互为反函数的函数图象间的关系（精选2篇）
互为反函数的函数图象间的关系
一、 教学目标
1.理解并掌握互为反函数的函数图像间的关系定理，运用定理解决有关反函数的问题，深化对互为反函数本质的认识.
2.运用定理画互为反函数的图像，研究互为反函数的有关性质，提高解函数综合问题的能力.
3.提高学生的形象思维与抽象思维相结合的逻辑思维能力，培养学生数形结合的数学思想和转化的数学思想.
二、 教学重点
互为反函数的函数图象间的关系和数形结合的数学思想
三、 教学难点
互为反函数的函数图象间的关系
四、 教学方法
启发式教学方法
五、 教学手段
多媒体课件
六、 教学过程
（一） 复习：
1. 求反函数的步骤 （1解 2换 3注明）
2. 求出下列函数的反函数
① y=2x+4 (x∈r) (y=x/2 -2 x∈r)
② y=6-2x (x∈r) (y=3- x/2 x∈r)
③ y=x2 (x≥0) (y=x1/2 x≥0)
（二） 新课导入
1. 分别将上述三个函数与其反函数的图象做在同一个直角坐标系中
2. 分析各图中互为反函数的函数图象间的关系
3. 给出定理：函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f –1(x)图象关于直线
y=x对称
4. 讲解例一：
例1 求函数y=x3 (x∈r)反函数，并画出原来的函数和它的反函数
的图象。
解：由y=x3，得x=y1/3。因此，函数y=x3反函数是y=x1/3 (x∈r)。函数y=x3 (x∈r)和它的反函数y=x1/3 (x∈r)的图象略。
5. 讲解例二：
例2 在直角坐标内，画出直线y=x，然后找出下面这些点关于直线y=x的对称点，并写出它们的坐标：
a (2,3) b (1,0) c(-2,-1) d (0,-1)
解：图略
点a的对称点为a’ (3,2)，点b的对称点为b’ (0,1)，
点c的对称点为c’ (-1,-2)，点d的对称点为d’(-1,0)。
6. 给出推论：点（a,b）关于直线y=x的对称点为（b,a）
7. 练习：函数f(x)=ax+b的图象经过(1,3)，其反函数的图象经过(2,0)，
求f(x)的解析式。
解：因为函数f(x)的反函数图象经过点（2，0），根据定理和推论，
函数f(x)的图象经过点（0，2）。
将点（0，2）（1，3）的横、纵坐标分别代入f(x)的解析式得：
0×a+b=2
解得：a=1 b=2
a×1+b=3
所以，f(x)=x+2
七、 教学小结
对这节课所学知识进行小结，互为反函数的函数图象是关于直线y=x对称的。
八、 教学作业
思考题及教材64页2、3、5题
九、 板书设计
互为反函数的函数图象间的关系
定理：函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f –1(x)图象关于直线y=x对称。
推论：点（a,b）关于直线y=x的对称点为（b,a）
十、 教学反思
一、教学过程
1.复习。
反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。
求出函数y＝x3的反函数。
2.新课。
先让学生用几何画板画出y＝x3的图象，学生纷纷动手，很快画出了函数的图象。有部分学生发出了“咦”的一声，因为他们得到了如下的图象（图1）：
教师在画出上述图象的学生中选定生1，将他的屏幕内容通过教学系统放到其他同学的屏幕上，很快有学生作出反应。
生2：这是y＝x3的反函数y＝的图象。
师：对，但是怎么会得到这个图象，请大家讨论。
（学生展开讨论，但找不出原因。）
师：我们请生1再给大家演示一下，大家帮他找找原因。
（生1将他的制作过程重新重复了一次。）
生3：问题出在他选择的次序不对。
师：哪个次序？
生3：作点B前，选择xA和xA3为B的坐标时，他先选择xA3，后选择xA，作出来的点的坐标为（xA3，xA），而不是（xA，xA3）。
师：是这样吗？我们请生1再做一次。
（这次生1在做的过程中，按xA、xA3的次序选择，果然得到函数y＝x3的图象。）
