平行线的判定（通用12篇）
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，理解判定定理的证法.
2.掌握平行线的第二个判定定理，会用判定公理及定理进行简单的推理论证.
3.通过第二个判定定理的推导，培养学生分析问题、进行推理的能力.
4.使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的的教育.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：积极参与、主动发现、发展思维.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
判定定理的推导和例题的解答.
（二）难点
使用符号语言进行推理.
（三）解决办法
1.通过教师正确引导，学生积极思维，发现定理，解决重点.
2.通过教师指导，学生自行完成推理过程，解决难点及疑点.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
三角板、投影仪、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.通过设计练习，复习基础，创造情境，引入新课.
2.通过教师指导，学生探索新知，练习巩固，完成新授.
3.通过学生自己总结完成小结.
七、教学步骤
（一）明确目标
掌握平行线的第二个定理的推理，并能运用其进行简单的证明，培养学生的逻辑思维能力.
（二）整体感知
以情境创设，设计悬念，引出课题，以引导学生的思维，发现新知，以变式训练巩固新知.
（三）教学过程
创设情境，复习引入
师：上节课我们学习了公理和一种判定方法，根据所学看下面的问题（出示投影）. 1.如图1所示，直线 、 被直线 所截，如果 ，那么 ，为什么？
2.如图2，如果 ，那么 ，为什么？
图1 图2
3.如图3，直线 、 被直线 所截.（1）如果 ，那么 ，为什么？
（2）如果 ，那么 ，为什么？
4.如图4，一个弯形管道 的拐角 ， ，这时管道 、 平行吗？
图3 图4
学生活动：学生口答第1、2题.
师：你能说出有什么条件，就可以判定两条直线平行呢？
学生活动：由第l、2题，学生思考分析，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行.
教师将第3题图形画在黑板上.
学生活动：学生口答理由，同角的补角相等.
师：要求学生写出符号推理过程，并板书.
［板书］∵ （已知），
（邻补角定义），
∴ （同角的补角相等）.
（以备后面推导判定定理使用.）
【教法说明】本节课是前一节课的继续，是在前一节课的基础上进行学习的，所以通过第1、2两题复习上节课所学平行线判定的两个方法，使学生明确，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行.第3题是为推导本节到定定理做铺垫，即如果同旁内角互补，则可以推出同位角相等，也可以推出内错角相等，为定理的推理论证，分散了难点.
师：第4题是一个实际问题，题目中已知的两个角是什么位置关系角？
学生活动：同分内角.
师：它们有什么关系.
学生活动：互补.
师：这个问题就是知道同分内角互补了，那么两条直线是不是平行的呢？这就是这节课我们要研究的问题.
［板书］2.5 （2）
教师再加上这一步即可）.
由此你能得到什么结论？
学生活动：学生思索后回答出，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（学生语言不规范，注意纠正）.
师：也就是说，我们又得到了一种方法，我们把它简单说成：
［板书］同旁内角互补，两直线平行.
【教法说明】由于复习引入第3题为定理的推导做好了铺垫，所以学生并不难接受推理过程，放手由学生总结出判定方法，注意培养学生的归纳总结能力，另外在叙述判定方法时，训练学生用准确、规范的几何语言.
师：请同学们思考，刚才我们由同旁内角互补，推导两条直线平行，除了上面的推理过程，有没有其他途径？怎样写推理格式？
学生活动：学生思考，对照复习提问第3题的第2问很快地找到另一种途径，并在练习本上写出推理格式，找一个学生在原来黑板上的板书基础上完成.
【教法说明】通过使用不同种方法的推理，不仅开拓学生思维，同时也能够让学生尽可能地使用推理，从而使学生掌握推理格式的书写.
尝试反过，巩固练习
师：有了这种判定方法，我们就可以由同旁内角互补，直接判定两条直线平行了，让我们回到复习提问的第4题，管道 、 平行吗？为什么？
学生活动：平行，因为同旁内角互补，两直线平行.
【教法说明】不仅解决了前面遗留的问题，同时巩固了所学新知识.
师：下面我们一起应用这种判定方法再来研究一些题目（出示投影）.
练习：
1.如图1，量得，，可以判定，它的根据是什么？
图1 图2
2.如图2，已知， 与 互补，可以判定哪两条直线平行？ 与哪个角互补，可以判定直线 ？
【教法说明】这组练习进一步对判定方法加以巩固，第2题的第2问是根据给出的结果，找它成立的条件，是执果索因，学生应该没有什么困难，教师不必多讲，但要注意第2问中出现答 与 互补这类错误时，要结合图形让学生弄清是哪两条直线被哪两条直线所截.
例题讲解
师：我们学习了三种方法，在具体题目中如何选择应用它们来解决问题呢？下面我们看例题（出示投影）.
例 两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？
师：这个题目相当于文字题，解答时应根据题意画出图形（如图3），同时为了叙述方便，还要在图形上标出需要的字母或符号.
图3
学生活动：学生分析题意，按所说画出相应的图形.
师：我们要判定两条直线是否平行，应先想什么？可以讨论.
学生活动：讨论后答出，先想学过哪些判定平行线的方法.
师：再看已知条件与哪一种方法的条件相同或有关，思考时注意图形，按老师所标直角符号，回答问题.
学生活动：学生认真观察，积极思考后，踊跃回答.
教师给出规范的板书，答：垂直于同一条直线的两条直线平行.
理由：如图3， ， .
∵ ， （已知），
∴ （垂直的定义）.
∴ （同位角相等，两直线平行）.
师：这是两步推理，两个“∵”之间省略的一个“∴”，是什么内容？
学生活动：∵ （已证）.
【教法说明】教师在讲解时，注意后发学生，引导学生形成正确的思维，从而学会分析问题，提高解题能力.
师：想一想，能不能利用内错角相等，或者同旁内角互补，来说明 呢？图形中的符号怎样改动？模仿例题说出理由
学生活动：学生思考，并在练习本上写出理由，请两名同学到黑板上去做，形成板书：
图4
理由：如图4， ， .
∵ ， （已知），∴ （垂直的定义）.
∴ （内错角相等，两直线平行）.
理由：如图5， ， .
∵ ， （已知），
图5
∴ （垂直的定义）.
∴ （同旁内角互补，两直线平行）.
【教法说明】一题多解既巩固所学知识，同时培养了学生的发散思维，提高了学生的解 题能力.
变式训练，培养能力
练习（出示投影）：
1.如图6，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线平行吗？为什么？
2.如图7，如何判断这块玻璃板的上下两边平行？
图6 图7
学生活动：学生思考，给出第1题的答案为两条垂线平行.因为画出的两条线都垂直于工件边缘，也就是说，相交成直角，根据同位角相等（或内错角相等或同旁内角互补），两直线平行；对于第2题需要添出截线，然后有三种方法来判断.
【教法说明】这两个题目都是实际问题，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力尤其是第2题，我们判定两条直线是否平行，必须根据被第三条直线截出的三种位置的关系角的大小来判定，通过此题，让学生进一步理解平行线的三种判定方法及应用.
（四）总结、扩展
师：我们学习了几种判定两条直线平行的方法.
学生活动：学生自己总结归纳完成下表.
判定
文字叙述
符号语言
图形
第一种
同位角相等，两直线平行
∵ （已知），
∴ ( ).
第二种
内错角相等，两直线平行
∵ （已知），
∴ ( ).
第三种
同旁内角互补，两直线平行
∵（已知，）∴ ( ).
八、布置作业
课本第97～98页A组第 6（3）、7、8题.
作业 答案
6.（3）可判定 .根据同旁内角互补，两直线平行.
7.（1） 同位角相等，两直线平行.
（2） 内错角相等，两直线平行.
（3） 同旁内角互补，两直线平行.
8.（1） 同位角相等，两直线平行.
（2） 内错角相等，两直线平行.
（3） 内错角相等，两直线平行.
（4） 内错角相等，两直线平行.
（5） 同旁内角互补，两直线平行.
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，理解判定定理的证法.
2.掌握平行线的第二个判定定理，会用判定公理及定理进行简单的推理论证.
3.通过第二个判定定理的推导，培养学生分析问题、进行推理的能力.
4.使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的的教育.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：积极参与、主动发现、发展思维.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
判定定理的推导和例题的解答.
（二）难点
使用符号语言进行推理.
（三）解决办法
1.通过教师正确引导，学生积极思维，发现定理，解决重点.
2.通过教师指导，学生自行完成推理过程，解决难点及疑点.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
三角板、投影仪、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.通过设计练习，复习基础，创造情境，引入新课.
2.通过教师指导，学生探索新知，练习巩固，完成新授.
3.通过学生自己总结完成小结.
七、教学步骤
（一）明确目标
掌握平行线的第二个定理的推理，并能运用其进行简单的证明，培养学生的逻辑思维能力.
（二）整体感知
以情境创设，设计悬念，引出课题，以引导学生的思维，发现新知，以变式训练巩固新知.
（三）教学过程
创设情境，复习引入
师：上节课我们学习了公理和一种判定方法，根据所学看下面的问题（出示投影）. 1.如图1所示，直线 、 被直线 所截，如果 ，那么 ，为什么？
2.如图2，如果 ，那么 ，为什么？
图1 图2
3.如图3，直线 、 被直线 所截.（1）如果 ，那么 ，为什么？
（2）如果 ，那么 ，为什么？
4.如图4，一个弯形管道 的拐角 ， ，这时管道 、 平行吗？
图3 图4
学生活动：学生口答第1、2题.
师：你能说出有什么条件，就可以判定两条直线平行呢？
学生活动：由第l、2题，学生思考分析，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行.
教师将第3题图形画在黑板上.
学生活动：学生口答理由，同角的补角相等.
师：要求学生写出符号推理过程，并板书.
［板书］∵ （已知），
（邻补角定义），
∴ （同角的补角相等）.
（以备后面推导判定定理使用.）
【教法说明】本节课是前一节课的继续，是在前一节课的基础上进行学习的，所以通过第1、2两题复习上节课所学平行线判定的两个方法，使学生明确，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行.第3题是为推导本节到定定理做铺垫，即如果同旁内角互补，则可以推出同位角相等，也可以推出内错角相等，为定理的推理论证，分散了难点.
