两角差的余弦公式（通用3篇）
课题：§3.1.1
【教学目标】
【知识与技能】
①了解两角差的余弦公式的推导；
②掌握两角差的余弦公式并能对公式进行初步的应用。
【过程与方法】
①经历大胆猜想---初步验证---理论证明---应用与拓展的数学化的过程让学生感受到知识的产生和发展；
②利用信息技术揭示单角的三角函数值与两角差的余弦值之间的关系，激发学生探究数学的积极性；
③培养学生获取数学知识、数学交流的能力；
【情感态度价值观】
①使学生体会联想转化、数形结合、分类讨论的数学思想；
②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度。
【教学重点、难点】
重点： 两角差余弦公式的探索和初步应用。
难点：探索过程的组织和引导。
【教学手段】用几何画板和powerpoint演示。
【教学流程】
创设问题情景，揭示课题
感知猜想
利用几何画板验证猜想
组织和引导学生共同合作探索公式
通过例题、练习，加强对公式的理解
回顾与反思
布置作业，引发其他公式的探究
【教学设计】
（一）创设问题情境，揭示课题
先让学生口答 的正弦余弦值，再提出
问题1. 有什么关系？
（ ）
问题2.对于a、b、c
（让学生讨论，老师归纳其讨论结果，并指出不成立。因为
）
问题3.对于任意角α、β，
（设计意图：由特殊问题引发一般问题，唤起学生解决问题的意识，抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。）
（二）感性认知，提出猜想
问题：如何用任意角α和β的正弦、余弦值来表示cos（α－β）？
虽然 但学生自然猜想到它们之间有一定的等量关系，于是让学生凭借直觉，发挥想象，将sinα、sinβ、cosα、cosβ随意组合，构造出结果的表示形式。
（三）验证猜想
借助几何画板，呈现猜想的式子，计算出cos（α－β）和各式子的值，发现当随意变换角度α和β时，总有cos（α－β）和
cosαcosβ+sinαsinβ的结果相等，所以猜测公式的形式可能是：
cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ
（第一组验证）
（第二组验证）
（设计意图：使学生看到现代化信息技术对探讨数学问题的帮助，从而引导学生在今后的学习和工作中能重视现代信息技术的应用。）
（四）联想转化、探索论证
让学生加强新旧知识的联系，寻找已有知识点的理论支持，选定探讨方法，适时提问，逐步引导，层层推进。
问题(1)刚才的验证可靠吗？为什么？
（不可靠，它并不能代表一般性）
问题(2)对于任意的α和β,你如何证明上式恒成立呢？你联想到哪些相关知识？
1.根据学生的回答，先利用向量来证明。
问题（3）你是如何联想到向量？用向量证明得先做哪些准备？
问题（4）在图中选择哪些向量，它们如何表示？
问题（5）如何利用向量的运算构造出等式的左右两边？
问题（6）证明是否严密？若有，请你补充。
（设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。）
2.利用学生对旧知识的联想提出利用三角函数线来证明。
让学生研读教材，并提出相应的问题，拓宽学生的思维。
问题（1）如何构造三角函数线来证明公式？
问题（2）证明前提是什么?证明完成了吗？
(是在三个角都是锐角的前提下证明的,不具备一般性)
问题（3）两种证明方法用的是哪一种数学思想方法？
问题（4）你认为哪一种方法好？
（设计意图：分化难点，突出重点，拓宽思维，养成研读教材，善于思考，善于提问，小组合作的好习惯）
3.分析公式结构特点，寻求简单记忆
(记作 ,谐音记忆为:烤烤晒晒符号反)
【拓展与应用】
1. 利用差角余弦公式求 的值
（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）
2.
（让学生结合公式 ，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。并使学生体会到思维的有序性和表达的条理性是三角变换的基本要求。）
变式：去掉α的范围，对结果有影响吗？
（提醒学生注意三角函数的符号问题，并培养学生分类讨论的思想）
3.①求 的值
②求 的值
③求 的值
（设置题目由简单到复杂，由具体角度到任意角，培养学生的灵活变换能力和逆向思维能力）
4.
（让学生结合公式 ，明确需要先求哪些三角函数值，可使问题得到解决。）
（让学生自主练习，收集学生的解法，对比点评，培养学生对角进行拆分，构造出差角，灵活运用公式）
变式二：
（巩固对角的拆分，突出灵活的重要性）
（例题和习题的设计意图：通过基础训练和变式训练，加强学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）
【回顾与反思】
1. 回顾公式的推导过程，让学生口述并辅以简单的流程图。
2.体会其中蕴涵的数学思想。
3.你在公式的推导过程中有什么启发和感受？
4.公式的应用过程中应该注意什么问题，你有什么体会？
(设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式的推导和应用过程的理解，促进知识的内化。)
【设置作业和思考题】.
