“勾股定理的应用”（精选2篇）
八年级上 勾股定理应用之一
目标
重点
难点
1、知识与方法目标：通过对一些典型题目的思考、练习，能正确、熟练的进行勾股定理有关计算，深入对勾股定理的理解。
2、过程与方法目标：通过对一些题目的探讨，以达到掌握知识的目的。
3、情感与态度目标：感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美。
勾股定理的应用
勾股定理的灵活应用。
内容
方法
八年级上--勾股定理的应用之一
讲练结合
课前复习
师：勾股定理的内容是什么？
生：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
师：这个定理为什么是两直角边的平方和呢？
生：斜边是最长边，肯定是两个直角边的平方和等于斜边的平方，否则不正确的。
师：是这样的。在rtδabc中，∠c＝90°，有：ac2+bc2＝ab2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。
今天我们来看看这个定理的应用。
新课过程
分析：
师：上面的探究，先请大家思考如何做？
（留几分钟的时间给学生思考）
师：看到这个题让我们想起古代一个笑话，说有一个人拿一根杆子进城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题，相信同学们不会这样做。
（我略带夸张的比划、语气，学生笑声一片，有知道这个故事的，抢在我的前面说，学生欣欣然，我观察课堂气氛比较轻松，这也正是我所希望氛围，在这样的情况下，学生更容易掌握知识）
师：这里木板横着不能进，竖着不能进，只能试试将木板斜着顺进去。
师：应该比较什么？
李冬：这是一块薄木板，比较ac的长度，是否大于2.2就可以了。
师：李冬说的是正确的。请大家算出来，可以使用计算器。
解：在rtδabc中，由题意有：
ac＝＝≈2.236
∵ac大于木板的宽
∴薄木板能从门框通过。
学生进行练习：
1、在rt△abc中，ab＝c，bc＝a，ac＝b， ∠b=90゜.
①已知a=5，b=12，求c；
②已知a=20，c=29，求b
（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a2+b2＝c2，要根据本质来看问题）
2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？
师：对第二问有什么想法？
生：分情况进行讨论。
师：具体说说分几种情况讨论？
生：①3cm和4cm分别是直角边；②4cm是斜边，3cm是直角边。
师：呵呵，你们漏了一种情况，还有3cm是斜边，4cm是直角边的这种情况。
众生（顿感机会难得，能有一次战胜老师的机会哪能放过）：啊！斜边应该大于直角边的。这种情况是不可能的。
师：你们是对的，请把这题计算出来。
（学生情绪高涨，为自己的胜利而高兴）
（这样处理对有的学生来说，印象深刻，让每一个地方都明白无误）
解：①当6cm和8cm分别为两直角边时；
斜边＝＝10
∴周长为：6+8+10＝24cm
②当6cm为一直角边，8cm是斜边时，
另一直角边＝ ＝2
周长为：6+8+2＝14+2
师：如图，看上面的探究2。
分析：
师：请大家思考，该如何去做？
陈晓玲：运用勾股定理，已知ab、bo，算出ao的长度，又∵a点下滑了0.4米，再算出oc的长度，再利用勾股定理算出od的长度即可，最后算出bd的长度就能知道了。
师：这个思路是非常正确的。请大家写出过程。
有生言：是0.4米。
师：猜是0.4米，就是想当然了，算出来看看，是不是与你的猜测一样。
（周飞洋在黑板上来做）
解：由题意有：∠o＝90°，在rtδabo中
∴ao＝＝2.4（米）
又∵下滑了0.4米
∴oc＝2.0米
在rtδodc中
∴od＝=1.5（米）
∴外移bd＝0.8米
答：梯足将外移0.8米。
师：这与有的同学猜测的答案一样吗？
生：不一样。
师：做题应该是老老实实，不应该想当然的。
例3 再来看一道古代名题：
这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，《九章算术》中记录的一道古代趣题：
原题：“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”
师：谁来给大家说一说：“葭”如何读？并请解释是什么意思？
黄尚剑：葭（jiā），是芦苇的意思。
师：这是正确的。
师：谁来翻译？
吴智勇：现在有一个正方形的池子，一株芦苇长在水中央，露出水面的部分为一尺，拉芦苇到岸边，刚好与搭在岸上……
师：听了吴智勇的翻译，我觉得“适与岸齐”翻译得不达意，应该理解为芦苇与水面与岸的交接线的中点上。
宋婷等：老师，我也认为是刚好到岸边，“齐”就是这个意思的。
师：这是字表面的意思，古人的精炼给我们今天的理解带来了困难，如果照同学们的翻译，这题就无解了，这理的理解应该是芦苇与水面同岸的交接线的中点上，而且还要求不左偏右倒。
（与学生进行争论，能够让师生双方对这个问题都有更深刻的印象，我是欢迎学生们发表自己的见解）
师：正方形的池子，如何理解？
生：指长、宽、高都相等。
师：呵呵！照你们的看法，应该说成是正方体，而不应该是正方形了？再想想，池子的下方是什么形？
生：照这样说来，下面是其它形状也可以啊！
师：我也这样认为，再来具体的说说正方形池子指什么？
生：仅指池口是正方形。
师：是这样的。（用粉笔盒口演示给学生看）
有生：一丈10尺是指什么？
师：我也正想问这个问题呢，谁能来解答？
生：指ad的长度。
师：能指bc的长度吗？
生：不能，刚说的其下方是不能确定的。
我们整理翻译一下：
“现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上。请求出水深与芦苇的长各有多少尺？
师：请大家思考如何进行计算？
