次）
重 点运用平方差公式分解因式
难 点灵活运用平方差公式分解因式
教学方法
对比发现法
课型
新授课
教具投影仪
教 师 活 动
学 生 活 动情景设置：同学们，你能很快知道992-1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？（学生或许还有其他不同的解决方法，教师要给予充分的肯定）新课讲解：从上面992-1=（99+1）（99-1），我们容易看出,这种方法利用了我们刚学过的哪一个乘法公式?首先我们来做下面两题：(投影)1.计算下列各式:(1) (a+2)(a-2)= ;(2) (a+b)( a-b)= ;(3) (3 a+2b)(3 a-2b)= .2.下面请你根据上面的算式填空:(1) a2-4= ;(2) a2-b2= ;(3) 9a2-4b2= ;请同学们对比以上两题，你发现什么呢？事实上，像上面第2题那样，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解。（投影）比如：a2–16=a2–42=（a+4）（a–4）例题1：把下列各式分解因式；（投影）(1) 36–25x2 ; (2) 16a2–9b2 ;(3) 9(a+b)2–4(a–b)2 .(让学生弄清平方差公式的形式和特点并会运用)例题2：如图，求圆环形绿化区的面积练习：第87页练一练第1、2、3题小结：这节课你学到了什么知识，掌握什么方法？教学素材：a组题：1.填空：81x2- =(9x+y)(9x-y); = 利用因式分解计算： = 。2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） （a） （b） （c） （d） 3. 把下列各式分解因式(1) 1-16 a2 (2) 9a2 x2-b2y2(3).49(a-b)2-16(a+b)2b组题：1分解因式81 a 4-b4= 2若a+b=1, a2+b2=1 , 则ab= ;3若26+28+2n是一个完全平方数，则n= . 由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充.学生回答1：992-1=99×99-1=9801-1=9800学生回答2：992-1就是（99+1）（99-1）即100×98学生回答:平方差公式学生回答:(1): a2-4(2): a2-b2(3): 9 a2-4b2学生轻松口答(a+2)(a-2)(a+b)( a-b)(3 a+2b)(3 a-2b)学生回答:把乘法公式(a+b)( a-b)=a2-b2反过来就得到a2-b2=(a+b)(a-b)学生上台板演：36–25x2=62–(5x)2=（6+5x）（6–5x）16a2–9b2=(4a)2–(3b)2=（4a+3b）（4a–3b）9(a+b)2–4(a–b)2=[3(a+b)]2–[2(a–b)]2=[3(a+b)+2(a–b)][3(a+b)–2(a–b)]=（5a+b）（a+5b）解：352π–152π=π（352–152）=（35+15）（35–15）π=50×20π=1000π （m2）这个绿化区的面积是1000πm2学生归纳总结
作业第91页第1(1)(2)②③(3)①③④题
板 书 设 计复习 例1 板演…… …… ………… …… ………… 例2 ………… …… ………… …… ……
教 学 后 记
各位专家、各位老师：
大家好!
今天我说课的内容是人教版七年级数学下册第六章《因式分解》第一节课的内容。
一、说教材
(一)教材的地位与作用
因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。它是继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下的作用。
(二)教学目标
根据新课程标准以及因式分解这一节课的内容，对于掌握各种因式分解的方法，乃至整个代数教学中的地位和作用，我制定了以下教学目标：
1.知识目标：
理解因式分解的概念;掌握从整式乘法得出因式分解的方法。
2.能力目标：
培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力;培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。
3.情感目标：
培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯;体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立统一观点。
(三)教学重点与难点。
本节课理解因式分解的概念的本质属性是学习整章因式分解的关键，而学生由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。在前一章整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。因此我将本课的学习重点、难点确定为：
教学的重点：因式分解的概念
教学的难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题。
二、说学情
1.学生已经学习整式的乘法、乘法公式以及整式的除法的学习。
2.八年级的学生接受能力、思维能力、自我控制能力都有很大变化和提高，自学能力较强，通过类比学习加快知识的学习。
三、说教法学法
教发与学法是互相和统一的，正如新《数学课程标准》所要求的，让学生“动手实践、自主探索、合作交流 ”。就本节课而言，在教法上不妨利用对比教学，让学生体验因式分解概念产生的过程;利用类比教法、讲练结合的教学方法，以概念的形成和同化相结合，促进学生对因式分解概念的理解;利用尝试教学，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。不管用什么教法，一节课应该不断研究学生的学习心理机制，不断优化教师本身的教学行为，自始至终对学生充满情感、创造和谐的课堂氛围，这是最重要的。
四、教学过程。
本节课教学过程分以下六个环节：
创设情景，引出新知; 观察分析，探究新知;
师生互动，运用新知; 强化训练，掌握新知;
整理知识，形成结构; 布置作业，巩固提高。
具体过程设计如下：
第一环节：创设情景，引出新知
我先出示几个整式乘法的练习，让学生做。教师巡视。
学生完成习，一是复习整式的乘法，激活学生原有整式乘法的认知结构，满足“温故而知新”的后，教师引导：把上述等式逆过来看一看还成立吗?