师：第4题是一个实际问题，题目中已知的两个角是什么位置关系角？
学生活动：同分内角.
师：它们有什么关系.
学生活动：互补.
师：这个问题就是知道同分内角互补了，那么两条直线是不是平行的呢？这就是这节课我们要研究的问题.
［板书］2.5 （2）
图1 图2
2.如图2，已知， 与 互补，可以判定哪两条直线平行？ 与哪个角互补，可以判定直线 ？
【教法说明】这组练习进一步对判定方法加以巩固，第2题的第2问是根据给出的结果，找它成立的条件，是执果索因，学生应该没有什么困难，教师不必多讲，但要注意第2问中出现答 与 互补这类错误时，要结合图形让学生弄清是哪两条直线被哪两条直线所截.
例题讲解
师：我们学习了三种方法，在具体题目中如何选择应用它们来解决问题呢？下面我们看例题（出示投影）.
例 两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？
师：这个题目相当于文字题，解答时应根据题意画出图形（如图3），同时为了叙述方便，还要在图形上标出需要的字母或符号.
图3
学生活动：学生分析题意，按所说画出相应的图形.
师：我们要判定两条直线是否平行，应先想什么？可以讨论.
学生活动：讨论后答出，先想学过哪些判定平行线的方法.
师：再看已知条件与哪一种方法的条件相同或有关，思考时注意图形，按老师所标直角符号，回答问题.
学生活动：学生认真观察，积极思考后，踊跃回答.
教师给出规范的板书，答：垂直于同一条直线的两条直线平行.
理由：如图3， ， .
∵ ， （已知），
∴ （垂直的定义）.
∴ （同位角相等，两直线平行）.
师：这是两步推理，两个“∵”之间省略的一个“∴”，是什么内容？
学生活动：∵ （已证）.
【教法说明】教师在讲解时，注意后发学生，引导学生形成正确的思维，从而学会分析问题，提高解题能力.
师：想一想，能不能利用内错角相等，或者同旁内角互补，来说明 呢？图形中的符号怎样改动？模仿例题说出理由
学生活动：学生思考，并在练习本上写出理由，请两名同学到黑板上去做，形成板书：
图4
理由：如图4， ， .
∵ ， （已知），∴ （垂直的定义）.
∴ （内错角相等，两直线平行）.
理由：如图5， ， .
∵ ， （已知），
图5
∴ （垂直的定义）.
∴ （同旁内角互补，两直线平行）.
【教法说明】一题多解既巩固所学知识，同时培养了学生的发散思维，提高了学生的解 题能力.
变式训练，培养能力
练习（出示投影）：
1.如图6，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线平行吗？为什么？
2.如图7，如何判断这块玻璃板的上下两边平行？
图6 图7
学生活动：学生思考，给出第1题的答案为两条垂线平行.因为画出的两条线都垂直于工件边缘，也就是说，相交成直角，根据同位角相等（或内错角相等或同旁内角互补），两直线平行；对于第2题需要添出截线，然后有三种方法来判断.
【教法说明】这两个题目都是实际问题，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力尤其是第2题，我们判定两条直线是否平行，必须根据被第三条直线截出的三种位置的关系角的大小来判定，通过此题，让学生进一步理解平行线的三种判定方法及应用.
（四）总结、扩展
师：我们学习了几种判定两条直线平行的方法.
学生活动：学生自己总结归纳完成下表.
判定
文字叙述
符号语言
图形
第一种
同位角相等，两直线平行
∵ （已知），
∴ ( ).
第二种
内错角相等，两直线平行
∵ （已知），
∴ ( ).
第三种
同旁内角互补，两直线平行
∵（已知，）∴ ( ).
八、布置作业
课本第97～98页A组第 6（3）、7、8题.
作业 答案
6.（3）可判定 .根据同旁内角互补，两直线平行.
7.（1） 同位角相等，两直线平行.
（2） 内错角相等，两直线平行.
（3） 同旁内角互补，两直线平行.
8.（1） 同位角相等，两直线平行.
（2） 内错角相等，两直线平行.
（3） 内错角相等，两直线平行.
（4） 内错角相等，两直线平行.
（5） 同旁内角互补，两直线平行.
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，理解判定定理的证法.
2.掌握平行线的第二个判定定理，会用判定公理及定理进行简单的推理论证.
3.通过第二个判定定理的推导，培养学生分析问题、进行推理的能力.
4.使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的的教育.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：积极参与、主动发现、发展思维.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
判定定理的推导和例题的解答.
（二）难点
使用符号语言进行推理.
（三）解决办法
1.通过教师正确引导，学生积极思维，发现定理，解决重点.
2.通过教师指导，学生自行完成推理过程，解决难点及疑点.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
三角板、投影仪、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.通过设计练习，复习基础，创造情境，引入新课.
2.通过教师指导，学生探索新知，练习巩固，完成新授.
3.通过学生自己总结完成小结.
七、教学步骤
（一）明确目标
掌握平行线的第二个定理的推理，并能运用其进行简单的证明，培养学生的逻辑思维能力.
（二）整体感知
以情境创设，设计悬念，引出课题，以引导学生的思维，发现新知，以变式训练巩固新知.
（三）教学过程
创设情境，复习引入
师：上节课我们学习了公理和一种判定方法，根据所学看下面的问题（出示投影）. 1.如图1所示，直线 、 被直线 所截，如果 ，那么 ，为什么？
2.如图2，如果 ，那么 ，为什么？
图1 图2
3.如图3，直线 、 被直线 所截.（1）如果 ，那么 ，为什么？
（2）如果 ，那么 ，为什么？
4.如图4，一个弯形管道 的拐角 ， ，这时管道 、 平行吗？
图3 图4
学生活动：学生口答第1、2题.
师：你能说出有什么条件，就可以判定两条直线平行呢？
学生活动：由第l、2题，学生思考分析，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行.
教师将第3题图形画在黑板上.
学生活动：学生口答理由，同角的补角相等.
师：要求学生写出符号推理过程，并板书.
［板书］∵ （已知），
（邻补角定义），
∴ （同角的补角相等）.
（以备后面推导判定定理使用.）
【教法说明】本节课是前一节课的继续，是在前一节课的基础上进行学习的，所以通过第1、2两题复习上节课所学平行线判定的两个方法，使学生明确，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行.第3题是为推导本节到定定理做铺垫，即如果同旁内角互补，则可以推出同位角相等，也可以推出内错角相等，为定理的推理论证，分散了难点.
师：第4题是一个实际问题，题目中已知的两个角是什么位置关系角？
学生活动：同分内角.
师：它们有什么关系.
学生活动：互补.
师：这个问题就是知道同分内角互补了，那么两条直线是不是平行的呢？这就是这节课我们要研究的问题.
［板书］2.5 （2）
图1 图2
2.如图2，已知， 与 互补，可以判定哪两条直线平行？ 与哪个角互补，可以判定直线 ？
【教法说明】这组练习进一步对判定方法加以巩固，第2题的第2问是根据给出的结果，找它成立的条件，是执果索因，学生应该没有什么困难，教师不必多讲，但要注意第2问中出现答 与 互补这类错误时，要结合图形让学生弄清是哪两条直线被哪两条直线所截.
例题讲解
师：我们学习了三种方法，在具体题目中如何选择应用它们来解决问题呢？下面我们看例题（出示投影）.
例 两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？
师：这个题目相当于文字题，解答时应根据题意画出图形（如图3），同时为了叙述方便，还要在图形上标出需要的字母或符号.
图3
学生活动：学生分析题意，按所说画出相应的图形.
师：我们要判定两条直线是否平行，应先想什么？可以讨论.
学生活动：讨论后答出，先想学过哪些判定平行线的方法.
师：再看已知条件与哪一种方法的条件相同或有关，思考时注意图形，按老师所标直角符号，回答问题.
学生活动：学生认真观察，积极思考后，踊跃回答.
教师给出规范的板书，答：垂直于同一条直线的两条直线平行.
理由：如图3， ， .
∵ ， （已知），
∴ （垂直的定义）.
∴ （同位角相等，两直线平行）.
师：这是两步推理，两个“∵”之间省略的一个“∴”，是什么内容？
学生活动：∵ （已证）.
【教法说明】教师在讲解时，注意后发学生，引导学生形成正确的思维，从而学会分析问题，提高解题能力.
师：想一想，能不能利用内错角相等，或者同旁内角互补，来说明 呢？图形中的符号怎样改动？模仿例题说出理由
学生活动：学生思考，并在练习本上写出理由，请两名同学到黑板上去做，形成板书：
图4
理由：如图4， ， .
∵ ， （已知），∴ （垂直的定义）.
∴ （内错角相等，两直线平行）.
理由：如图5， ， .
∵ ， （已知），
图5
∴ （垂直的定义）.
∴ （同旁内角互补，两直线平行）.
【教法说明】一题多解既巩固所学知识，同时培养了学生的发散思维，提高了学生的解 题能力.
变式训练，培养能力
练习（出示投影）：
1.如图6，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线平行吗？为什么？
2.如图7，如何判断这块玻璃板的上下两边平行？
图6 图7
学生活动：学生思考，给出第1题的答案为两条垂线平行.因为画出的两条线都垂直于工件边缘，也就是说，相交成直角，根据同位角相等（或内错角相等或同旁内角互补），两直线平行；对于第2题需要添出截线，然后有三种方法来判断.
【教法说明】这两个题目都是实际问题，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力尤其是第2题，我们判定两条直线是否平行，必须根据被第三条直线截出的三种位置的关系角的大小来判定，通过此题，让学生进一步理解平行线的三种判定方法及应用.
（四）总结、扩展
师：我们学习了几种判定两条直线平行的方法.
学生活动：学生自己总结归纳完成下表.
判定
文字叙述
符号语言
图形
第一种
同位角相等，两直线平行
∵ （已知），
∴ ( ).
第二种
内错角相等，两直线平行
∵ （已知），
∴ ( ).
第三种
同旁内角互补，两直线平行
∵（已知，）∴ ( ).
