一元二次方程的应用（精选16篇）
第一课时
一、教学目标
1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2.通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3.通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
2.教学难点 ：根据数与数字关系找等量关系。
3.教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。
4.解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。
三、教学过程
1.复习提问
（1）列方程解应用问题的步骤？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。
（2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数）
2.例题讲解
例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数。
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）a.设较小的奇数为x，则另一奇数为，b.设较小的奇数为，则另一奇数为；c.设较小的奇数为，则另一个奇数。
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。
解法（一） 设较小奇数为x，另一个为，
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
由得，由得，
答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。
解法（二） 设较小的奇数为，则较大的奇数为。
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
当时，
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；或者－19，－17。
解法（三） 设较小的奇数为，则另一个奇数为。
据题意，得
整理后，得
解得，，或。
当时，。
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；－19，－17。
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1.三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2.解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。
3.选出三种方法中最简单的一种。
练习1.两个连续整数的积是210，求这两个数。
2.三个连续奇数的和是321，求这三个数。
3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。
例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。
分析：数与数字的关系是：
两位数十位数字个位数字。
三位数百位数字十位数字个位数字。
解：设个位数字为x，则十位数字为，这个两位数是。
据题意，得，
整理，得，
解这个方程，得（不合题意，舍去）
当时，
答：这个两位数是24。
以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价。
注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。
练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。（35）
教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。
四、布置作业
教材P42A 1、2
补充：一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。
五、板书设计
探究活动
将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
参考答案：
精析：此题属于经营问题.设商品单价为（50+）元，则每个商品得利润元，因每涨1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少10个，故销售量为（500）个，为赚得8000元利润，则应有（500）.故有=8000
当时，50+=60，500=400
当时，50+=80，500=200
所以，要想赚8000元，若售价为60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进货量应为200个.
第一课时
一、教学目标
1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2.通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3.通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
2.教学难点：根据数与数字关系找等量关系。
3.教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。
4.解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。
三、教学过程
1.复习提问
（1）列方程解应用问题的步骤？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。
（2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数）
2.例题讲解
例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数。
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）a.设较小的奇数为x，则另一奇数为，b.设较小的奇数为，则另一奇数为；c.设较小的奇数为，则另一个奇数。
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。
解法（一） 设较小奇数为x，另一个为，
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
由得，由得，
答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。
解法（二） 设较小的奇数为，则较大的奇数为。
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
当时，
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；或者－19，－17。
解法（三） 设较小的奇数为，则另一个奇数为。
据题意，得
整理后，得
解得，，或。
当时，。
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；－19，－17。
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1.三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2.解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。
3.选出三种方法中最简单的一种。
练习1.两个连续整数的积是210，求这两个数。
2.三个连续奇数的和是321，求这三个数。
3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。
例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。
分析：数与数字的关系是：
两位数十位数字个位数字。
三位数百位数字十位数字个位数字。
解：设个位数字为x，则十位数字为，这个两位数是。
据题意，得，
整理，得，
解这个方程，得（不合题意，舍去）
当时，
答：这个两位数是24。
以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价。
注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。
练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。（35）
教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。
四、布置作业
教材P42A 1、2
补充：一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。
五、板书设计
探究活动
将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
参考答案：
精析：此题属于经营问题.设商品单价为（50+）元，则每个商品得利润元，因每涨1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少10个，故销售量为（500）个，为赚得8000元利润，则应有（500）.故有=8000
当时，50+=60，500=400
当时，50+=80，500=200
所以，要想赚8000元，若售价为60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进货量应为200个.
第一课时
一、教学目标
1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2.通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3.通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
2.教学难点 ：根据数与数字关系找等量关系。
3.教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。
4.解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。
三、教学过程
1.复习提问
（1）列方程解应用问题的步骤？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。
（2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数）
2.例题讲解
例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数。
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）a.设较小的奇数为x，则另一奇数为，b.设较小的奇数为，则另一奇数为；c.设较小的奇数为，则另一个奇数。
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。
解法（一） 设较小奇数为x，另一个为，
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
由得，由得，
答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。
解法（二） 设较小的奇数为，则较大的奇数为。
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
当时，
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；或者－19，－17。
解法（三） 设较小的奇数为，则另一个奇数为。
据题意，得
整理后，得
解得，，或。
当时，。
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；－19，－17。
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1.三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2.解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。
3.选出三种方法中最简单的一种。
练习1.两个连续整数的积是210，求这两个数。
2.三个连续奇数的和是321，求这三个数。
3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。
例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。
分析：数与数字的关系是：
两位数十位数字个位数字。
三位数百位数字十位数字个位数字。
解：设个位数字为x，则十位数字为，这个两位数是。
据题意，得，
整理，得，
解这个方程，得（不合题意，舍去）
当时，
答：这个两位数是24。
以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价。
注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。
练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。（35）
教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。
四、布置作业
教材P42A 1、2
补充：一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。
五、板书设计
探究活动
将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
参考答案：
精析：此题属于经营问题.设商品单价为（50+）元，则每个商品得利润元，因每涨1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少10个，故销售量为（500）个，为赚得8000元利润，则应有（500）.故有=8000
当时，50+=60，500=400
当时，50+=80，500=200
所以，要想赚8000元，若售价为60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进货量应为200个.
