因式分解【优秀7篇】

因式分解 篇一

一、说教材

1、关于地位与作用。

本说课的内容是数学第二册7.1《因式分解》。因式分解不言而喻，就整个数学而言，它是打开整个代数宝库的一把钥匙。就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。它是继乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过这节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下的作用。

2、关于教学目标。

根据因式分解一节课的内容，对于掌握各种因式分解的方法，乃至整个代数教学中的地位和作用，特制定如下教学目标：

（一）知识与技能目标：

① 了解因式分解的必要性；

② 深刻理解因式分解的概念；

③ 掌握从整式乘法得出因式分解的方法。

（二）体验性目标：

①感受整式乘法与因式分解矛盾的对立统一观点；

②体验由和差到积的形成过程，初步获得因式分解的经验。

3、关于教学重点与难点。

重点是因式分解的概念。理由是理解因式分解的概念的本质属性是学习整章因式分解的灵魂，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，以及它们之间的关系进行因式分解的思想。理由是学生由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。在前一章整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。

4、关于教法与学法。

教法与学法是互相联系和统一的，不能孤立去研究。什么样的教法必带来相应的学法。因此，我们应该重点阐述教法。一节课不能是单一的教法，教无定法。但遵循的原则——启发性原则是永恒的。在教师的启发下，让学生成为行为主体。正如新《数学课程标准》所要求的，让学生“动手实践、自主探索、合作交流 ”。在上述思想为出发点，就本节课而言，不妨利用对比教学，让学生体验因式分解的必要性；利用类比教学，以概念的形曾成和同化相结合，促进学生对因式分解概念的理解；利用尝试教学，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。教师充分依照学生的认知心理，不断创设“最近发展区”，造就认知冲突，促进学生不断发现、不断达到知识的内化。

不管用什么教法，一节课应该不断研究学生的学习心理机制，不断优化教师本身的教学行为，自始至终对学生充满情感创造和谐的课堂氛围，这是最重要的。二、说过程。

第一环节，导入阶段。教师出示下列各题，让学生练习。

计算：（1）（a + b)^2 ； （2）（5a + 2b）（5a – 2b）； （3）m（a + b）.

学生完成后，教师引导：把上述等式逆过来看，即

（1）a^2+2ab+b^2=（a + b）^2；（2）25a^2– 4b^2 =（5a + 2b）（5a – 2b）；（3）ma+mb= m（a+ b）.

成立吗？

△安排这一过程的意图是：一是复习整式的乘法，激活学生原有整式乘法的认知结构，促使新旧认知结构的联结，满足“温故而知新”的教学原理。二是为本节课目标的达成作好垫铺。在此基础上引出课题——因式分解。

第二环节，新课阶段。

1、对比练习。让学生练习：当a=101，b=99时，求a2-b2的值。教师巡视，并代表性地抽取两名学生板演，给出两种解法。

△教师安排这一过程的意图是：利用对比分析，让学生体会，把a2-b2化为整式积的形式，给计算带来的优越性，顺应了因式分解概念的引出。

2、类比练习。让学生练习：分解下列三个数的质因数 （1）42； （2）56；（3）11.

在此，教师帮助归纳：42与56两个数可以化为几个整数的积，叫做因数分解。本身是质数的数就不能再分解。同时设疑，对于一个多项式能化为几个整式的积的形式吗？在师生互动的基础上，要求学生翻开课本阅读课本因式分解定义。

3、创设问题情景。同学们，我们不能迷信课本，课本的因式分解定义有毛病，请大家逐字研读，找出问题。让学生分四人小组讨论。（事实上正确）提问学生讨论结果，课本定义是正确的。教师板书：

一个多项式→几个整式+积→因式分解

师生归纳要注意的问题：

（1）因式分解是对多项式而言的一种变形；（2）因式分解的结果仍是整式；

（3）因式分解的结果必是一个积；（4）因式分解与整式乘法正好相反。

板书：

4、学生练习课本p152练习第1、2两题。

△教师安排这一过程意图是：通过对比教学，提高学生对因式分解的知觉水平；通过具体数的分解这一类比教学，产生正迁移，认识新概，符合学生概念形成的认知规律；通过故设偏差法，制造认知冲突，让学生咬文嚼字因式分解概念，引导学生主动探求，造求学生自主学习的积极势态，促进学生对概念本质属性的理解；让学生用正反习题的练习，达到知觉水平上的运用，促使对因式分解概念的理解。从而使本节课达到高潮。