作业: 的1,4题
思考:你能利用如何用cos (α－β)继续探究α±β的三角函数？
(设计意图：巩固本节课的知识,并根据本节课所讲的知识提出问题，而用下一节课要学的知识解决问题作为课堂教学的结束，使新旧知识建立联系，给学生留下悬念。使学生在探索学习的过程中，充满好奇心和兴趣，充分调动了学生的主观能动性。)
对数函数及其性质
一.教学目标
1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用.
2.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力.
3.通过观察指数函数与对数函数在图象，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性.
二.教材分析
对数函数是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过指数函数、对数与对数运算基础上引入的.故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础.
教学重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质.
教学难点：类比指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质。
三：教法建议
(1) 对数函数及其性质在引入前，就应让学生回顾的指数函数及其性质得来的整个过程，让学生通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，从而了解知识的共性以及一般的认知规律。在画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质.
(2) 在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地类比指数函数引导学生思考.这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣.
四.教学方法
启发研讨式
五.学情分析
所教学生中考分数普遍偏低，基础较薄弱，探究能力也较弱，但求知欲旺盛，课堂很活跃，需要授课时主次分明、逻辑清晰，提问明确，对于难点要放慢节奏，适时引导并保留一定的时间供学生消化、揣摩、反思、讨论，对于个别学生还需点拨、辅导，巩固练习要重基础知识，讲究一题多变，借以提高学生的应变能力。
六.教学过程
（一） 引入新课
师:从p63的例8我们知道经过的年数与人口的关系为人口=13×1.XX年数,若知道年数我们就可以利用指数函数的模型来求人口,如20年后人口=13×1.0120≈16亿,但若知道人口为18亿要你预测年数的时候又怎么求呢?
（以提问的形式引入新课，让学生很快进入思考的状态，努力寻求解决问题的方法，同时也让学生意识到新旧知识的联系，以及明确数学知识很大程度上是由问题引发和拓展的。）
生:可以用我们刚学过的对数的运算来求,即年数=
师:若给出任意的人口数能否求出对应的年数呢?
生:把 当作x,把年数当作y,则有y=log1.01x,利用这个关系式就可以知道任意的x均有唯一的y与之对应.
师:很好,这就是我们今天要学的对数函数.
类比指数函数总结定义：一般地,函数y=logax(a＞0,且a≠1)叫做对数函数。
在回顾研究指数函数的图象和性质的基础上，我们将一起来研究对数函数的图象与性质.
二.对数函数的图像与性质
1. 作图方法
由于指数函数的图象按 和 分成两种不同的类型，故对数函数的图象也应以1为分界线分成两种情况 和 ，并分别以① 和 ， ② 和 为例画两组图.
（让学生通过自己动手画同底的指数函数和对数函数，一方面可以帮助学生建立两者的联系和寻求差异的意识，另一方面也为了提高学生的作图能力和探究能力。）
具体操作时，先画出第①组的图象，要求学生做到：
(1) 先列表再作图，指数函数 的图象要尽量准确(关键点的位置，图象的变化趋势等).如：
……
（（—2， ）
（—1， ）
（0，1）
（1，2）
（2，4）
（3，8）
……
……
（ ，—2）
（ ，—1）
（1，0）
（2，1）
（4，2）
（8，3）
……
从上表中，我们发现了什么现象，反映在图象上又会发现什么？
(2) 画出直线 ，观察同一坐标中的图象的位置有什么关系？
结论：同底的指数函数和对数函数，关于y=x对称。
(3) 利用第(2)的结论猜想要画第②组的图象，除了描点法还有其它什么方法？
（此时分两组，第一组的同学采用列表描点法作图，第二组的同学采用对称的方法作图。）
学生在画图本上完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出
和 的图像.(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：
2. 草图.
教师画完图后再利用投影仪将 和 的图象画在同一坐标系内，如图：
然后提出让学生根据图象说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)
3. 性质
(1) 定义域：
(2) 值域：
由以上两条可说明图象位于 轴的右侧.
(3) 截距：令 得 ，即在 轴上的截距为1，与 轴无交点即以 轴为渐近线.
(4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于 轴对称.