第一课时
一、教学目标
1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2.通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3.通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
2.教学难点 ：根据数与数字关系找等量关系。
3.教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。
4.解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。
三、教学过程
1.复习提问
（1）列方程解应用问题的步骤？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。
（2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数）
2.例题讲解
例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数。
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）a.设较小的奇数为x，则另一奇数为，b.设较小的奇数为，则另一奇数为；c.设较小的奇数为，则另一个奇数。
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。
解法（一） 设较小奇数为x，另一个为，
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
由得，由得，
答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。
解法（二） 设较小的奇数为，则较大的奇数为。
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
当时，
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；或者－19，－17。
解法（三） 设较小的奇数为，则另一个奇数为。
据题意，得
整理后，得
解得，，或。
当时，。
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；－19，－17。
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1.三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2.解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。
3.选出三种方法中最简单的一种。
练习1.两个连续整数的积是210，求这两个数。
2.三个连续奇数的和是321，求这三个数。
3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。
例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。
分析：数与数字的关系是：
两位数十位数字个位数字。
三位数百位数字十位数字个位数字。
解：设个位数字为x，则十位数字为，这个两位数是。
据题意，得，
整理，得，
解这个方程，得（不合题意，舍去）
当时，
答：这个两位数是24。
以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价。
注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。
练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。（35）
教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。
四、布置作业
教材P42A 1、2
补充：一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。
五、板书设计
探究活动
将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
参考答案：
精析：此题属于经营问题.设商品单价为（50+）元，则每个商品得利润元，因每涨1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少10个，故销售量为（500）个，为赚得8000元利润，则应有（500）.故有=8000
当时，50+=60，500=400
当时，50+=80，500=200
所以，要想赚8000元，若售价为60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进货量应为200个.
第一课时
一、教学目标
1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2.通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3.通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
2.教学难点：根据数与数字关系找等量关系。
3.教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。
4.解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。
三、教学过程
1.复习提问
（1）列方程解应用问题的步骤？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。
（2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数）
2.例题讲解
例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数。
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）a.设较小的奇数为x，则另一奇数为，b.设较小的奇数为，则另一奇数为；c.设较小的奇数为，则另一个奇数。
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。
解法（一） 设较小奇数为x，另一个为，
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
由得，由得，
答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。
解法（二） 设较小的奇数为，则较大的奇数为。
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
当时，
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；或者－19，－17。
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一元二次方程的应用中例1：用22cm长的铁丝折成一个面积为30cm2的矩形，求这个矩形的长与宽。这是面积问题中的一个典型例题，我在引导学生解决此题之后，马上改编为：用22cm长的铁丝能不能折成一个面积为32cm2的矩形？试分析你的结论。通过此题，与一元二次方程的判别式联系起来，前后知识融会贯通。又改编为：有一面积为150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边*墙（墙长18）另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35，求鸡场的长与宽。
通过变式训练，让学生由浅入深，由易到难，也让学生解决问题的能力逐级上升，这是这节课中的一大亮点。
12.6 一元二次方程的应用（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题.
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识.
二、教学重点、难点
1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题.
2.教学难点 ：找等量关系.列一元二次方程解应用题时，应注意是方程的解，但不一定符合题意，因此求解后一定要检验，以确定适合题意的解.例如线段的长度不为负值，人的个数不能为分数等.
三、教学步骤
（一）明确目标.
（二）整体感知
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1.复习提问
（1）列方程解应用题的步骤？
（2）长方形的周长、面积？长方体的体积？
2.例1 现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？
解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则盒底面长方形的长为（19-2x）cm，宽为（15-2x）cm，
据题意：（19-2x）（15-2x）=77.
整理后，得x2-17x+52=0，
解得x1=4，x2=13.