八、布置作业
课本第97～98页A组第 6（3）、7、8题.
作业 答案
6.（3）可判定 .根据同旁内角互补，两直线平行.
7.（1） 同位角相等，两直线平行.
（2） 内错角相等，两直线平行.
（3） 同旁内角互补，两直线平行.
8.（1） 同位角相等，两直线平行.
（2） 内错角相等，两直线平行.
（3） 内错角相等，两直线平行.
（4） 内错角相等，两直线平行.
（5） 同旁内角互补，两直线平行.
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构：
由平行线的画法，引出公理（同位角相等，两直线平行）.由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.
(2)重点、难点分析 ：
本节的重点是：公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础.
本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.
2、教学建议
在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”
教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.
公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.
教学设计示例1
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：独立思考，主动发现.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
（二）难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
（三）解决办法
1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.
2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题，复习旧知，引入新知.
2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.
3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
（－）明确目标
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构：
由平行线的画法，引出公理（同位角相等，两直线平行）.由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.
(2)重点、难点分析 ：
本节的重点是：公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础.
本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.
2、教学建议
在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”
教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.
公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.
教学设计示例1
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：独立思考，主动发现.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
（二）难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
（三）解决办法
1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.
2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题，复习旧知，引入新知.
2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.
3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
（－）明确目标
掌握平行线判定公理和第一个判定定理及运用其进行简单的推理论证.
（二）整体感知
以情境设计，引出课题，以模型演示，引导学生观察，、分析、总结，讲授新知，以变式训练巩固新知，在整节课中，较充分地体现了逻辑推理.
（三）教学过程
创设情境，引出课题
师：上节课我们学习了平行线、平行公理及推论，请同学们判断下列语句是否正确，并说明理由（出示投影）.
1.两条直线不相交，就叫平行线.
2.与一条直线平行的直线只有一条.
3.如果直线 、 都和 平行，那么 、 就平行.
学生活动：学生口答上述三个问题.
【教法说明】通过三个判断题，使学生回顾上节所学知识，第1题在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”，第2题不仅回顾平行公理，同时使学生认识学习几何，语言一定要准确、规范，同一问题在不同条件下，就有不同的结论，第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生，它也是判定两条直线平行的方法.
师：测得两条直线相交，所成角中的一个是直角，能判定这两条直线垂直吗？根据什么？
学生：能判定垂直，根据垂直的定义.
师：在同一平面内不相交的两条直线是平行线，你有办法测定两条直线是平行线吗？
学生活动：学生思考，如何测定两条直线是否平行？
教师在学生思考未得结论的情况下，指出不能直接利用手行线的定义来测定两条直线是否平行，必须找其他可以测定的方法，有什么方法呢？
学生活动：学生思考，在前面复习平行公理推论的情况下，有的学生会提出，再作一条直线 ，让 ，再看 是否平行于 就可以了.
师：这种想法很好，那么，如何作 ，使它与 平行？若作出 后，又如何判断 是否与 平行？
学生活动：学生思考老师的提问，意识到刚才的回答，似是而非，不能解决问题.
师：显然，我们的问题没有得到解决，为此我们来寻找另外一些判定方法，就是今天我们要学习的（板书课题）.
［板书］2.5（1）.
【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直，学生自然想到要用平行线定义来判断，但我们无法测定直线是否不相交，也就不能利用定义来判断.这时，学生会考虑平行公理推论，此时教师只须简单地追问，就让学生弄清问题未能解决，由此引入新课内容.
探究新知，讲授新课
教师给出像课本第78页图2–20那样的两条直线被第三条直线所截的模型，转动 ，让学生观察， 转动到不同位置时， 的大小有无变化，再让 从小变大，说出直线 与 的位置关系变化规律.
【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考、总结出结论.
图1
学生活动： 转动到不同位置时， 也随着变化，当 从小变大时，直线 从原来在右边与直线 相交，变到在左边与 相交.
师：在这个过程中，存在一个与 不相交即与 平行的位置，那么 多大时，直线 呢？也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系.
师：下面先请同学们回忆平行线的画法，过直线 外一点 画 的平行线 .
学生活动：学生在练习本上完成，教师在黑板上演示（见图1）.
师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么？
图2
学生：保证了两个同位角相等.
师：由此你能得到什么猜想？
学生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行.
师：我们的猜想正确吗？会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢？
教师用计算机演示运动变化过程.在观察实验之前，让学生看清 角和 角（如图2），而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论.
学生活动：学生观察、讨论、分析.
总结了，当 时， 不平行 ，而无论 取何值，只要 ， 、 就平行.
图3
教师引导学生自己表达出结论，并告诉学生这个结论称为公理.
［板书］两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
即：∵ （已知见图3），
∴ （同位角相等，两直线平行）.
【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动—变化过程，让学生确信公理的正确.尝试反馈，巩固练习（出示投影）.
图4
1.如图4， ， ， 吗？
2. ，当 时，就能使 .
【教法说明】这两个题目旨在巩固所学的判定公理，对于第2题是已知结论，找出使它成立的题设，这是证明问题时应掌握的一种思考方法，要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思考方法，教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想.
（出示投影）
直线 、 被直线 所截.
图5
1.见图5，如果 ，那么 与 有什么关系？
2. 与 有什么关系？
3. 与 是什么位置关系的一对角？
学生活动：学生观察，思考分析，给出答案： 时， ， 与 相等， 与 是内错角.
师： 与 满足什么条件，可以得到 ？为什么？
学生活动： ，因为 ，通过等量代换可以得到 .
师： 时，你进而可以得到什么结论？
学生活动： .
师：由此你能总结出什么正确结论？
学生活动：内错角相等，两直线平行.
师：也就是说，我们得到了判定两直线平行的另一个方法：
［板书］两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法，引导学生自己去发现角之间的关系，进而归纳总结出结论，主要采用探讨问题的方式，能够培养学生积极思考、善于动脑分析的良好学习习惯.
师：上面的推理过程，可以写成
∵ （已知），
（对顶角相等），
∴ .
［∵ （已证）］，
∴ （同位角相等，两直线平行）.
【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说，这样才能使学生大胆尝试，培养他们勇于进取的精神.
教师指出：方括号内的“∵ ”，就是上面刚刚得到的“∴ ”，在这种情况下，方括号内这一步可以省略.
尝试反馈，巩固练习（出示投影）
1.如图1，直线 、 被直线 所截.
（1）量得 ， ，就可以判定 ，它的根据是什么？
（2）量得 ， ，就可以判定 ，它的根据是什么？
2.如图2， 是 的延长线，量得 .
（1）从 ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？
（2）从 ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？
图1 图2
学生活动：学生口答.
【教法说明】这组题旨在巩固公理和判定方法的掌握，使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题.
变式训练，培养能力
（出示投影）
1.如图3所示，由 ，可判断哪两条直线平行？由 ，可判断哪两条直线平行？
2.如图4，已知 ， ， 吗？为什么？
图3 图4
学生活动：学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出答案.
【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形，加强识图能力，同时培养学生的发散思维，也就是培养学生从多角度、全方位考虑问题，从而得到一题多解.提高了学生的解题能力.
（四）总结扩展
2.结合判一定理的证明过程，熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式.
八、布置作业
课本第97页习题2.2A组第4、5、6（1）（2）题.
作业 答案
4.当 时，就能使 .
5.（1）从 ，推出 ，根据同位角相等，两直线平行.
（2）从 ，推出 ，根据内错角相等，两直线平行.
6.（1）可断定 ，根据同位角相等，两直线平行.
（2）可断定 ，根据内错角相等，两直线平行.
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构：
由平行线的画法，引出公理（同位角相等，两直线平行）.由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.
(2)重点、难点分析 ：
本节的重点是：公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础.
本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.
2、教学建议
在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”
教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.
公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.
教学设计示例1
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：独立思考，主动发现.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
（二）难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
（三）解决办法
1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.
2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题，复习旧知，引入新知.
2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.
3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
（－）明确目标
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构：
由平行线的画法，引出公理（同位角相等，两直线平行）.由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.
(2)重点、难点分析 ：
本节的重点是：公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础.
本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.
2、教学建议
在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”
教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.
公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.
教学设计示例1
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：独立思考，主动发现.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
（二）难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
（三）解决办法
1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.
2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题，复习旧知，引入新知.
2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.
3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
（－）明确目标
掌握平行线判定公理和第一个判定定理及运用其进行简单的推理论证.
（二）整体感知
以情境设计，引出课题，以模型演示，引导学生观察，、分析、总结，讲授新知，以变式训练巩固新知，在整节课中，较充分地体现了逻辑推理.
（三）教学过程
创设情境，引出课题
师：上节课我们学习了平行线、平行公理及推论，请同学们判断下列语句是否正确，并说明理由（出示投影）.
1.两条直线不相交，就叫平行线.
2.与一条直线平行的直线只有一条.
3.如果直线 、 都和 平行，那么 、 就平行.
学生活动：学生口答上述三个问题.
【教法说明】通过三个判断题，使学生回顾上节所学知识，第1题在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”，第2题不仅回顾平行公理，同时使学生认识学习几何，语言一定要准确、规范，同一问题在不同条件下，就有不同的结论，第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生，它也是判定两条直线平行的方法.
师：测得两条直线相交，所成角中的一个是直角，能判定这两条直线垂直吗？根据什么？
学生：能判定垂直，根据垂直的定义.
师：在同一平面内不相交的两条直线是平行线，你有办法测定两条直线是平行线吗？
学生活动：学生思考，如何测定两条直线是否平行？
教师在学生思考未得结论的情况下，指出不能直接利用手行线的定义来测定两条直线是否平行，必须找其他可以测定的方法，有什么方法呢？
学生活动：学生思考，在前面复习平行公理推论的情况下，有的学生会提出，再作一条直线 ，让 ，再看 是否平行于 就可以了.
师：这种想法很好，那么，如何作 ，使它与 平行？若作出 后，又如何判断 是否与 平行？
学生活动：学生思考老师的提问，意识到刚才的回答，似是而非，不能解决问题.
师：显然，我们的问题没有得到解决，为此我们来寻找另外一些判定方法，就是今天我们要学习的（板书课题）.