安排这样的练教学原理。二是为本节课目标的达成作好铺垫。在此基础上引出课题--因式分解。
第二环节：观察分析，探究新知
全班两个组，比赛看哪一组算的快，当a=101，b=99时，第一组求a2-b2的值，第二组求(a+b)(a-b)。教师巡视，代表性地抽取两名学生板演，给出两种解法。
安排这一过程是想利用对比分析，让学生体会，把a2-b2化为整式积的形式，会给计算带来简便，顺应了因式分解概念的引出。
问题是数学的心脏，而一个好的问题的提出，将会使学生产生求知欲，引发教学高潮，是学生知识及能力获得发展的有效动力。故在教因式分解概念时，我设计以下两个问题：
(1) 你能尝试把a2-b2化成几个整式的积的形式吗?并与小学所学的因数分解作比较。
(2) 因式分解与整式乘法有什么关系?
让学生分四人小组讨论。归纳因式分解的定义。
一个多项式→几个整式+积→因式分解
我特设三个例题，这几个题目完全放手让学生自主进行，充分暴露学生的思维过程，使学生真正成为学习的主体。通过例1、例2罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析，让学生进一步体会整式乘法与因式分解的互逆关系。促使他们认识概念的本质、确定概念的外延，从而形成良好的认知结构。通过例3体会用分解因式解决相关问题的简捷性。
第三环节：强化训练，掌握新知
数学家华罗庚先生说过：“学数学而不练，犹如入宝山而空返”。适当的巩固性，应用性练习是学习新知识，掌握新知识所必不可少的。为了促进学生对新知识的理解和掌握，我及时安排学生完成两个练习。通过这两个练习让学生学会辨析因式分解这种变形。使学生进一步理解和掌握因式分解，为下一节提取公因式法进行因式分解打基础;同时又训练、培养和发展学生的基本技能和能力。
第四环节：整理知识，形成结构。
最后我设计了一个表格的形式进行归纳小结。使学生对知识的掌握上升为一种能力，并纳入已有的认知结构，同时也培养了学生的概括提炼能力。
第五环节：布置作业，巩固提高。
在作业上我布置了看书、作业本、思考题。这样既有利于学生巩固所学内容，又让不同层次的学生得到相应的发展。
五、说板书
在本节课中我将采用提纲式的板书设计，因为提纲式-条理清楚、从属关系分明，给人以清晰完整的印象，便于学生对教材内容和知识体系的理解和记忆。
一、教学目标
1.使学生理解二次三项式的意义；知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系；
2.使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式；
3.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力；
4.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步向学生渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般；
5.通过利用一元二次方程根的知识来分解因式，渗透知识间是普遍联系的数学美。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点：用公式法将二次三项式因式分解。
2.教学难点 ：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。
3.教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。
4.解决办法：二次三项式能分解因式
二次三项式不能分解
二次三项式分解成完全平方式
三、教学步骤
（一）教学过程
1.复习提问
（1）写出关于x的二次三项式？
（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解。
①；②；③。
由③感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题。
2.新知讲解
（1）引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系。
①；
解：原式变形为。
∴ ，
②；
解原方程可变为
观察以上各例，可以看出1，2是方程的两个根，而，……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式。
（2）推导出公式
设方程的两个根为，那么，
∴
这就是说，在分解二次三项式的因式时，可先用公式求出方程的两个根，然后写成
教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊。
（3）公式的应用
例1 把分解因式
解： ∵ 方程的根是
教师板书，学生回答。
由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的，目的是化简①。
练习：将下列各式在实数范围因式分解。
（1）；（2）
学生板书、笔答，评价。
例2 用两种方程把分解因式。
方法一，解：
方法二，解： ，
方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法。
练习：将下列各式因式分解。
学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：
（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程，可变形为；但将二次三项式分解因式时，就不能将变形为。
例如用求根公式求得的两个根是后，得出这就错了，这是因为丢掉了系数2。
（2）还要注意符号方面的错误，比如下面的例子如果写成也是错误的。
（3）一元二次方程当时，方程有两个实根。当时，方程无实根。这就决定了：当时，二次三项式在实数范围内可以分解；当时，二次三项式在实数范围内不可以分解。
（二）总结、扩展
1.用公式法将二次三项式因式分解的步骤是先求出方程的两个根，再将写成形式。
2.二次三项式因式分解的条件是：当，二次三项式在实数范围内可以分解；时，二次三项式在实数范围内不可以分解。
3.通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律。
四、布置作业
教材P38A1，2。
五、板书设计
一、教学目标
1.使学生理解二次三项式的意义；知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系；