∴ 当x=13时，15-2x=-11（不合题意，舍去.）
答：截取的小正方形边长应为4cm，可制成符合要求的无盖盒子.
练习1.章节前引例.
学生笔答、板书、评价.
练习2.教材P.42中4.
学生笔答、板书、评价.
注意：全面积=各部分面积之和.
剩余面积=原面积-截取面积.
例2 要做一个容积为750cm3，高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长及宽应该各是多少（精确到0.1cm）？
分析：底面的长和宽均可用含未知数的代数式表示，则长×宽×高=体积，这样便可得到含有未知数的等式——方程.
解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，
解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，
据题意，6x（x+5）=750，
整理后，得x2+5x-125=0.
解这个方程x1=9.0，x2=-14.0（不合题意，舍去）.
当x=9.0时，x+17=26.0，x+12=21.0.
答：可以选用宽为21cm，长为26cm的长方形铁皮.
教师引导，学生板书，笔答，评价.
（四）总结、扩展
1.有关面积和体积的应用题均可借助图示加以分析，便于理解题意，搞清已知量与未知量的相互关系.
2.要深刻理解题意中的已知条件，正确决定一元二次方程的取舍问题，例如线段的长不能为负.
3.进一步体会数字在实践中的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力.
四、布置作业
教材P.42中A3、6、7.
教材P.41中3.4
五、板书设计
12.6 一元二次方程的应用（二）
例1.略
例2.略
解：设……… 解：…………
………… …………
一、素质教育目标
（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题.
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识.
二、教学重点、难点
1.教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题.
2.教学难点 ：有关增长率之间的数量关系.下列词语的异同；增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了.
三、教学步骤
（一）明确目标.
（二）整体感知
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1.复习提问
（1）原产量+增产量=实际产量.
（2）单位时间增产量=原产量×增长率.
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）.
2.例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
分析：设平均每月的增长率为x.
则2月份的产量是5000+5000x=5000（1+x）（吨）.
3月份的产量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]
=5000（1+x）2（吨）.
解：设平均每月的增长率为x，据题意得：
5000（1+x）2=7200
（1+x）2=1.44
1+x=±1.2.
x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）.
取x=0.2=20％.
教师引导，点拨、板书，学生回答.
注意以下几个问题：
（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x.
（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系.
（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开.
练习1.教材P.42中5.
学生分析题意，板书，笔答，评价.
练习2.若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程.
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率.
（1+x）2=b（把原来的总产值看作是1.）
（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数.
（a（1+x）2=b）
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数.
（（1+x）2=b+1把原来的总产值看作是1.）
以上学生回答，教师点拨.引导学生总结下面的规律：
设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为a（1+x），增长两次后的产值为a（1+x）2 ，…………增长n次后的产值为S=a（1+x）n.
规律的得出，使学生对此类问题能居高临下，同时培养学生的探索精神和创造能力.
例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？
分析：设每次降价为x.
第一次降价后，每件为600-600x=600（1-x）（元）.
第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）•x
=600（1-x）2（元）.
解：设每次降价为x，据题意得
600（1-x）2=384.
答：平均每次降价为20％.
教师引导学生分析完毕，学生板书，笔答，评价，对比，总结.
引导学生对比“增长”、“下降”的区别.如果设平均每次增长或下降为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）.
（四）总结、扩展
1.善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程.培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法.
2.在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题.
3.我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率.3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程.
四、布置作业
教材P.42中A8
五、板书设计
12.6 一元二次方程应用（三）
1.数量关系： 例1…… 例2……
（1）原产量+增产量=实际产量 分析：…… 分析……
（2）单位时间增产量=原产量×增长率 解…… 解……
（3）实际产量=原产量（1+增长率）
2.最后产值、基数、平均增长率、时间
的基本关系：
M=m（1+x）n n为时间
M为最后产量，m为基数，x为平均增长率
本节是一元二次方程的应用的继续和发展，由于能用一元二次方程解的应用题，一般都可以用算术方法解而需要用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术方法来解的，所以讲本节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性。
列一元二次方程解应用题，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有应用；其数量关系也比可以用一元一次方程解决的问题复杂的多。因此，本节所学习的内容，不仅是中学数学中的重点，也是难点。
在教学过程中，通过列一元二次方程解应用题提高学生的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力。
12.6 一元二次方程的应用（三）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题.
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识.
二、教学重点、难点
1.教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题.
2.教学难点 ：有关增长率之间的数量关系.下列词语的异同；增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了.
三、教学步骤
（一）明确目标.