［板书］2.5（1）.
【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直，学生自然想到要用平行线定义来判断，但我们无法测定直线是否不相交，也就不能利用定义来判断.这时，学生会考虑平行公理推论，此时教师只须简单地追问，就让学生弄清问题未能解决，由此引入新课内容.
探究新知，讲授新课
教师给出像课本第78页图2–20那样的两条直线被第三条直线所截的模型，转动 ，让学生观察， 转动到不同位置时， 的大小有无变化，再让 从小变大，说出直线 与 的位置关系变化规律.
【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考、总结出结论.
图1
学生活动： 转动到不同位置时， 也随着变化，当 从小变大时，直线 从原来在右边与直线 相交，变到在左边与 相交.
师：在这个过程中，存在一个与 不相交即与 平行的位置，那么 多大时，直线 呢？也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系.
师：下面先请同学们回忆平行线的画法，过直线 外一点 画 的平行线 .
学生活动：学生在练习本上完成，教师在黑板上演示（见图1）.
师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么？
图2
学生：保证了两个同位角相等.
师：由此你能得到什么猜想？
学生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行.
师：我们的猜想正确吗？会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢？
教师用计算机演示运动变化过程.在观察实验之前，让学生看清 角和 角（如图2），而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论.
学生活动：学生观察、讨论、分析.
总结了，当 时， 不平行 ，而无论 取何值，只要 ， 、 就平行.
图3
教师引导学生自己表达出结论，并告诉学生这个结论称为公理.
［板书］两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
即：∵ （已知见图3），
∴ （同位角相等，两直线平行）.
【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动—变化过程，让学生确信公理的正确.尝试反馈，巩固练习（出示投影）.
图4
1.如图4， ， ， 吗？
2. ，当 时，就能使 .
【教法说明】这两个题目旨在巩固所学的判定公理，对于第2题是已知结论，找出使它成立的题设，这是证明问题时应掌握的一种思考方法，要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思考方法，教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想.
（出示投影）
直线 、 被直线 所截.
图5
1.见图5，如果 ，那么 与 有什么关系？
2. 与 有什么关系？
3. 与 是什么位置关系的一对角？
学生活动：学生观察，思考分析，给出答案： 时， ， 与 相等， 与 是内错角.
师： 与 满足什么条件，可以得到 ？为什么？
学生活动： ，因为 ，通过等量代换可以得到 .
师： 时，你进而可以得到什么结论？
学生活动： .
师：由此你能总结出什么正确结论？
学生活动：内错角相等，两直线平行.
师：也就是说，我们得到了判定两直线平行的另一个方法：
［板书］两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法，引导学生自己去发现角之间的关系，进而归纳总结出结论，主要采用探讨问题的方式，能够培养学生积极思考、善于动脑分析的良好学习习惯.
师：上面的推理过程，可以写成
∵ （已知），
（对顶角相等），
∴ .
［∵ （已证）］，
∴ （同位角相等，两直线平行）.
【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说，这样才能使中国学习联盟胆尝试，培养他们勇于进取的精神.
教师指出：方括号内的“∵ ”，就是上面刚刚得到的“∴ ”，在这种情况下，方括号内这一步可以省略.
尝试反馈，巩固练习（出示投影）
1.如图1，直线 、 被直线 所截.
（1）量得 ， ，就可以判定 ，它的根据是什么？
（2）量得 ， ，就可以判定 ，它的根据是什么？
2.如图2， 是 的延长线，量得 .
（1）从 ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？
（2）从 ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？
图1 图2
学生活动：学生口答.
【教法说明】这组题旨在巩固公理和判定方法的掌握，使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题.
变式训练，培养能力
（出示投影）
1.如图3所示，由 ，可判断哪两条直线平行？由 ，可判断哪两条直线平行？
2.如图4，已知 ， ， 吗？为什么？
图3 图4
学生活动：学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出答案.
【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形，加强识图能力，同时培养学生的发散思维，也就是培养学生从多角度、全方位考虑问题，从而得到一题多解.提高了学生的解题能力.
（四）总结扩展
2.结合判一定理的证明过程，熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式.
八、布置作业
课本第97页习题2.2A组第4、5、6（1）（2）题.
作业 答案
4.当 时，就能使 .
5.（1）从 ，推出 ，根据同位角相等，两直线平行.
（2）从 ，推出 ，根据内错角相等，两直线平行.
6.（1）可断定 ，根据同位角相等，两直线平行.
（2）可断定 ，根据内错角相等，两直线平行.
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，理解判定定理的证法.
2.掌握平行线的第二个判定定理，会用判定公理及定理进行简单的推理论证.
3.通过第二个判定定理的推导，培养学生分析问题、进行推理的能力.
4.使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的的教育.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：积极参与、主动发现、发展思维.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
判定定理的推导和例题的解答.
（二）难点
使用符号语言进行推理.
（三）解决办法
1.通过教师正确引导，学生积极思维，发现定理，解决重点.
2.通过教师指导，学生自行完成推理过程，解决难点及疑点.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
三角板、投影仪、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.通过设计练习，复习基础，创造情境，引入新课.
2.通过教师指导，学生探索新知，练习巩固，完成新授.
3.通过学生自己总结完成小结.
七、教学步骤
（一）明确目标
掌握平行线的第二个定理的推理，并能运用其进行简单的证明，培养学生的逻辑思维能力.
（二）整体感知
以情境创设，设计悬念，引出课题，以引导学生的思维，发现新知，以变式训练巩固新知.
（三）教学过程
创设情境，复习引入
师：上节课我们学习了公理和一种判定方法，根据所学看下面的问题（出示投影）. 1.如图1所示，直线 、 被直线 所截，如果 ，那么 ，为什么？
2.如图2，如果 ，那么 ，为什么？
图1 图2
3.如图3，直线 、 被直线 所截.（1）如果 ，那么 ，为什么？
（2）如果 ，那么 ，为什么？
4.如图4，一个弯形管道 的拐角 ， ，这时管道 、 平行吗？
图3 图4
学生活动：学生口答第1、2题.
师：你能说出有什么条件，就可以判定两条直线平行呢？
学生活动：由第l、2题，学生思考分析，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行.
教师将第3题图形画在黑板上.
学生活动：学生口答理由，同角的补角相等.
师：要求学生写出符号推理过程，并板书.
［板书］∵ （已知），
（邻补角定义），
∴ （同角的补角相等）.
（以备后面推导判定定理使用.）
【教法说明】本节课是前一节课的继续，是在前一节课的基础上进行学习的，所以通过第1、2两题复习上节课所学平行线判定的两个方法，使学生明确，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行.第3题是为推导本节到定定理做铺垫，即如果同旁内角互补，则可以推出同位角相等，也可以推出内错角相等，为定理的推理论证，分散了难点.
师：第4题是一个实际问题，题目中已知的两个角是什么位置关系角？
学生活动：同分内角.
师：它们有什么关系.
学生活动：互补.
师：这个问题就是知道同分内角互补了，那么两条直线是不是平行的呢？这就是这节课我们要研究的问题.
［板书］2.5 （2）
教师再加上这一步即可）.
由此你能得到什么结论？
学生活动：学生思索后回答出，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（学生语言不规范，注意纠正）.
师：也就是说，我们又得到了一种方法，我们把它简单说成：
［板书］同旁内角互补，两直线平行.
【教法说明】由于复习引入第3题为定理的推导做好了铺垫，所以学生并不难接受推理过程，放手由学生总结出判定方法，注意培养学生的归纳总结能力，另外在叙述判定方法时，训练学生用准确、规范的几何语言.
师：请同学们思考，刚才我们由同旁内角互补，推导两条直线平行，除了上面的推理过程，有没有其他途径？怎样写推理格式？
学生活动：学生思考，对照复习提问第3题的第2问很快地找到另一种途径，并在练习本上写出推理格式，找一个学生在原来黑板上的板书基础上完成.
【教法说明】通过使用不同种方法的推理，不仅开拓学生思维，同时也能够让学生尽可能地使用推理，从而使学生掌握推理格式的书写.
尝试反过，巩固练习
师：有了这种判定方法，我们就可以由同旁内角互补，直接判定两条直线平行了，让我们回到复习提问的第4题，管道 、 平行吗？为什么？
学生活动：平行，因为同旁内角互补，两直线平行.
【教法说明】不仅解决了前面遗留的问题，同时巩固了所学新知识.
师：下面我们一起应用这种判定方法再来研究一些题目（出示投影）.
练习：
1.如图1，量得，，可以判定，它的根据是什么？
图1 图2
2.如图2，已知， 与 互补，可以判定哪两条直线平行？ 与哪个角互补，可以判定直线 ？
【教法说明】这组练习进一步对判定方法加以巩固，第2题的第2问是根据给出的结果，找它成立的条件，是执果索因，学生应该没有什么困难，教师不必多讲，但要注意第2问中出现答 与 互补这类错误时，要结合图形让学生弄清是哪两条直线被哪两条直线所截.
例题讲解
师：我们学习了三种方法，在具体题目中如何选择应用它们来解决问题呢？下面我们看例题（出示投影）.
例 两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？
师：这个题目相当于文字题，解答时应根据题意画出图形（如图3），同时为了叙述方便，还要在图形上标出需要的字母或符号.
图3
学生活动：学生分析题意，按所说画出相应的图形.
师：我们要判定两条直线是否平行，应先想什么？可以讨论.
学生活动：讨论后答出，先想学过哪些判定平行线的方法.
师：再看已知条件与哪一种方法的条件相同或有关，思考时注意图形，按老师所标直角符号，回答问题.
学生活动：学生认真观察，积极思考后，踊跃回答.
教师给出规范的板书，答：垂直于同一条直线的两条直线平行.
理由：如图3， ， .
∵ ， （已知），
∴ （垂直的定义）.
∴ （同位角相等，两直线平行）.
师：这是两步推理，两个“∵”之间省略的一个“∴”，是什么内容？
学生活动：∵ （已证）.
【教法说明】教师在讲解时，注意后发学生，引导学生形成正确的思维，从而学会分析问题，提高解题能力.