第三环节。尝试练习，信息反馈。

让学生尝试练习：课本p152第3题，并引导中下学生看p152例题，教师及时点拨讲评。

△教师安排这一过程，完全放手让学生自主进行，充分暴露学生的思维过程，展现学生生动活泼、主动求知和富有的个性，使学生真正成为学习的主体，使因式分解与整式的乘法的关系得到正强化。

第四环节。小结阶段。

这是最后的一个环节，教师出示“想一想”：下列式子从左边到右边是因式分解吗，为什么？

学生展开讨论，得到下列结论：A.左边是乘法，而右边是差，不是积；

B.左右两边都不是整式；

C.从右边到左边是利用了因式分解的变形方法进行分解。

由此可知，上式不是因式分解。进而，教师呈现因式分解定义。

△教师安排这一过程意图是：学生一般到临近下课，大脑处于疲劳状态，注意力开始分散。教师如果把定义及要注意的问题进行小结后直接抛给学生，只能是是似而非。通过让学生练习，在练习中归纳，再一次点燃学生即将沉睡而去的心理兴奋点，点燃学生主题意识的再度爆发。同时，学生的知识学习得到了自我评价和巩固，成为本节课的最后一个亮点。

因式分解 篇二

教学内容

用因式分解法解一元二次方程。

教学目标

掌握用因式分解法解一元二次方程。

通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题。

重难点关键

1.重点：用因式分解法解一元二次方程。

2.难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便。

教学过程

一、复习引入

（学生活动）解下列方程。

（1）2x2+x=0（用配方法）  （2）3x2+6x=0（用公式法）

老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为 ， 的一半应为 ，因此，应加上（ ）2，同时减去（ ）2.（2）直接用公式求解。

二、探索新知

（学生活动）请同学们口答下面各题。

（1）上面两个方程中有没有常数项？

（2）等式左边的各项有没有共同因式？

上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解：2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）

因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0     （2）3x（x+2）=0

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=- .

（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2.

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。

例1.解方程

（1）4x2=11x    （2）（x-2）2=2x-4

分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式

解：（1）移项，得：4x2-11x=0

因式分解，得：x（4x-11）=0

于是，得：x=0或4x-11=0

x1=0，x2=

（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0

（x-2）2-2（x-2）=0

因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0

整理，得：（x-2）（x-4）=0

于是，得x-2=0或x-4=0

x1=2，x2=4

例2.已知9a2-4b2=0，求代数式 的值。

分析：要求 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误。

解：原式=

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，

a=- b或a= b

当a=- b时，原式=- =3

当a= b时，原式=-3.

三、应用拓展

例3.我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程。

（1）x2-3x-4=0    （2）x2-7x+6=0   （3）x2+4x-5=0

分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交*相乘而成的。根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式。

解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）

∴（x-4）（x+1）=0

∴x-4=0或x+1=0

∴x1=4，x2=-1

（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）

∴（x-6）（x-1）=0

∴x-6=0或x-1=0

∴x1=6，x2=1

（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）

∴（x+5）（x-1）=0

∴x+5=0或x-1=0

∴x1=-5，x2=1

上面这种方法，我们把它称为十字相乘法。

四、归纳小结

本节课要掌握：

（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用。

（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：

联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次。

②公式法是由配方法推导而得到。

③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程。

区别：①配方法要先配方，再开方求根。    ②公式法直接利用公式求根。    ③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.

五、作业

一、选择题

1.下面一元二次方程解法中，正确的是（  ）.

a.（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

b.（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=

c.（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2

d.x2=x  两边同除以x，得x=1

2.下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（  ）.

a.0个    b.1个    c.2个    d.3个

3.如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（  ）.

a.-      b.-1      c.      d.1

二、填空题

1.x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______.

2.方程（2x-1）2=2x-1的根是________.