（二）整体感知
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1.复习提问
（1）原产量+增产量=实际产量.
（2）单位时间增产量=原产量×增长率.
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）.
2.例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
分析：设平均每月的增长率为x.
则2月份的产量是5000+5000x=5000（1+x）（吨）.
3月份的产量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]
=5000（1+x）2（吨）.
解：设平均每月的增长率为x，据题意得：
5000（1+x）2=7200
（1+x）2=1.44
1+x=±1.2.
x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）.
取x=0.2=20％.
教师引导，点拨、板书，学生回答.
注意以下几个问题：
（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x.
（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系.
（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开.
练习1.教材P.42中5.
学生分析题意，板书，笔答，评价.
练习2.若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程.
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率.
（1+x）2=b（把原来的总产值看作是1.）
（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数.
（a（1+x）2=b）
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数.
（（1+x）2=b+1把原来的总产值看作是1.）
以上学生回答，教师点拨.引导学生总结下面的规律：
设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为a（1+x），增长两次后的产值为a（1+x）2 ，…………增长n次后的产值为S=a（1+x）n.
规律的得出，使学生对此类问题能居高临下，同时培养学生的探索精神和创造能力.
例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？
分析：设每次降价为x.
第一次降价后，每件为600-600x=600（1-x）（元）.
第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）•x
=600（1-x）2（元）.
解：设每次降价为x，据题意得
600（1-x）2=384.
答：平均每次降价为20％.
教师引导学生分析完毕，学生板书，笔答，评价，对比，总结.
引导学生对比“增长”、“下降”的区别.如果设平均每次增长或下降为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）.
（四）总结、扩展
1.善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程.培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法.
2.在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题.
3.我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率.3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程.
四、布置作业
教材P.42中A8
五、板书设计
12.6 一元二次方程应用（三）
1.数量关系： 例1…… 例2……
（1）原产量+增产量=实际产量 分析：…… 分析……
（2）单位时间增产量=原产量×增长率 解…… 解……
（3）实际产量=原产量（1+增长率）
2.最后产值、基数、平均增长率、时间
的基本关系：
M=m（1+x）n n为时间
M为最后产量，m为基数，x为平均增长率
12.6 一元二次方程的应用（三）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题.
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识.
二、教学重点、难点
1.教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题.
2.教学难点 ：有关增长率之间的数量关系.下列词语的异同；增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了.
三、教学步骤
（一）明确目标.
（二）整体感知
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1.复习提问
（1）原产量+增产量=实际产量.
（2）单位时间增产量=原产量×增长率.
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）.
2.例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
分析：设平均每月的增长率为x.
则2月份的产量是5000+5000x=5000（1+x）（吨）.
3月份的产量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]
=5000（1+x）2（吨）.
解：设平均每月的增长率为x，据题意得：
5000（1+x）2=7200
（1+x）2=1.44
1+x=±1.2.
x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）.
取x=0.2=20％.
教师引导，点拨、板书，学生回答.
注意以下几个问题：
（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x.
（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系.
（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开.
练习1.教材P.42中5.
学生分析题意，板书，笔答，评价.
练习2.若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程.
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率.
（1+x）2=b（把原来的总产值看作是1.）
（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数.
（a（1+x）2=b）
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数.
（（1+x）2=b+1把原来的总产值看作是1.）
以上学生回答，教师点拨.引导学生总结下面的规律：
设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为a（1+x），增长两次后的产值为a（1+x）2 ，…………增长n次后的产值为S=a（1+x）n.
规律的得出，使学生对此类问题能居高临下，同时培养学生的探索精神和创造能力.
例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？
分析：设每次降价为x.
第一次降价后，每件为600-600x=600（1-x）（元）.
第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）•x
=600（1-x）2（元）.
解：设每次降价为x，据题意得
600（1-x）2=384.
答：平均每次降价为20％.
教师引导学生分析完毕，学生板书，笔答，评价，对比，总结.
引导学生对比“增长”、“下降”的区别.如果设平均每次增长或下降为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）.
（四）总结、扩展
1.善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程.培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法.
2.在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题.
3.我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率.3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程.
四、布置作业
教材P.42中A8
五、板书设计
12.6 一元二次方程应用（三）
1.数量关系： 例1…… 例2……
（1）原产量+增产量=实际产量 分析：…… 分析……
（2）单位时间增产量=原产量×增长率 解…… 解……
（3）实际产量=原产量（1+增长率）
2.最后产值、基数、平均增长率、时间
的基本关系：
M=m（1+x）n n为时间
M为最后产量，m为基数，x为平均增长率
12.6 一元二次方程的应用（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题.
