课 题：不等式小结与复习（1）
课 题：不等式小结与复习（1）教学目的：1.理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法； 2.掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值；3.掌握含绝对值的不等式的性质；4.会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式 学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质 授课类型：复习课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程： 一、复习引入：1.基本不等式、极值定理；2.简述不等式证明的几种常用方法:比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造 二、讲解范例：
例1 求函数 的最大值，下列解法是否正确？为什么？解一： ，∴ 解二： 当 即 时， 答：以上两种解法均有错误 解一错在取不到“=”，即不存在 使得 ；解二错在 不是定值（常数） 正确的解法是：当且仅当 即 时 例2 若 ，求 的最值 解： ∵ ∴ 从而 即 例3设 且 ，求 的最大值解：∵ ∴ 又 ，∴ 即 例4 已知 且 ，求 的最小值 解： 当且仅当 即 时 例5 将一块边长为 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设剪去的小正方形的边长为 则其容积为 当且仅当 即 时取“=”即当剪去的小正方形的边长为 时，铁盒的容积为 例6 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较 的大小 解一： ∵0 < 1 - x2 < 1, ∴ ∴ 解二： ∵0 < 1 - x2 < 1, 1 + x > 1, ∴ ∴ ∴ 解三：∵0< x <1，∴0 < 1 - x < 1, 1< 1 + x < 2, ∴ ∴左 - 右 = ∵0< 1 - x2 <1, 且0< a <1 ∴ ∴ 例7 已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd证一：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数∴要证：xy≥ac + bd 只需证：(xy)2≥(ac + bd)2 即 (a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 即 a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立,∴xy≥ac + bd 证二：（综合法）xy = ≥ 证三：（三角代换法）∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsina, b = xcosa∵y2 = c2 + d2 ∴不妨设 c = ysinb, d = ycosb ∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)≤xy例8 已知x1, x2均为正数，求证： 证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：即 再平方 a b c d p m化简整理得 （显然成立） ∴原式成立证二：（反证法）假设 化简可得 （不可能）∴原式成立证三：（构造法）构造矩形abcd，使ab = cd = 1, bp = x1, pc = x2当ðapb = ðdpc时，ap + pd为最短 取bc中点m，有ðamb = ðdmc, bm = mc = ,∴ ap + pd ≥ am + md
