充要条件与反证法
●知识梳理
1.充分条件:如果p q,则p叫q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件.
2.必要条件:如果q p,则p叫q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件.
3.充要条件:如果既有p q,又有q p,记作p q,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.
4.反证法:当直接证明有困难时,常用反证法.
●点击双基
1.ac2>bc2是a>b成立的
a.充分而不必要条件 b.充要条件
c.必要而不充分条件 d.既不充分也不必要条件
解析:a>b ac2>bc2,如c=0.
答案:a
2.(XX年湖北,理4)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:a·b=a·c,乙:b=c,则
a.甲是乙的充分条件但不是必要条件
b.甲是乙的必要条件但不是充分条件
c.甲是乙的充要条件
d.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析:命题甲:a·b=a·c a·(b-c)=0 a=0或b=c.
命题乙:b=c,因而乙 甲,但甲 乙.
故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
答案:b
3.(XX年浙江,8)在△abc中,"a>30°"是"sina> "的
a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件
c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件
解析:在△abc中,a>30° 0<sina<1 sina> ,sina> 30°<a<150°
a>30°.
∴"a>30°"是"sina> "的必要不充分条件.
答案:b
4.若条件p:a>4,q:5<a<6,则p是q的______________.
解析:a>4 5<a<6,如a=7虽然满足a>4,但显然a不满足5<a<6.
答案:必要不充分条件
5.(XX年春季上海,16)若a、b、c是常数,则"a>0且b2-4ac<0"是"对任意x∈r,有ax2+bx+c>0"的
a.充分不必要条件 b.必要不充分条件
c.充要条件 d.既不充分也不必要条件
解析:若a>0且b2-4ac<0,则对任意x∈r,有ax2+bx+c>0,反之,则不一定成立.如a=0,b=0且c>0时,也有对任意x∈r,有ax2+bx+c>0.因此应选a.
答案:a
●典例剖析
【例1】 使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分而不必要条件是