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识.
二、教学重点、难点
1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题.
2.教学难点 ：找等量关系.列一元二次方程解应用题时，应注意是方程的解，但不一定符合题意，因此求解后一定要检验，以确定适合题意的解.例如线段的长度不为负值，人的个数不能为分数等.
三、教学步骤
（一）明确目标.
（二）整体感知
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1.复习提问
（1）列方程解应用题的步骤？
（2）长方形的周长、面积？长方体的体积？
2.例1 现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？
解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则盒底面长方形的长为（19-2x）cm，宽为（15-2x）cm，
据题意：（19-2x）（15-2x）=77.
整理后，得x2-17x+52=0，
解得x1=4，x2=13.
∴ 当x=13时，15-2x=-11（不合题意，舍去.）
答：截取的小正方形边长应为4cm，可制成符合要求的无盖盒子.
练习1.章节前引例.
学生笔答、板书、评价.
练习2.教材P.42中4.
学生笔答、板书、评价.
注意：全面积=各部分面积之和.
剩余面积=原面积-截取面积.
例2 要做一个容积为750cm3，高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长及宽应该各是多少（精确到0.1cm）？
分析：底面的长和宽均可用含未知数的代数式表示，则长×宽×高=体积，这样便可得到含有未知数的等式——方程.
解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，
解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，
据题意，6x（x+5）=750，
整理后，得x2+5x-125=0.
解这个方程x1=9.0，x2=-14.0（不合题意，舍去）.
当x=9.0时，x+17=26.0，x+12=21.0.
答：可以选用宽为21cm，长为26cm的长方形铁皮.
教师引导，学生板书，笔答，评价.
（四）总结、扩展
1.有关面积和体积的应用题均可借助图示加以分析，便于理解题意，搞清已知量与未知量的相互关系.
2.要深刻理解题意中的已知条件，正确决定一元二次方程的取舍问题，例如线段的长不能为负.
3.进一步体会数字在实践中的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力.
四、布置作业
教材P.42中A3、6、7.
教材P.41中3.4
五、板书设计
12.6 一元二次方程的应用（二）
例1.略
例2.略
解：设……… 解：…………
………… …………
12.6 一元二次方程的应用（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题.
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识.
二、教学重点、难点
1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题.
2.教学难点 ：找等量关系.列一元二次方程解应用题时，应注意是方程的解，但不一定符合题意，因此求解后一定要检验，以确定适合题意的解.例如线段的长度不为负值，人的个数不能为分数等.
三、教学步骤
（一）明确目标.
（二）整体感知
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1.复习提问
（1）列方程解应用题的步骤？
（2）长方形的周长、面积？长方体的体积？
2.例1 现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？
解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则盒底面长方形的长为（19-2x）cm，宽为（15-2x）cm，
据题意：（19-2x）（15-2x）=77.
整理后，得x2-17x+52=0，
解得x1=4，x2=13.
∴ 当x=13时，15-2x=-11（不合题意，舍去.）
答：截取的小正方形边长应为4cm，可制成符合要求的无盖盒子.
练习1.章节前引例.
学生笔答、板书、评价.
练习2.教材P.42中4.
学生笔答、板书、评价.
注意：全面积=各部分面积之和.
剩余面积=原面积-截取面积.
例2 要做一个容积为750cm3，高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长及宽应该各是多少（精确到0.1cm）？
分析：底面的长和宽均可用含未知数的代数式表示，则长×宽×高=体积，这样便可得到含有未知数的等式——方程.
解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，
解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，
据题意，6x（x+5）=750，
整理后，得x2+5x-125=0.
解这个方程x1=9.0，x2=-14.0（不合题意，舍去）.
当x=9.0时，x+17=26.0，x+12=21.0.
答：可以选用宽为21cm，长为26cm的长方形铁皮.
教师引导，学生板书，笔答，评价.
（四）总结、扩展
1.有关面积和体积的应用题均可借助图示加以分析，便于理解题意，搞清已知量与未知量的相互关系.
2.要深刻理解题意中的已知条件，正确决定一元二次方程的取舍问题，例如线段的长不能为负.
3.进一步体会数字在实践中的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力.
四、布置作业
教材P.42中A3、6、7.
教材P.41中3.4
五、板书设计
12.6 一元二次方程的应用（二）
例1.略
例2.略
解：设……… 解：…………
………… …………
一元二次方程的应用（一）
一、素质教育目标
（－）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题.