2.使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式；
3.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力；
4.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步向学生渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般；
5.通过利用一元二次方程根的知识来分解因式，渗透知识间是普遍联系的数学美。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点：用公式法将二次三项式因式分解。
2.教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。
3.教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。
4.解决办法：二次三项式能分解因式
二次三项式不能分解
二次三项式分解成完全平方式
三、教学步骤
（一）教学过程
1.复习提问
（1）写出关于x的二次三项式？
（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解。
①；②；③。
由③感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题。
2.新知讲解
（1）引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系。
①；
解：原式变形为。
∴ ，
②；
解原方程可变为
观察以上各例，可以看出1，2是方程的两个根，而，……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式。
（2）推导出公式
设方程的两个根为，那么，
∴
这就是说，在分解二次三项式的因式时，可先用公式求出方程的两个根，然后写成
教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊。
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一、教学目标
1.使学生理解二次三项式的意义；知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系；
2.使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式；
3.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力；
4.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步向学生渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般；
5.通过利用一元二次方程根的知识来分解因式，渗透知识间是普遍联系的数学美。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点：用公式法将二次三项式因式分解。
2.教学难点 ：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。
3.教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。
4.解决办法：二次三项式能分解因式
二次三项式不能分解
二次三项式分解成完全平方式
三、教学步骤
（一）教学过程
1.复习提问
（1）写出关于x的二次三项式？
（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解。
①；②；③。
由③感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题。
2.新知讲解
（1）引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系。
①；
解：原式变形为。
∴ ，
②；
解原方程可变为
观察以上各例，可以看出1，2是方程的两个根，而，……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式。
（2）推导出公式
设方程的两个根为，那么，
∴
这就是说，在分解二次三项式的因式时，可先用公式求出方程的两个根，然后写成
教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊。
（3）公式的应用
例1 把分解因式
解： ∵ 方程的根是
教师板书，学生回答。
由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的，目的是化简①。
练习：将下列各式在实数范围因式分解。
（1）；（2）
学生板书、笔答，评价。
例2 用两种方程把分解因式。
方法一，解：
方法二，解： ，
方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法。
练习：将下列各式因式分解。
学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：
（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程，可变形为；但将二次三项式分解因式时，就不能将变形为。
例如用求根公式求得的两个根是后，得出这就错了，这是因为丢掉了系数2。
（2）还要注意符号方面的错误，比如下面的例子如果写成也是错误的。
（3）一元二次方程当时，方程有两个实根。当时，方程无实根。这就决定了：当时，二次三项式在实数范围内可以分解；当时，二次三项式在实数范围内不可以分解。
（二）总结、扩展
1.用公式法将二次三项式因式分解的步骤是先求出方程的两个根，再将写成形式。
2.二次三项式因式分解的条件是：当，二次三项式在实数范围内可以分解；时，二次三项式在实数范围内不可以分解。
3.通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律。
四、布置作业
教材P38A1，2。
五、板书设计