师：想一想，能不能利用内错角相等，或者同旁内角互补，来说明 呢？图形中的符号怎样改动？模仿例题说出理由
学生活动：学生思考，并在练习本上写出理由，请两名同学到黑板上去做，形成板书：
图4
理由：如图4， ， .
∵ ， （已知），∴ （垂直的定义）.
∴ （内错角相等，两直线平行）.
理由：如图5， ， .
∵ ， （已知），
图5
∴ （垂直的定义）.
∴ （同旁内角互补，两直线平行）.
【教法说明】一题多解既巩固所学知识，同时培养了学生的发散思维，提高了学生的解 题能力.
变式训练，培养能力
练习（出示投影）：
1.如图6，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线平行吗？为什么？
2.如图7，如何判断这块玻璃板的上下两边平行？
图6 图7
学生活动：学生思考，给出第1题的答案为两条垂线平行.因为画出的两条线都垂直于工件边缘，也就是说，相交成直角，根据同位角相等（或内错角相等或同旁内角互补），两直线平行；对于第2题需要添出截线，然后有三种方法来判断.
【教法说明】这两个题目都是实际问题，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力尤其是第2题，我们判定两条直线是否平行，必须根据被第三条直线截出的三种位置的关系角的大小来判定，通过此题，让学生进一步理解平行线的三种判定方法及应用.
（四）总结、扩展
师：我们学习了几种判定两条直线平行的方法.
学生活动：学生自己总结归纳完成下表.
判定
文字叙述
符号语言
图形
第一种
同位角相等，两直线平行
∵ （已知），
∴ ( ).
第二种
内错角相等，两直线平行
∵ （已知），
∴ ( ).
第三种
同旁内角互补，两直线平行
∵（已知，）∴ ( ).
八、布置作业
课本第97～98页A组第 6（3）、7、8题.
作业 答案
6.（3）可判定 .根据同旁内角互补，两直线平行.
7.（1） 同位角相等，两直线平行.
（2） 内错角相等，两直线平行.
（3） 同旁内角互补，两直线平行.
8.（1） 同位角相等，两直线平行.
（2） 内错角相等，两直线平行.
（3） 内错角相等，两直线平行.
（4） 内错角相等，两直线平行.
（5） 同旁内角互补，两直线平行.
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，理解判定定理的证法.
2.掌握平行线的第二个判定定理，会用判定公理及定理进行简单的推理论证.
3.通过第二个判定定理的推导，培养学生分析问题、进行推理的能力.
4.使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的的教育.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：积极参与、主动发现、发展思维.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
判定定理的推导和例题的解答.
（二）难点
使用符号语言进行推理.
（三）解决办法
1.通过教师正确引导，学生积极思维，发现定理，解决重点.
2.通过教师指导，学生自行完成推理过程，解决难点及疑点.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
三角板、投影仪、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.通过设计练习，复习基础，创造情境，引入新课.
2.通过教师指导，学生探索新知，练习巩固，完成新授.
3.通过学生自己总结完成小结.
七、教学步骤
（一）明确目标
掌握平行线的第二个定理的推理，并能运用其进行简单的证明，培养学生的逻辑思维能力.
（二）整体感知
以情境创设，设计悬念，引出课题，以引导学生的思维，发现新知，以变式训练巩固新知.
（三）教学过程
创设情境，复习引入
师：上节课我们学习了公理和一种判定方法，根据所学看下面的问题（出示投影）. 1.如图1所示，直线 、 被直线 所截，如果 ，那么 ，为什么？
2.如图2，如果 ，那么 ，为什么？
图1 图2
3.如图3，直线 、 被直线 所截.（1）如果 ，那么 ，为什么？
（2）如果 ，那么 ，为什么？
4.如图4，一个弯形管道 的拐角 ， ，这时管道 、 平行吗？
图3 图4
学生活动：学生口答第1、2题.
师：你能说出有什么条件，就可以判定两条直线平行呢？
学生活动：由第l、2题，学生思考分析，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行.
教师将第3题图形画在黑板上.
学生活动：学生口答理由，同角的补角相等.
师：要求学生写出符号推理过程，并板书.
［板书］∵ （已知），
（邻补角定义），
∴ （同角的补角相等）.
（以备后面推导判定定理使用.）
【教法说明】本节课是前一节课的继续，是在前一节课的基础上进行学习的，所以通过第1、2两题复习上节课所学平行线判定的两个方法，使学生明确，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行.第3题是为推导本节到定定理做铺垫，即如果同旁内角互补，则可以推出同位角相等，也可以推出内错角相等，为定理的推理论证，分散了难点.
师：第4题是一个实际问题，题目中已知的两个角是什么位置关系角？
学生活动：同分内角.
师：它们有什么关系.
学生活动：互补.
师：这个问题就是知道同分内角互补了，那么两条直线是不是平行的呢？这就是这节课我们要研究的问题.
［板书］2.5 （2）
图1 图2
2.如图2，已知， 与 互补，可以判定哪两条直线平行？ 与哪个角互补，可以判定直线 ？
【教法说明】这组练习进一步对判定方法加以巩固，第2题的第2问是根据给出的结果，找它成立的条件，是执果索因，学生应该没有什么困难，教师不必多讲，但要注意第2问中出现答 与 互补这类错误时，要结合图形让学生弄清是哪两条直线被哪两条直线所截.
例题讲解
师：我们学习了三种方法，在具体题目中如何选择应用它们来解决问题呢？下面我们看例题（出示投影）.
例 两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？
师：这个题目相当于文字题，解答时应根据题意画出图形（如图3），同时为了叙述方便，还要在图形上标出需要的字母或符号.
图3
学生活动：学生分析题意，按所说画出相应的图形.
师：我们要判定两条直线是否平行，应先想什么？可以讨论.
学生活动：讨论后答出，先想学过哪些判定平行线的方法.
师：再看已知条件与哪一种方法的条件相同或有关，思考时注意图形，按老师所标直角符号，回答问题.
学生活动：学生认真观察，积极思考后，踊跃回答.
教师给出规范的板书，答：垂直于同一条直线的两条直线平行.
理由：如图3， ， .
∵ ， （已知），
∴ （垂直的定义）.
∴ （同位角相等，两直线平行）.
师：这是两步推理，两个“∵”之间省略的一个“∴”，是什么内容？
学生活动：∵ （已证）.
【教法说明】教师在讲解时，注意后发学生，引导学生形成正确的思维，从而学会分析问题，提高解题能力.
师：想一想，能不能利用内错角相等，或者同旁内角互补，来说明 呢？图形中的符号怎样改动？模仿例题说出理由
学生活动：学生思考，并在练习本上写出理由，请两名同学到黑板上去做，形成板书：
图4
理由：如图4， ， .
∵ ， （已知），∴ （垂直的定义）.
∴ （内错角相等，两直线平行）.
理由：如图5， ， .
∵ ， （已知），
图5
∴ （垂直的定义）.
∴ （同旁内角互补，两直线平行）.
【教法说明】一题多解既巩固所学知识，同时培养了学生的发散思维，提高了学生的解 题能力.
变式训练，培养能力
练习（出示投影）：
1.如图6，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线平行吗？为什么？
2.如图7，如何判断这块玻璃板的上下两边平行？
图6 图7
学生活动：学生思考，给出第1题的答案为两条垂线平行.因为画出的两条线都垂直于工件边缘，也就是说，相交成直角，根据同位角相等（或内错角相等或同旁内角互补），两直线平行；对于第2题需要添出截线，然后有三种方法来判断.
【教法说明】这两个题目都是实际问题，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力尤其是第2题，我们判定两条直线是否平行，必须根据被第三条直线截出的三种位置的关系角的大小来判定，通过此题，让学生进一步理解平行线的三种判定方法及应用.
（四）总结、扩展
师：我们学习了几种判定两条直线平行的方法.
学生活动：学生自己总结归纳完成下表.
判定
文字叙述
符号语言
图形
第一种
同位角相等，两直线平行
∵ （已知），
∴ ( ).
第二种
内错角相等，两直线平行
∵ （已知），
∴ ( ).
第三种
同旁内角互补，两直线平行
∵（已知，）∴ ( ).
八、布置作业
课本第97～98页A组第 6（3）、7、8题.
作业 答案
6.（3）可判定 .根据同旁内角互补，两直线平行.
7.（1） 同位角相等，两直线平行.
（2） 内错角相等，两直线平行.
（3） 同旁内角互补，两直线平行.
8.（1） 同位角相等，两直线平行.
（2） 内错角相等，两直线平行.
（3） 内错角相等，两直线平行.
（4） 内错角相等，两直线平行.
（5） 同旁内角互补，两直线平行.
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构：
由平行线的画法，引出公理（同位角相等，两直线平行）.由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.
(2)重点、难点分析 ：
本节的重点是：公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础.
本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.
2、教学建议
在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”
教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.
公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.
教学设计示例1
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：独立思考，主动发现.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
（二）难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
（三）解决办法
1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.
2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题，复习旧知，引入新知.
2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.
3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
（－）明确目标
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构：
由平行线的画法，引出公理（同位角相等，两直线平行）.由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.
(2)重点、难点分析 ：
本节的重点是：公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础.
本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.
2、教学建议
在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”
教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.
公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.
教学设计示例1
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：独立思考，主动发现.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
（二）难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
（三）解决办法
1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.
2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题，复习旧知，引入新知.
2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.
3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
（－）明确目标
掌握平行线判定公理和第一个判定定理及运用其进行简单的推理论证.
（二）整体感知
以情境设计，引出课题，以模型演示，引导学生观察，、分析、总结，讲授新知，以变式训练巩固新知，在整节课中，较充分地体现了逻辑推理.
（三）教学过程
创设情境，引出课题
师：上节课我们学习了平行线、平行公理及推论，请同学们判断下列语句是否正确，并说明理由（出示投影）.
1.两条直线不相交，就叫平行线.
2.与一条直线平行的直线只有一条.
3.如果直线 、 都和 平行，那么 、 就平行.
学生活动：学生口答上述三个问题.