（二）能力训练点：通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力.
二、教学重点、难点
1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题.
2.教学难点 ：根据数与数字关系找等量关系.
三、教学步骤
（一）明确目标
（二）整体感知：
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1.复习提问
（1）列方程解应用问题的步骤？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.
（2）两个连续奇数的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整数）.
2.例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数.
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法） .设较小的奇数为x，则另一奇数为x+2， 设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1； 设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1.
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法.
解法（一）
设较小奇数为x，另一个为x+2，
据题意，得x（x+2）=323.
整理后，得x2+2x-323=0.
解这个方程，得x1=17，x2=-19.
由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，
答：这两个奇数是17，19或者-19，-17.
解法（二）
设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1.
据题意，得（x-1）（x+1）=323.
整理后，得x2=324.
解这个方程，得x1=18，x2=-18.
当x=18时，18-1=17，18+1=19.
当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17.
答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17.
解法（三）
设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1.
据题意，得（2x-1）（2x+1）=323.
整理后，得4x2=324.
解得，2x=18，或2x=-18.
当2x=18时，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19.
当2x=-18时，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17
答：两个奇数分别为17，19；-19，-17.
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1.三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2.解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数.3.选出三种方法中最简单的一种.
练习
1.两个连续整数的积是210，求这两个数.
2.三个连续奇数的和是321，求这三个数.
3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数.
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法.例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数.
分析：数与数字的关系是：
两位数=十位数字×10+个位数字.
三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字.
解：设个位数字为x，则十位数字为x-2，这个两位数是10（x-2）+x.
据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），
整理，得3x2-17x+20=0，
当x=4时，x-2=2，10（x-2）+x=24.
答：这个两位数是24.
练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数.（35，53）
2.一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数.
教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会.
（四）总结，扩展
1奇数的表示方法为 2n+1，2n-1，……（n为整数）偶数的表示方法是2n（n是整数），连续奇数（偶数）中，较大的与较小的差为2，偶数、奇数可以是正数，也可以是负数.
数与数字的关系
两位数=（十位数字×10）+个位数字.
三位数=（百位数字×100）+（十位数字×10）+个位数字.
……
2.通过本节课内容的比较、鉴别、分析、综合，进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途.
四、布置作业
教材P.42中A1、2、
一元二次方程的应用（一）
一、素质教育目标
（－）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题.
（二）能力训练点：通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力.
二、教学重点、难点
1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题.
2.教学难点 ：根据数与数字关系找等量关系.
三、教学步骤
（一）明确目标
（二）整体感知：
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1.复习提问
（1）列方程解应用问题的步骤？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.
（2）两个连续奇数的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整数）.
2.例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数.
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法） .设较小的奇数为x，则另一奇数为x+2， 设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1； 设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1.
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法.
解法（一）
设较小奇数为x，另一个为x+2，
据题意，得x（x+2）=323.
整理后，得x2+2x-323=0.
解这个方程，得x1=17，x2=-19.
由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，
答：这两个奇数是17，19或者-19，-17.
解法（二）
设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1.
据题意，得（x-1）（x+1）=323.
整理后，得x2=324.
解这个方程，得x1=18，x2=-18.
当x=18时，18-1=17，18+1=19.
当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17.
答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17.
解法（三）
设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1.
据题意，得（2x-1）（2x+1）=323.
整理后，得4x2=324.
解得，2x=18，或2x=-18.
当2x=18时，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19.
当2x=-18时，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17
答：两个奇数分别为17，19；-19，-17.
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1.三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2.解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数.3.选出三种方法中最简单的一种.
练习
1.两个连续整数的积是210，求这两个数.
2.三个连续奇数的和是321，求这三个数.
3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数.
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法.例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数.
分析：数与数字的关系是：
两位数=十位数字×10+个位数字.
三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字.
解：设个位数字为x，则十位数字为x-2，这个两位数是10（x-2）+x.
据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），
整理，得3x2-17x+20=0，
当x=4时，x-2=2，10（x-2）+x=24.
答：这个两位数是24.
练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数.（35，53）
2.一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数.
教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会.
（四）总结，扩展
1奇数的表示方法为 2n+1，2n-1，……（n为整数）偶数的表示方法是2n（n是整数），连续奇数（偶数）中，较大的与较小的差为2，偶数、奇数可以是正数，也可以是负数.
数与数字的关系
两位数=（十位数字×10）+个位数字.
三位数=（百位数字×100）+（十位数字×10）+个位数字.
……
2.通过本节课内容的比较、鉴别、分析、综合，进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途.