师：看来问题确实是出在这个地方，那么请同学再想想，为什么他采用了错误的次序后，恰好得到了y＝x3的反函数y＝的图象呢？
（学生再次陷入思考，一会儿有学生举手。）
师：我们请生4来告诉大家。
生4：因为他这样做，正好是将y＝x3上的点B（x，y）的横坐标x与纵坐标y交换，而y＝x3的反函数也正好是将x与y交换。
师：完全正确。下面我们进一步研究y＝x3的图象及其反函数y＝的图象的关系，同学们能不能看出这两个函数的图象有什么样的关系？
（多数学生回答可由y＝x3的图象得到y＝的图象，于是教师进一步追问。）
师：怎么由y＝x3的图象得到y＝的图象？
生5：将y＝x3的图象上点的横坐标与纵坐标交换，可得到y＝的图象。
师：将横坐标与纵坐标互换？怎么换？
（学生一时未能明白教师的意思，场面一下子冷了下来，教师不得不将问题进一步明确。）
师：我其实是想问大家这两个函数的图象有没有对称关系，有的话，是什么样的对称关系？
（学生重新开始观察这两个函数的图象，一会儿有学生举手。）
生6：我发现这两个图象应是关于某条直线对称。
师：能说说是关于哪条直线对称吗？
生6：我还没找出来。
（接下来，教师引导学生利用几何画板找出两函数图象的对称轴，画出如下图形，如图2所示：）
学生通过移动点A（点B、C随之移动）后发现，BC的中点M在同一条直线上，这条直线就是两函数图象的对称轴，在追踪M点后，发现中点的轨迹是直线y＝x。
生7：y＝x3的图象及其反函数y＝的图象关于直线y＝x对称。
师：这个结论有一般性吗？其他函数及其反函数的图象，也有这种对称关系吗？请同学们用其他函数来试一试。
（学生纷纷画出其他函数与其反函数的图象进行验证，最后大家一致得出结论：函数及其反函数的图象关于直线y＝x对称。）
还是有部分学生举手，因为他们画出了如下图象（图3）：
教师巡视全班时已经发现这个问题，将这个图象传给全班学生后，几乎所有人都看出了问题所在：图中函数y＝x2（x∈R）没有反函数，②也不是函数的图象。
最后教师与学生一起总结：
点（x，y）与点（y，x）关于直线y＝x对称；
函数及其反函数的图象关于直线y＝x对称。
二、反思与点评
1.在开学初，我就教学几何画板4.0的用法，在教函数图象画法的过程中，发现学生根据选定坐标作点时，不太注意选择横坐标与纵坐标的顺序，本课设计起源于此。虽然几何画板4.04中，能直接根据函数解析式画出图象，但这样反而不能揭示图象对称的本质，所以本节课教学中，我有意选择了几何画板4.0进行教学。
2.荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，数学学习过程中，可借助于生动直观的形象来引导人们的思想过程，但常常由于图形或想象的错误，使人们的思维误入歧途，因此我们既要借助直观，但又必须在一定条件下摆脱直观而形成抽象概念，要注意过于直观的例子常常会影响学生正确理解比较抽象的概念。
计算机作为一种现代信息技术工具，在直观化方面有很强的表现能力，如在函数的图象、图形变换等方面，利用计算机都可得到其他直观工具不可能有的效果；如果只是为了直观而使用计算机，但不能达到更好地理解抽象概念，促进学生思维的目的的话，这样的教学中，计算机最多只是一种普通的直观工具而已。
在本节课的教学中，计算机更多的是作为学生探索发现的工具，学生不但发现了函数与其反函数图象间的对称关系，而且在更深层次上理解了反函数的概念，对反函数的存在性、反函数的求法等方面也有了更深刻的理解。
当前计算机用于中学数学的主要形式还是以辅助为主，更多的是把计算机作为一种直观工具，有时甚至只是作为电子黑板使用，今后的发展方向应是：将计算机作为学生的认知工具，让学生通过计算机发现探索，甚至利用计算机来做数学，在此过程中更好地理解数学概念，促进数学思维，发展数学创新能力。
3.在引出两个函数图象对称关系的时候，问题设计不甚妥当，本来是想要学生回答两个函数图象对称的关系，但学生误以为是问如何由y＝x3的图象得到y＝的图象，以致将学生引入歧途。这样的问题在今后的教学中是必须力求避免的。
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