【教法说明】通过三个判断题，使学生回顾上节所学知识，第1题在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”，第2题不仅回顾平行公理，同时使学生认识学习几何，语言一定要准确、规范，同一问题在不同条件下，就有不同的结论，第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生，它也是判定两条直线平行的方法.
师：测得两条直线相交，所成角中的一个是直角，能判定这两条直线垂直吗？根据什么？
学生：能判定垂直，根据垂直的定义.
师：在同一平面内不相交的两条直线是平行线，你有办法测定两条直线是平行线吗？
学生活动：学生思考，如何测定两条直线是否平行？
教师在学生思考未得结论的情况下，指出不能直接利用手行线的定义来测定两条直线是否平行，必须找其他可以测定的方法，有什么方法呢？
学生活动：学生思考，在前面复习平行公理推论的情况下，有的学生会提出，再作一条直线 ，让 ，再看 是否平行于 就可以了.
师：这种想法很好，那么，如何作 ，使它与 平行？若作出 后，又如何判断 是否与 平行？
学生活动：学生思考老师的提问，意识到刚才的回答，似是而非，不能解决问题.
师：显然，我们的问题没有得到解决，为此我们来寻找另外一些判定方法，就是今天我们要学习的（板书课题）.
［板书］2.5（1）.
【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直，学生自然想到要用平行线定义来判断，但我们无法测定直线是否不相交，也就不能利用定义来判断.这时，学生会考虑平行公理推论，此时教师只须简单地追问，就让学生弄清问题未能解决，由此引入新课内容.
探究新知，讲授新课
教师给出像课本第78页图2–20那样的两条直线被第三条直线所截的模型，转动 ，让学生观察， 转动到不同位置时， 的大小有无变化，再让 从小变大，说出直线 与 的位置关系变化规律.
【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考、总结出结论.
图1
学生活动： 转动到不同位置时， 也随着变化，当 从小变大时，直线 从原来在右边与直线 相交，变到在左边与 相交.
师：在这个过程中，存在一个与 不相交即与 平行的位置，那么 多大时，直线 呢？也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系.
师：下面先请同学们回忆平行线的画法，过直线 外一点 画 的平行线 .
学生活动：学生在练习本上完成，教师在黑板上演示（见图1）.
师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么？
图2
学生：保证了两个同位角相等.
师：由此你能得到什么猜想？
学生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行.
师：我们的猜想正确吗？会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢？
教师用计算机演示运动变化过程.在观察实验之前，让学生看清 角和 角（如图2），而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论.
学生活动：学生观察、讨论、分析.
总结了，当 时， 不平行 ，而无论 取何值，只要 ， 、 就平行.
图3
教师引导学生自己表达出结论，并告诉学生这个结论称为公理.
［板书］两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
即：∵ （已知见图3），
∴ （同位角相等，两直线平行）.
【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动—变化过程，让学生确信公理的正确.尝试反馈，巩固练习（出示投影）.
图4
1.如图4， ， ， 吗？
2. ，当 时，就能使 .
【教法说明】这两个题目旨在巩固所学的判定公理，对于第2题是已知结论，找出使它成立的题设，这是证明问题时应掌握的一种思考方法，要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思考方法，教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想.
（出示投影）
直线 、 被直线 所截.
图5
1.见图5，如果 ，那么 与 有什么关系？
2. 与 有什么关系？
3. 与 是什么位置关系的一对角？
学生活动：学生观察，思考分析，给出答案： 时， ， 与 相等， 与 是内错角.
师： 与 满足什么条件，可以得到 ？为什么？
学生活动： ，因为 ，通过等量代换可以得到 .
师： 时，你进而可以得到什么结论？
学生活动： .
师：由此你能总结出什么正确结论？
学生活动：内错角相等，两直线平行.
师：也就是说，我们得到了判定两直线平行的另一个方法：
［板书］两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法，引导学生自己去发现角之间的关系，进而归纳总结出结论，主要采用探讨问题的方式，能够培养学生积极思考、善于动脑分析的良好学习习惯.
师：上面的推理过程，可以写成
∵ （已知），
（对顶角相等），
∴ .
［∵ （已证）］，
∴ （同位角相等，两直线平行）.
【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说，这样才能使学生大胆尝试，培养他们勇于进取的精神.
教师指出：方括号内的“∵ ”，就是上面刚刚得到的“∴ ”，在这种情况下，方括号内这一步可以省略.
尝试反馈，巩固练习（出示投影）
1.如图1，直线 、 被直线 所截.
（1）量得 ， ，就可以判定 ，它的根据是什么？
（2）量得 ， ，就可以判定 ，它的根据是什么？
2.如图2， 是 的延长线，量得 .
（1）从 ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？
（2）从 ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？
图1 图2
学生活动：学生口答.
【教法说明】这组题旨在巩固公理和判定方法的掌握，使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题.
变式训练，培养能力
（出示投影）
1.如图3所示，由 ，可判断哪两条直线平行？由 ，可判断哪两条直线平行？
2.如图4，已知 ， ， 吗？为什么？
图3 图4
学生活动：学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出答案.
【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形，加强识图能力，同时培养学生的发散思维，也就是培养学生从多角度、全方位考虑问题，从而得到一题多解.提高了学生的解题能力.
（四）总结扩展
2.结合判一定理的证明过程，熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式.
八、布置作业
课本第97页习题2.2A组第4、5、6（1）（2）题.
作业 答案
4.当 时，就能使 .
5.（1）从 ，推出 ，根据同位角相等，两直线平行.
（2）从 ，推出 ，根据内错角相等，两直线平行.
6.（1）可断定 ，根据同位角相等，两直线平行.
（2）可断定 ，根据内错角相等，两直线平行.
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构：
由平行线的画法，引出公理（同位角相等，两直线平行）.由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.
(2)重点、难点分析 ：
本节的重点是：公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础.
本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.
2、教学建议
在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”
教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.
公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.
教学设计示例1
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：独立思考，主动发现.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
（二）难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
（三）解决办法
1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.
2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题，复习旧知，引入新知.
2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.
3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
（－）明确目标
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构：
由平行线的画法，引出公理（同位角相等，两直线平行）.由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.
(2)重点、难点分析 ：
本节的重点是：公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础.
本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.
2、教学建议
在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”
教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.
公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.
教学设计示例1
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：独立思考，主动发现.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
（二）难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
（三）解决办法
1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.
2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题，复习旧知，引入新知.
2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.
3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
（－）明确目标
掌握平行线判定公理和第一个判定定理及运用其进行简单的推理论证.
（二）整体感知
以情境设计，引出课题，以模型演示，引导学生观察，、分析、总结，讲授新知，以变式训练巩固新知，在整节课中，较充分地体现了逻辑推理.
（三）教学过程
创设情境，引出课题
师：上节课我们学习了平行线、平行公理及推论，请同学们判断下列语句是否正确，并说明理由（出示投影）.
1.两条直线不相交，就叫平行线.
2.与一条直线平行的直线只有一条.
3.如果直线 、 都和 平行，那么 、 就平行.
学生活动：学生口答上述三个问题.
【教法说明】通过三个判断题，使学生回顾上节所学知识，第1题在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”，第2题不仅回顾平行公理，同时使学生认识学习几何，语言一定要准确、规范，同一问题在不同条件下，就有不同的结论，第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生，它也是判定两条直线平行的方法.
师：测得两条直线相交，所成角中的一个是直角，能判定这两条直线垂直吗？根据什么？
学生：能判定垂直，根据垂直的定义.
师：在同一平面内不相交的两条直线是平行线，你有办法测定两条直线是平行线吗？
学生活动：学生思考，如何测定两条直线是否平行？
教师在学生思考未得结论的情况下，指出不能直接利用手行线的定义来测定两条直线是否平行，必须找其他可以测定的方法，有什么方法呢？
学生活动：学生思考，在前面复习平行公理推论的情况下，有的学生会提出，再作一条直线 ，让 ，再看 是否平行于 就可以了.
师：这种想法很好，那么，如何作 ，使它与 平行？若作出 后，又如何判断 是否与 平行？
学生活动：学生思考老师的提问，意识到刚才的回答，似是而非，不能解决问题.
师：显然，我们的问题没有得到解决，为此我们来寻找另外一些判定方法，就是今天我们要学习的（板书课题）.
［板书］2.5（1）.
【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直，学生自然想到要用平行线定义来判断，但我们无法测定直线是否不相交，也就不能利用定义来判断.这时，学生会考虑平行公理推论，此时教师只须简单地追问，就让学生弄清问题未能解决，由此引入新课内容.
探究新知，讲授新课
教师给出像课本第78页图2–20那样的两条直线被第三条直线所截的模型，转动 ，让学生观察， 转动到不同位置时， 的大小有无变化，再让 从小变大，说出直线 与 的位置关系变化规律.
【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考、总结出结论.
图1
学生活动： 转动到不同位置时， 也随着变化，当 从小变大时，直线 从原来在右边与直线 相交，变到在左边与 相交.
师：在这个过程中，存在一个与 不相交即与 平行的位置，那么 多大时，直线 呢？也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系.
师：下面先请同学们回忆平行线的画法，过直线 外一点 画 的平行线 .
学生活动：学生在练习本上完成，教师在黑板上演示（见图1）.
师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么？
图2
学生：保证了两个同位角相等.
师：由此你能得到什么猜想？
学生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行.
师：我们的猜想正确吗？会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢？
教师用计算机演示运动变化过程.在观察实验之前，让学生看清 角和 角（如图2），而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论.
学生活动：学生观察、讨论、分析.
总结了，当 时， 不平行 ，而无论 取何值，只要 ， 、 就平行.
图3
教师引导学生自己表达出结论，并告诉学生这个结论称为公理.
［板书］两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
即：∵ （已知见图3），
∴ （同位角相等，两直线平行）.
【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动—变化过程，让学生确信公理的正确.尝试反馈，巩固练习（出示投影）.
图4
1.如图4， ， ， 吗？
2. ，当 时，就能使 .
【教法说明】这两个题目旨在巩固所学的判定公理，对于第2题是已知结论，找出使它成立的题设，这是证明问题时应掌握的一种思考方法，要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思考方法，教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想.