四、布置作业
教材P.42中A1、2、
一元二次方程的应用（一）
一、素质教育目标
（－）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题.
（二）能力训练点：通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力.
二、教学重点、难点
1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题.
2.教学难点 ：根据数与数字关系找等量关系.
三、教学步骤
（一）明确目标
（二）整体感知：
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1.复习提问
（1）列方程解应用问题的步骤？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.
（2）两个连续奇数的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整数）.
2.例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数.
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法） .设较小的奇数为x，则另一奇数为x+2， 设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1； 设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1.
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法.
解法（一）
设较小奇数为x，另一个为x+2，
据题意，得x（x+2）=323.
整理后，得x2+2x-323=0.
解这个方程，得x1=17，x2=-19.
由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，
答：这两个奇数是17，19或者-19，-17.
解法（二）
设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1.
据题意，得（x-1）（x+1）=323.
整理后，得x2=324.
解这个方程，得x1=18，x2=-18.
当x=18时，18-1=17，18+1=19.
当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17.
答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17.
解法（三）
设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1.
据题意，得（2x-1）（2x+1）=323.
整理后，得4x2=324.
解得，2x=18，或2x=-18.
当2x=18时，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19.
当2x=-18时，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17
答：两个奇数分别为17，19；-19，-17.
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1.三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2.解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数.3.选出三种方法中最简单的一种.
练习
1.两个连续整数的积是210，求这两个数.
2.三个连续奇数的和是321，求这三个数.
3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数.
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法.例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数.
分析：数与数字的关系是：
两位数=十位数字×10+个位数字.
三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字.
解：设个位数字为x，则十位数字为x-2，这个两位数是10（x-2）+x.
据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），
整理，得3x2-17x+20=0，
当x=4时，x-2=2，10（x-2）+x=24.
答：这个两位数是24.
练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数.（35，53）
2.一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数.
教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会.
（四）总结，扩展
1奇数的表示方法为 2n+1，2n-1，……（n为整数）偶数的表示方法是2n（n是整数），连续奇数（偶数）中，较大的与较小的差为2，偶数、奇数可以是正数，也可以是负数.
数与数字的关系
两位数=（十位数字×10）+个位数字.
三位数=（百位数字×100）+（十位数字×10）+个位数字.
……
2.通过本节课内容的比较、鉴别、分析、综合，进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途.
四、布置作业
教材P.42中A1、2、
一、素质教育目标
（－）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题.
（二）能力训练点：通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力.
二、教学重点、难点
1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题.
2.教学难点 ：根据数与数字关系找等量关系.
三、教学步骤
（一）明确目标
（二）整体感知：
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1.复习提问
（1）列方程解应用问题的步骤？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.
（2）两个连续奇数的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整数）.
2.例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数.
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法） .设较小的奇数为x，则另一奇数为x+2， 设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1； 设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1.
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法.
解法（一）
设较小奇数为x，另一个为x+2，
据题意，得x（x+2）=323.
整理后，得x2+2x-323=0.
解这个方程，得x1=17，x2=-19.
由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，
答：这两个奇数是17，19或者-19，-17.
解法（二）
设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1.
据题意，得（x-1）（x+1）=323.
整理后，得x2=324.
解这个方程，得x1=18，x2=-18.
当x=18时，18-1=17，18+1=19.
当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17.
答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17.
解法（三）
设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1.
据题意，得（2x-1）（2x+1）=323.
整理后，得4x2=324.
解得，2x=18，或2x=-18.
当2x=18时，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19.
当2x=-18时，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17
答：两个奇数分别为17，19；-19，-17.
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1.三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2.解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数.3.选出三种方法中最简单的一种.
练习
1.两个连续整数的积是210，求这两个数.
2.三个连续奇数的和是321，求这三个数.
3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数.
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法.例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数.
分析：数与数字的关系是：
两位数=十位数字×10+个位数字.
三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字.
解：设个位数字为x，则十位数字为x-2，这个两位数是10（x-2）+x.
据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），
整理，得3x2-17x+20=0，
当x=4时，x-2=2，10（x-2）+x=24.
答：这个两位数是24.
练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数.（35，53）
2.一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数.
教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会.
（四）总结，扩展
1奇数的表示方法为 2n+1，2n-1，……（n为整数）偶数的表示方法是2n（n是整数），连续奇数（偶数）中，较大的与较小的差为2，偶数、奇数可以是正数，也可以是负数.
数与数字的关系
两位数=（十位数字×10）+个位数字.