3.二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________.

三、综合提高题

1.用因式分解法解下列方程。

（1）3y2-6y=0                    （2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0                 （4）x2-12x+35=0

2.已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值。

3.今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场。为了节约材料，鸡场的一边*着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）

答案：

（一）教学过程

1.复习提问

（1）写出关于x的二次三项式？

（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解。

①；②；③。

由③感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题。

2.新知讲解

（1）引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系。

①；

解：原式变形为。

∴  ，

②；

解原方程可变为

观察以上各例，可以看出1，2是方程的两个根，而，……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式。

（2）推导出公式

设方程的两个根为，那么，

∴

这就是说，在分解二次三项式的因式时，可先用公式求出方程的两个根，然后写成

教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊。

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因式分解 篇六

课    题9.5乘法公式的再认识—因式分解

课时分配本课（章节）需 3    课时本 节 课 为 第 1    课时为 本 学期总第      课时一、运用平方差公式分解因式

教学目标1、使学生了解运用公式来分解因式的意义。2、使学生理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点；使学生知道把乘法公式反过来就可以得到相应的因式分解。3、掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式（直接用公式不超过两次）

重    点运用平方差公式分解因式

难    点灵活运用平方差公式分解因式

教学方法

对比发现法

课型

新授课

教具投影仪

教    师    活    动

学 生 活 动情景设置：同学们，你能很快知道992-1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？（学生或许还有其他不同的解决方法，教师要给予充分的肯定）新课讲解：从上面992-1=（99+1）（99-1），我们容易看出，这种方法利用了我们刚学过的哪一个乘法公式？首先我们来做下面两题：(投影)1.计算下列各式：(1) (a+2)(a-2)=                      ;(2) (a+b)( a-b)=                     ;(3) (3 a+2b)(3 a-2b)=                 .2.下面请你根据上面的算式填空：(1) a2-4=                      ;(2) a2-b2=                      ;(3) 9a2-4b2=                      ;请同学们对比以上两题，你发现什么呢？事实上，像上面第2题那样，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解。（投影）比如：a2–16=a2–42=（a+4）（a–4）例题1：把下列各式分解因式；（投影）(1) 36–25x2  ;          (2) 16a2–9b2      ;(3) 9(a+b)2–4(a–b)2  .(让学生弄清平方差公式的形式和特点并会运用)例题2：如图，求圆环形绿化区的面积练习：第87页练一练第1、2、3题小结：这节课你学到了什么知识，掌握什么方法？教学素材：a组题：1.填空：81x2-    =(9x+y)(9x-y); =              利用因式分解计算： =                  。2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（      ）     （a）         （b）   （c）        （d） 3. 把下列各式分解因式(1) 1-16 a2               (2) 9a2 x2-b2y2(3).49(a-b)2-16(a+b)2b组题：1分解因式81 a 4-b4=     2若a+b=1,  a2+b2=1  , 则ab=           ;3若26+28+2n是一个完全平方数，则n=              . 由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充。学生回答1：992-1=99×99-1=9801-1=9800学生回答2：992-1就是（99+1）（99-1）即100×98学生回答：平方差公式学生回答：(1):  a2-4(2):  a2-b2(3):  9 a2-4b2学生轻松口答(a+2)(a-2)(a+b)( a-b)(3 a+2b)(3 a-2b)学生回答：把乘法公式(a+b)( a-b)=a2-b2反过来就得到a2-b2=(a+b)(a-b)学生上台板演：36–25x2=62–(5x)2=（6+5x）（6–5x）16a2–9b2=(4a)2–(3b)2=（4a+3b）（4a–3b）9(a+b)2–4(a–b)2=[3(a+b)]2–[2(a–b)]2=[3(a+b)+2(a–b)][3(a+b)–2(a–b)]=（5a+b）（a+5b）解：352π–152π=π（352–152）=（35+15）（35–15）π=50×20π=1000π  （m2）这个绿化区的面积是1000πm2学生归纳总结

作业第91页第1(1)(2)②③(3)①③④题

板      书      设      计复习                          例1                       板演……                          ……                       …………                          ……                       …………                          例2                        …………                          ……                       …………                          ……                       ……