（出示投影）
直线 、 被直线 所截.
图5
1.见图5，如果 ，那么 与 有什么关系？
2. 与 有什么关系？
3. 与 是什么位置关系的一对角？
学生活动：学生观察，思考分析，给出答案： 时， ， 与 相等， 与 是内错角.
师： 与 满足什么条件，可以得到 ？为什么？
学生活动： ，因为 ，通过等量代换可以得到 .
师： 时，你进而可以得到什么结论？
学生活动： .
师：由此你能总结出什么正确结论？
学生活动：内错角相等，两直线平行.
师：也就是说，我们得到了判定两直线平行的另一个方法：
［板书］两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法，引导学生自己去发现角之间的关系，进而归纳总结出结论，主要采用探讨问题的方式，能够培养学生积极思考、善于动脑分析的良好学习习惯.
师：上面的推理过程，可以写成
∵ （已知），
（对顶角相等），
∴ .
［∵ （已证）］，
∴ （同位角相等，两直线平行）.
【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说，这样才能使学生大胆尝试，培养他们勇于进取的精神.
教师指出：方括号内的“∵ ”，就是上面刚刚得到的“∴ ”，在这种情况下，方括号内这一步可以省略.
尝试反馈，巩固练习（出示投影）
1.如图1，直线 、 被直线 所截.
（1）量得 ， ，就可以判定 ，它的根据是什么？
（2）量得 ， ，就可以判定 ，它的根据是什么？
2.如图2， 是 的延长线，量得 .
（1）从 ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？
（2）从 ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？
图1 图2
学生活动：学生口答.
【教法说明】这组题旨在巩固公理和判定方法的掌握，使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题.
变式训练，培养能力
（出示投影）
1.如图3所示，由 ，可判断哪两条直线平行？由 ，可判断哪两条直线平行？
2.如图4，已知 ， ， 吗？为什么？
图3 图4
学生活动：学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出答案.
【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形，加强识图能力，同时培养学生的发散思维，也就是培养学生从多角度、全方位考虑问题，从而得到一题多解.提高了学生的解题能力.
（四）总结扩展
2.结合判一定理的证明过程，熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式.
八、布置作业
课本第97页习题2.2A组第4、5、6（1）（2）题.
作业 答案
4.当 时，就能使 .
5.（1）从 ，推出 ，根据同位角相等，两直线平行.
（2）从 ，推出 ，根据内错角相等，两直线平行.
6.（1）可断定 ，根据同位角相等，两直线平行.
（2）可断定 ，根据内错角相等，两直线平行.
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构：
由平行线的画法，引出公理（同位角相等，两直线平行）.由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.
(2)重点、难点分析 ：
本节的重点是：公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础.
本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.
2、教学建议
在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”
教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.
公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.
教学设计示例1
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：独立思考，主动发现.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
（二）难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
（三）解决办法
1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.
2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题，复习旧知，引入新知.
2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.
3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
（－）明确目标
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构：
由平行线的画法，引出公理（同位角相等，两直线平行）.由公理推出：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理.
(2)重点、难点分析 ：
本节的重点是：公理及两个判定定理.一般的定义与第一个判定定理是等价的.都可以做判定的方法.但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交.这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定.因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了.它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础.
本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程.学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解.有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明.这些都使几何的入门教学困难重重.因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范.创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理.
2、教学建议
在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论.”
教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线.在此过程中，注意角的变化情况.事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行.
公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”.教师可组织学生按所给图形进行讨论.如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实.也可多叫几个同学进行重复.逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性.另一个定理的发现与证明过程也与此类似.
教学设计示例1
一、教学目标
1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理.
2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证.
3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力.
二、学法引导
1.教师教法：启发式引导发现法.
2.学生学法：独立思考，主动发现.
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导.
（二）难点
判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式.
（三）解决办法
1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点.
2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
三角板、投影胶片、投影仪、计算机.
六、师生互动活动设计
1.通过两组题，复习旧知，引入新知.
2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固.
3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结.
七、教学步骤
（－）明确目标
掌握平行线判定公理和第一个判定定理及运用其进行简单的推理论证.
（二）整体感知
以情境设计，引出课题，以模型演示，引导学生观察，、分析、总结，讲授新知，以变式训练巩固新知，在整节课中，较充分地体现了逻辑推理.
（三）教学过程
创设情境，引出课题
师：上节课我们学习了平行线、平行公理及推论，请同学们判断下列语句是否正确，并说明理由（出示投影）.
1.两条直线不相交，就叫平行线.
2.与一条直线平行的直线只有一条.
3.如果直线 、 都和 平行，那么 、 就平行.
学生活动：学生口答上述三个问题.
【教法说明】通过三个判断题，使学生回顾上节所学知识，第1题在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”，第2题不仅回顾平行公理，同时使学生认识学习几何，语言一定要准确、规范，同一问题在不同条件下，就有不同的结论，第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生，它也是判定两条直线平行的方法.
师：测得两条直线相交，所成角中的一个是直角，能判定这两条直线垂直吗？根据什么？
学生：能判定垂直，根据垂直的定义.
师：在同一平面内不相交的两条直线是平行线，你有办法测定两条直线是平行线吗？
学生活动：学生思考，如何测定两条直线是否平行？
教师在学生思考未得结论的情况下，指出不能直接利用手行线的定义来测定两条直线是否平行，必须找其他可以测定的方法，有什么方法呢？
学生活动：学生思考，在前面复习平行公理推论的情况下，有的学生会提出，再作一条直线 ，让 ，再看 是否平行于 就可以了.
师：这种想法很好，那么，如何作 ，使它与 平行？若作出 后，又如何判断 是否与 平行？
学生活动：学生思考老师的提问，意识到刚才的回答，似是而非，不能解决问题.
师：显然，我们的问题没有得到解决，为此我们来寻找另外一些判定方法，就是今天我们要学习的（板书课题）.
［板书］2.5（1）.
【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直，学生自然想到要用平行线定义来判断，但我们无法测定直线是否不相交，也就不能利用定义来判断.这时，学生会考虑平行公理推论，此时教师只须简单地追问，就让学生弄清问题未能解决，由此引入新课内容.
探究新知，讲授新课
教师给出像课本第78页图2–20那样的两条直线被第三条直线所截的模型，转动 ，让学生观察， 转动到不同位置时， 的大小有无变化，再让 从小变大，说出直线 与 的位置关系变化规律.
【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考、总结出结论.
图1
学生活动： 转动到不同位置时， 也随着变化，当 从小变大时，直线 从原来在右边与直线 相交，变到在左边与 相交.
师：在这个过程中，存在一个与 不相交即与 平行的位置，那么 多大时，直线 呢？也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系.
师：下面先请同学们回忆平行线的画法，过直线 外一点 画 的平行线 .
学生活动：学生在练习本上完成，教师在黑板上演示（见图1）.
师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么？
图2
学生：保证了两个同位角相等.
师：由此你能得到什么猜想？
学生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行.
师：我们的猜想正确吗？会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢？
教师用计算机演示运动变化过程.在观察实验之前，让学生看清 角和 角（如图2），而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论.
学生活动：学生观察、讨论、分析.
总结了，当 时， 不平行 ，而无论 取何值，只要 ， 、 就平行.
图3
教师引导学生自己表达出结论，并告诉学生这个结论称为公理.
［板书］两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
即：∵ （已知见图3），
∴ （同位角相等，两直线平行）.
【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动—变化过程，让学生确信公理的正确.尝试反馈，巩固练习（出示投影）.
图4
1.如图4， ， ， 吗？
2. ，当 时，就能使 .
【教法说明】这两个题目旨在巩固所学的判定公理，对于第2题是已知结论，找出使它成立的题设，这是证明问题时应掌握的一种思考方法，要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思考方法，教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想.
（出示投影）
直线 、 被直线 所截.
图5
1.见图5，如果 ，那么 与 有什么关系？
2. 与 有什么关系？
3. 与 是什么位置关系的一对角？
学生活动：学生观察，思考分析，给出答案： 时， ， 与 相等， 与 是内错角.
师： 与 满足什么条件，可以得到 ？为什么？
学生活动： ，因为 ，通过等量代换可以得到 .
师： 时，你进而可以得到什么结论？
学生活动： .
师：由此你能总结出什么正确结论？
学生活动：内错角相等，两直线平行.
师：也就是说，我们得到了判定两直线平行的另一个方法：
［板书］两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法，引导学生自己去发现角之间的关系，进而归纳总结出结论，主要采用探讨问题的方式，能够培养学生积极思考、善于动脑分析的良好学习习惯.
师：上面的推理过程，可以写成
∵ （已知），
（对顶角相等），
∴ .
［∵ （已证）］，
∴ （同位角相等，两直线平行）.
【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说，这样才能使学生大胆尝试，培养他们勇于进取的精神.
教师指出：方括号内的“∵ ”，就是上面刚刚得到的“∴ ”，在这种情况下，方括号内这一步可以省略.
尝试反馈，巩固练习（出示投影）
1.如图1，直线 、 被直线 所截.
（1）量得 ， ，就可以判定 ，它的根据是什么？
（2）量得 ， ，就可以判定 ，它的根据是什么？
2.如图2， 是 的延长线，量得 .
（1）从 ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？
（2）从 ，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？
图1 图2
学生活动：学生口答.
【教法说明】这组题旨在巩固公理和判定方法的掌握，使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题.
变式训练，培养能力
（出示投影）
1.如图3所示，由 ，可判断哪两条直线平行？由 ，可判断哪两条直线平行？
2.如图4，已知 ， ， 吗？为什么？
图3 图4
学生活动：学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出答案.
【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形，加强识图能力，同时培养学生的发散思维，也就是培养学生从多角度、全方位考虑问题，从而得到一题多解.提高了学生的解题能力.
（四）总结扩展
2.结合判一定理的证明过程，熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式.
八、布置作业
课本第97页习题2.2A组第4、5、6（1）（2）题.
作业 答案
4.当 时，就能使 .
5.（1）从 ，推出 ，根据同位角相等，两直线平行.
（2）从 ，推出 ，根据内错角相等，两直线平行.