（留几分钟的时间给学生思考）
师：刚才有一部分同学已经做出来了，但还有约一半的同学还未能做出来。
师：没做出来的同学，请思考你是不是遇到了ef与fd两个未知数啊，一是想想1尺有什么用；二是如何把两个未知数变成一个未知数，当然也可以多列一个方程。
（再等一等学生，留时间让他们做出来，这里等一等所花费的时间，对中等与中等偏下的同学是极为有利的，这点时间的付出会得到超值回报的）
解：由题意有：de＝5尺，df＝fe+1。
设ef＝x尺，则df＝（x+1）尺
由勾股定理有：
x2+52＝（x+1）2
解之得：x＝12
答：水深12尺，芦苇长13尺。
生：这题的关键是理解题意。
师：看来还很会点评嘛，属于当领导的哦!（开个善意的玩笑，教室中一片温馨的笑声）。审题，弄清题意也是我们做题的首要的关键的一环，用同学们的总结来说，以后遇到难题不要怕，要敢于深入进去，弄清情景。
例4 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
师：请思考如何做？至少怎么理解？
生：走直线就短，用勾股定理就可以了，还要做辅助线。
师：是啊，要连哪些线？
生：连结两树顶得ab，过b作高树的垂线就可以了。
师：请解出来。
解：由题意有：bc＝12米，ac＝16－11＝5米。
在rtδabc中
ab＝＝13
答：小鸟至少要飞13米。
师：这题的计算也不难，关键也是理解题意。
作业：完成书（人教版）p77页1，p78页2、3
一.说教材
本课时是华师大版八年级(上)数学第14章第二节内容,是在掌握勾股定理的基础上对勾股定理的应用之一. 勾股定理是我国古数学的一项伟大成就.勾股定理为我们提供了直角三角形的三边间的数量关系,它的逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据,也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法,这些成果被广泛应用于数学和实际生活的各个方面.教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力,通过实际分析,使学生获得较为直观的印象,通过联系和比较,了解勾股定理在实际生活中的广泛应用. 据此,制定教学目标如下: 1.知识和方法目标:通过对一些典型题目的思考,练习,能正确熟练地进行勾股定理有关计算,深入对勾股定理的理解. 2.过程与方法目标:通过对一些题目的探讨,以达到掌握知识的目的. 3.情感与态度目标:感受数学在生活中的应用,感受数学定理的美. 教学重点:勾股定理的应用. 教学难点:勾股定理的正确使用. 教学关键:在现实情境中捕抓直角三角形,确定好直角三角形之后,再应用勾股定理.
二.说教法和学法
1.以自学辅导为主,充分发挥教师的主导作用,运用各种手段激发学习欲望和兴趣,组织学生活动,让学生主动参与学习全过程. 2.切实体现学生的主体地位,让学生通过观察,分析,讨论,操作,归纳理解定理,提高学生动手操作能力,以及分析问题和解决问题的能力. 3.通过演示实物,引导学生观察,操作,分析,证明,使学生获得新知的成功感受,从而激发学生钻研新知的欲望.
三.教学程序
本节内容的教学主要体现在学生的动手,动脑方面,根据学生的认知规律和学习心理,教学程序设置如下: 一.回顾问:勾股定理的内容是什么? 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,今天我们来学习这个定理在实际生活中的应用. 二.新授课例1.如图所示,有一个圆柱,它的高AB等于4厘米,底面周长等于20厘米,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A点相对的C点处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路线是多少？（课本P57图14.2.1）
①学生取出自制圆柱,,尝试从A点到C点沿圆柱侧面画出几条路线.思考:那条路线最短? ②如图,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从A点到C点的最短路线是什么?你画得对吗? ③蚂蚁从A点出发,想吃到C点处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路线是什么?
思路点拨:引导学生在自制的圆柱侧面上寻找最短路线;提醒学生将圆柱侧面展开成长方形,引导学生观察分析发现“两点之间的所有线中,线段最短”. 学生在自主探索的基础上兴趣高涨，气氛异常的活跃，他们发现蚂蚁从A点往上爬到B点后顺着直径爬向C点爬行的路线是最短的！我也意外的发现了这种爬法是正确的，但是课本上是顺着侧面往上爬的，我就告诉学生：“课本中的圆柱体是没有上盖的”。只有这样课本上的解答才算是完全正确的。例2.(课本P58图14.2.3) 思路点拨:厂门的宽度是足够的,这个问题的关键是观察当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB, 与地面交于H,寻找出Rt△OCD，运用勾股定理求出
2.3m
CD= = =0.6,CH=0.6+2.3=2.9>2.5可见卡车能顺利通过 .详细解题过程看课本 引导学生完成P58做一做. 三.课堂小练 1.课本P58练习第1,2题. 2.探究: 一门框的尺寸如图所示,一块长3米,宽2.2米的薄木板是否能从门框内通过?为什么?
四.小结直角三角形在实际生活中有更为广泛的应用希望同学们能紧紧抓住直角三角形的性质，学透勾股定理的具体应用，那样就能很轻松的解决现实生活中的许多问题，达到事倍功半的效果。
五.布置作业 课本P60习题14.2第1,2,3题.
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