教      学      后      记

因式分解 篇七

因式分解是初中代数的重要内容，因其分解方法较多，题型变化较大，教学有一定难度。转化思想是数学的重要解题思想，对于灵活较大的题型进行因式分解，应用转化思想，有章可循，易于理解掌握，能收到较好的效果。

因式分解的基本方法是：提取公因式法、应用公式法、十字相乘法。对于结构比较简单的题型可直接应用它们来进行因式分解，学生能够容易掌握与应用。但对于分组分解法、折项、添项法就有些把握不住，应用转化就思想就能起到关键的作用。

分组分解法实质是一种手段，通过分组，每组采用三种基本方法进行因式分解，从而达到分组的目的，这就利用了转换思想。看下面几例：

例1、   4a2+2ab+2ac+bc

解：原式 =（4a2+2ab）+(2ac+bc)

=2a(2a+b)+c(2a+b)

=(2a+b)(2a+c)

分组后，每组提出公因式后，产生新的公因式能够继续分解因式，从而达到分解目的。

例2、   4a2-4a-b2-2b

解：原式=(4a2-b2)-(4a+2b)

=(2a+b)(2a-b)-2(2a+b)

=(2a+b)(2a-b-2)

按“二、二”分组，每组应用提公因式法，或用平方差公式，从而继续分解因式。

例3、   x2-y2+z2-2xz

解：原式=(x2-2xz+z2)-y2

=(x-z2)-y2

=(x+y-z)(x-y-z)

四项式按“三一”分组，使三项一组应用完全平方式，再应用平方差进行因式分解。

对于五项式一般可采用“三二”分组。三项这一组可采用提公因式法、完全平方式或十字相乘法，二项这一组可采用提公因式法或平方差公式分解，因此变化性较大。

例4、   x2-4xy+4y2-x+2y

解：原式=(x2-4xy+4y2)-(x-2y)

=(x-2y)2-(x-2y)

=(x-2y)(x-2y-1)

例5、   a2-b2+4a+2b+3

解：原式=(a2+4a+4)-(b2-2b+1)

=(a+2)2-(b-1)2

=(a+2+b-1)(a+2-b+1)

=(a+b+1)(a-b+3)

对于六项式可进行“二、二、二”分组，“三、三”分组，或“三、二、一”分组。

例6、   ax2-axy+bx2-bxy-cx2+cxy

①解：原式=(ax2-axy)+(bx2-bxy)-(cx2-cxy)

=ax(x-y)+bx(x-y)-cx(x-y)

=(x-y)(ax+bx-cx)

=x(x-y)(a+b-c)

②解：原式=(ax2+bx2-cx2)-(axy+bxy-cxy)

=x2(a+b-c)-xy(a+b-c)

=x(x-y)(a+b-c)

例7、   x2-2xy+y2+2x-2y+1

解：原式=(x2-2xy+y2)+(2x-2y)+1

=(x-y)2+2(x-y)+1

=(x-y+1)2

对于折项、添项法也可转化成这三种基本的方法来进行因式分解。

例8、   x4+4y4

解：原式=(x4+4x2y2+4y4)-4x2y2

=(x2+2y2)2-4x2y2

=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)

例9、   x4-23x2+1

解：原式=x4+2x2+1-25x2

=(x2+1)2-25x2

=(x2-5x+1)(x2+5x+1)

又如x3-7x-6可用折项、添项多种方法分解因式：

⑴x3-7x-6=(x3-x)-(6x+6)

⑵x3-7x-6=(x3-4x)-(3x+6)

⑶x3-7x-6=(x3+2x2+x)-(2x2+8x+6)

⑷x3-7x-6=(x3-6x2-7x)+(6x2-6)

只有掌握好三种基本的因式分解方法，才能应用转化思想处理灵活性较大、技巧性较强的题型。

本文有些内容超出大纲，但由于强调转化，既巩固知识，又开阔视野，对因式分解这一章会起到一定

上面内容就是金笔头网为您整理出来的7篇《因式分解》，能够给予您一定的参考与启发，是金笔头网的价值所在。