(5) 单调性：与 有关.当 时，在 上是增函数.即图象是上升的
当 时，在 上是减函数，即图象是下降的.
之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：
当 时，有 ；当 时，有 .
最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图.且应将其性质与指数函数的性质对比记忆.(特别强调它们单调性的一致性)
对图象和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用.
三.简单应用
1. 研究相关函数的性质
例7. 求下列函数的定义域：
(1) (2)
先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制.
2. 利用单调性比较大小
例8. 比较下列各组数的大小
（1） log23.4 , log28.5 ； (2) log0.33.4 , log0.38.5
(3) loga3.4 loga8.5 .
让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小.最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程.
扩展：比较 log0.30.4 , log20.5的大小
此时底数不一样，该如何比较？
提示：如何比较0.30.4和20.5的大小
结论:当底数不同的时候,同样可以插入中间量(1,0)或作图描点比高低的方法来比较大小.
3.巩固练习
若 ，求 的取值范围.
四.小结
知识点：理解对数函数的定义，重点掌握其图象和性质。
能力点：函数的作图、观察、分析能力和类比研究能力。
方法点：领会对称方法；对比、类比方法；数形结合方法。
五.作业 略
六.探究活动
(1) 指数函数当底数均大于1时,底数越大的图象越靠近y轴,那在对数函数中会发生什么变化?
(2) 指数函数当底数均小于1时,底数越大的图象越远离y轴,那在对数函数中会发生什么变化?
七.教学反思
本节课重点、难点把握很好，逻辑清楚，尤其是新旧知识的联系处理到位，从学生熟悉的指数函数出发不断地以旧带新，一方面让学生掌握知识的联系和共性，一方面也帮助学生建立一个学生知识的框架和线条。在探索对数函数的图象和性质的时候，让学生自己动手列表描点，在列表的过程中发现所列的点的横坐标和纵坐标恰好相反，在这个基础上又生成新的问题，激发学生通过作图来发现这样的两个点实质上是关于y=x对称，从而也得出同底的对数函数和指数函数也是关于y=x对称，在这个基础上作出下一组图的时候就可以利用这个结论快速作图。最后仿照指数函数在同一坐标中画出 和 ，再通过观察图象让学生自己总结出对数函数的性质，做到不死记硬背，而是脑中有图.且应将其性质与指数函数的性质对比记忆.不足的地方是给学生作图的时间较少，没有完全放开，对于学生基础较好的可以适当加快上课的进程。
两角差的余弦公式
【使用说明】 1、复习教材P124-P127页，40分钟时间完成预习学案
2、有余力的学生可在完成探究案中的部分内容。
【学习目标】
知识与技能：理解两角差的余弦公式的推导过程及其结构特征并能灵活运用。
过程与方法：应用已学知识和方法思考问题，分析问题，解决问题的能力。
情感态度价值观： 通过公式推导引导学生发现数学规律，培养学生的创新意识和学习数学的兴趣。
.【重点】通过探索得到两角差的余弦公式以及公式的灵活运用
【难点】两角差余弦公式的推导过程
预习自学案
一、知识链接
1. 写出 的三角函数线 ：
2. 向量 , 的数量积,
①定义：
②坐标运算法则：
3. ， ，那么 是否等于 呢?
下面我们就探讨两角差的余弦公式
二、教材导读
1.、两角差的余弦公式的推导思路
如图,建立单位圆O
(1)利用单位圆上的三角函数线
设
则
又OM=OB+BM
=OB+CP
=OA_____ +AP_____
=
从而得到两角差的余弦公式：
____________________________________
(2)利用两点间距离公式
如图，角 的终边与单位圆交于A( )
角 的终边与单位圆交于B( )
角 的终边与单位圆交于P( )
点T( )
AB与PT关系如何?
从而得到两角差的余弦公式：
____________________________________
(3) 利用平面向量的知识
用 表示向量 ，
=( , ) =( , )
则 . =
设 与 的夹角为
①当 时:
=
从而得出
②当 时显然此时 已经不是向量 的夹角，在 范围内，是向量夹角的补角.我们设夹角为 ，则 + =
此时 =
从而得出
2、两角差的余弦公式
____________________________
三、预习检测
1. 利用余弦公式计算 的值.
2. 怎样求 的值
你的疑惑是什么?
________________________________________________________
______________________________________________________
探究案
例1. 利用差角余弦公式求 的值.
例2.已知 ， 是第三象限角，求 的值.
训练案
一、 基础训练题
1、
2、 ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬
3、
二、综合题
--------------------------------------------------
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