三位数=（百位数字×100）+（十位数字×10）+个位数字.
……
2.通过本节课内容的比较、鉴别、分析、综合，进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途.
四、布置作业
教材P.42中A1、2、
第一课时
一、教学目标
1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2.通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3.通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
2.教学难点 ：根据数与数字关系找等量关系。
3.教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。
4.解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。
三、教学过程
1.复习提问
（1）列方程解应用问题的步骤？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。
（2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数）
2.例题讲解
例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数。
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）a.设较小的奇数为x，则另一奇数为，b.设较小的奇数为，则另一奇数为；c.设较小的奇数为，则另一个奇数。
以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。
解法（一） 设较小奇数为x，另一个为，
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
由得，由得，
答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。
解法（二） 设较小的奇数为，则较大的奇数为。
据题意，得
整理后，得
解这个方程，得。
当时，
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；或者－19，－17。
解法（三） 设较小的奇数为，则另一个奇数为。
据题意，得
整理后，得
解得，，或。
当时，。
当时，。
答：两个奇数分别为17，19；－19，－17。
引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：
1.三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？
2.解题中的x出现了负值，为什么不舍去？
答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。
3.选出三种方法中最简单的一种。
练习1.两个连续整数的积是210，求这两个数。
2.三个连续奇数的和是321，求这三个数。
3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。
学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。
例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。
分析：数与数字的关系是：
两位数十位数字个位数字。
三位数百位数字十位数字个位数字。
解：设个位数字为x，则十位数字为，这个两位数是。
据题意，得，
整理，得，
解这个方程，得（不合题意，舍去）
当时，
答：这个两位数是24。
以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价。
注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。
练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。（35）
教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。
四、布置作业
教材P42A 1、2
补充：一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。
五、板书设计
探究活动
将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
参考答案：
精析：此题属于经营问题.设商品单价为（50+）元，则每个商品得利润元，因每涨1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少10个，故销售量为（500）个，为赚得8000元利润，则应有（500）.故有=8000
当时，50+=60，500=400
当时，50+=80，500=200
所以，要想赚8000元，若售价为60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进货量应为200个.
12.6 一元二次方程的应用（三）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题.
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识.
二、教学重点、难点
1.教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题.
2.教学难点 ：有关增长率之间的数量关系.下列词语的异同；增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了.
三、教学步骤
（一）明确目标.
（二）整体感知
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1.复习提问
（1）原产量+增产量=实际产量.
（2）单位时间增产量=原产量×增长率.
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）.
2.例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
分析：设平均每月的增长率为x.
则2月份的产量是5000+5000x=5000（1+x）（吨）.
3月份的产量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]
=5000（1+x）2（吨）.
解：设平均每月的增长率为x，据题意得：
5000（1+x）2=7200
（1+x）2=1.44
1+x=±1.2.
x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）.
取x=0.2=20％.
教师引导，点拨、板书，学生回答.
注意以下几个问题：
（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x.
（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系.
（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开.
练习1.教材P.42中5.
学生分析题意，板书，笔答，评价.
练习2.若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程.
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率.
（1+x）2=b（把原来的总产值看作是1.）
（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数.
（a（1+x）2=b）
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数.
（（1+x）2=b+1把原来的总产值看作是1.）
以上学生回答，教师点拨.引导学生总结下面的规律：
设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为a（1+x），增长两次后的产值为a（1+x）2 ，…………增长n次后的产值为S=a（1+x）n.
规律的得出，使学生对此类问题能居高临下，同时培养学生的探索精神和创造能力.
例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？
分析：设每次降价为x.
第一次降价后，每件为600-600x=600（1-x）（元）.
第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）•x
=600（1-x）2（元）.
解：设每次降价为x，据题意得
600（1-x）2=384.
答：平均每次降价为20％.
教师引导学生分析完毕，学生板书，笔答，评价，对比，总结.
引导学生对比“增长”、“下降”的区别.如果设平均每次增长或下降为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）.
（四）总结、扩展
1.善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程.培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法.
2.在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题.
3.我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率.3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程.
四、布置作业
教材P.42中A8
五、板书设计
12.6 一元二次方程应用（三）
1.数量关系： 例1…… 例2……
（1）原产量+增产量=实际产量 分析：…… 分析……
（2）单位时间增产量=原产量×增长率 解…… 解……
（3）实际产量=原产量（1+增长率）
2.最后产值、基数、平均增长率、时间
的基本关系：
M=m（1+x）n n为时间
M为最后产量，m为基数，x为平均增长率
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