6.（1）可断定 ，根据同位角相等，两直线平行.
（2）可断定 ，根据内错角相等，两直线平行.
平行线的判定（1）
课型：新课： 备课人：韩贺敏 审核人：霍红超
学习目标
1.经历观察、操作、想像、推理、交流等活动，进一步发展推理能力和有条理表达能力.
2.掌握直线平行的条件,领悟归纳和转化的数学思想
学习重难点：探索并掌握直线平行的条件是本课的重点也是难点.
一、探索直线平行的条件
平行线的判定方法1：
二、练一练1、判断题
1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么内错角也相等.( )
2.两条直线被第三条直线所截,如果内错角互补,那么同旁内角相等.( )
2、填空1.如图1,如果∠3=∠7,或______,那么______,理由是__________;如果∠5=∠3,或笔________,那么________, 理由是______________; 如果∠2+ ∠5= ______ 或者_______,那么a∥b,理由是__________.
(2)
(3)
2.如图2,若∠2=∠6,则______∥_______,如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°, 那么____∥_______,如果∠9=_____,那么AD∥BC;如果∠9=_____,那么AB∥CD.
三、选择题
1.如图3所示,下列条件中,不能判定AB∥CD的是( )
A.AB∥EF,CD∥EF B.∠5=∠A; C.∠ABC+∠BCD=180° D.∠2=∠3
2.右图,由图和已知条件,下列判断中正确的是( )
A.由∠1=∠6,得AB∥FG;
B.由∠1+∠2=∠6+∠7,得CE∥EI
C.由∠1+∠2+∠3+∠5=180°,得CE∥FI;
D.由∠5=∠4,得AB∥FG
四、已知直线a、b被直线c所截,且∠1+∠2=180°,试判断直线a、b的位置关系,并说明理由.
五、作业课本15页-16页练习的1、2、3、
5.2.2平行线的判定（2）
课型：新课： 备课人：韩贺敏 审核人：霍红超
学习目标
1.经历观察、操作、想像、推理、交流等活动,进一步发展空
间观念,推理能力和有条理表达能力.
毛2.分析题意说理过程,能灵活地选用直线平行的方法进行说理.
学习重点:直线平行的条件的应用.
学习难点:选取适当判定直线平行的方法进行说理是重点也是难点.
一、学习过程
平行线的判定方法有几种？分别是什么？
二.巩固练习：
1.如图2,若∠2=∠6,则______∥_______,如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°, 那么____∥_______,如果∠9=_____,那么AD∥BC;如果∠9=_____,那么AB∥CD.
(第1题) (第2题)
2.如图,一个合格的变形管道ABCD需要AB边与CD边平行,若一个拐角∠ABC=72°,则另一个拐角∠BCD=_______时,这个管道符合要求.
二、选择题.
1.如图,下列判断不正确的是( )
A.因为∠1=∠4,所以DE∥AB
B.因为∠2=∠3,所以AB∥EC
C.因为∠5=∠A,所以AB∥DE
D.因为∠ADE+∠BED=180°,所以AD∥BE
2.如图,直线AB、CD被直线EF所截,使∠1=∠2≠90°,则( )
A.∠2=∠4 B.∠1=∠4 C.∠2=∠3 D.∠3=∠4
三、解答题.
1.你能用一张不规则的纸(比如,如图1所示的四边形的纸)折出两条平行的直线吗?与同伴说说你的折法.
2.已知,如图2,点B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,问射线CF与BD平行吗?试用两种方法说明理由.
一、 教学内容
“平行线”是我们在日常生活中都经常接触到的。它是学生学习几何的重要基础之一，也是学习其他学科知识的重要基础。在七(上)的第七章，学生已经学习了平行线的概念，知道平行线的表示方法，以及过直线外一点画一条直线与已知直线平行的画法。在前一节课，学生接触了“三线八角”，了解同位角、内错角、同旁内角等概念，掌握“同位角相等，两直线平行”的判定方法。经过直线外一点画一条直线与已知直线平行——这种画法的依据其实就是我们刚学过的平行线的判定方法：“同位角相等，两直线平行” 。
因此，这一节课将在学生这样的知识基础上继续学习判定两直线平行的另两种方法：“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。在老教材中，平行线的判定是作为公理出现的，在新教材中却至始至终没有出现“公理”二字，只是作为一种方法出现。它是学生在已学知识的基础上通过合作、探究得到的判定两直线平行的方法，这里更注重学生的观察、分析、概括能力的培养。
在七年级的学习中，学生已经初步接触了简单的说理过程。因此本节学习时，将在直观认识的基础上，继续加强培养学生这方面的能力。
二、 教学目标
基于上述内容、学情的分析，在新课程的理念下，数学教学应以学生的发展为本，以学生的能力培养为重。由此确定本节课的教学目标为：
1、 让学生通过直观认识，掌握平行线的判定方法;
2、 会根据判定方法进行简单的推理并能写出简单的说理过程;
3、 运用“转化”的数学思想，培养学生“观察——分析”和“归纳——概括”的能力。
同时确定本节课的重难点：
重点：在观察实验的基础上进行判定方法的概括与推导.
难点：方法的归纳、提炼;
例2教学中的辅助线的添加。
三、教学方法及手段
布鲁纳说过：“发现包括用自己的头脑来获得知识的一切形成。”所以根据本节课的教学内容特点，同时基于八年级学生的形象思维，遵循 “教为主导，学为主体，练为主线”的教育思想，从实例出发，让学生亲历观察、发现、探究、归纳等一系列过程，再现了知识的发生、发现及发展的过程。在新知识学习和例题的教学中，教师始终以引导者的形象出现并在适当的时候对学生适当的启发。所以在本节课中我采取的教学方法是启发式引导发现法.让学生合作、探究，主动发现.
教学手段上，一开始借用道具“纸带”引出问题，从而围绕着这一问题进行探索，教师边启发引导，边巡视，随时收集与评定学生的学习情况，进行反馈调节。同时使用多媒体辅助教学，可以形象生动地直观展示教学内容，不但提高了学习效率和质量，而且容易加法学生的学习兴趣和积极性。
四、教学过程
1、 复习旧知，承前启后
如图，直线l1与直线l2、l3相交，指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角;
在学生回答完问题后继续提问：如果∠1=∠5，直线l1与l3又有何位置关系?
此问题旨在复习原来的知识，从而为新知识作好铺垫。
2、 创设情境、合作探究
问题是数学的心脏，而一个好的问题的提出，将会使学生产生求知欲，引发教学高潮。因此在复习好旧的知识后马上提出新问题。
问题：如何判断一条纸带的边沿是否平行?
要求：1、小组合作(每组4人，确定组长、纪录员、汇报员等进行明确分工);
2、对工具使用不做限制。
对于要求一进行明确的分工是希望可以照顾各个层面的学生，希望每个学生都能得到参与，而在最后当汇报员进行总结的时候，可以由组内其他成员进行补充。而在要求二中明确了对工具不做任何限制，这样可以激发学生的创造性和积极性，从而会使我们的方法多样。
最后可以对学生的方法进行罗列，问其根据，由学生自己进行讲解。总结学生的各种方法，可能会有以下几种情况：一推二画三折。
⑴.推平行线法。经过下边沿的一点作上边沿的平行线，若所画平行线与下边沿重合，则可判断上下两边沿平行;
其实我们知道这种画法的依据就是利用同位角相等，两直线平行。而除这样的推法外学生也会想到用画同位角的方法来说明。就比如第2种情况中。
⑵将纸带画在练习本上，作一条直线相交于两边，如图所示，用量角器量出∠1，∠2，利用同位角相等，来判定纸带上下边缘平行;
而有些学生可能想到直接在纸带上画，直接在纸带上作一条相交于两边缘的直线，因为纸带局限了作图，因而可以利用的只有∠2、∠3、∠4。用量角器度量学生会发现∠3=∠2，∠4+∠2=1800。
⑶折的方法。
经过这样一系列的演示和归纳，学生就对平行线的新的两种判定方法有了自己直观的认识。这时候可以请学生模仿平行线判定方法一的形式请学生给出总结。应该说这时候学生的情绪会很高，通过自己的动手发现了平行线判定的其他方法，此时教师可结合多媒体利用动态再来演示这两种判定方法。同时在黑板上给出板书。在多媒体课件里可以是一句完整的表达，而在板书时，为更易于学生理解和掌握，只简单地记为：
内错角相等，两条直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
其实在教材中对这两种判定方法的编排里，它是先从“内错角相等，两直线平行”进行教学，然后再经过例题教学让学生对这种方法巩固加深，然后再从开始的引题里让学生寻找同旁内角的关系，从而引出“同旁内角互补，两直线平行”这种判定方法。而我在对这节课的处理上则是直接利用“纸带问题”引导学生先得到这两种方法，而后再是对这两种方法进行巩固、应用。
3、 初步应用，熟悉新知
“学数学而不练，犹如入宝山而空返。“适当的巩固性、应用性练习是学习新知识、巩固新知识所必不可少的。为了促进学生对新知识的理解和掌握，给出以下两个小练习，意在对平行线的两种判定方法的理解。
找一找，说一说：
1.课本练习:如图，直线a,b被直线l所截，
⑴若∠1=750，∠2=750 ，则a与b平行吗?根据什么?
⑵若∠2=750，∠3=1050 ，则a与b平行吗?根据什么?
2.根据下列条件，找出图中的平行线，并说明理由：
图(1)∠1=1210，∠2=1200，∠3=1200;
图(2)∠1=1200，∠2=600，∠3=620。
对这2个练习可直接由学生抢答，并说明理由，因为题目简单又由这样抢答的方式，学生感到意犹未尽，此时马上推出范例教学。
例2、如图∠c+∠a=∠aec，判断ab和cd是否平行?并说明理由。
确定例题是难点，基于以下两点考虑：
1、 根据已有的条件与图形，无法解决问题时，要添加辅助线。
2、 将推理过程由口述转化为书面表达形式，这也会让学生感到一定困难。
因此在本例题的教学中要充分体现教师引导者的地位，启发学生思考当遇到要我们说明两直线平行的时候，应该要从已知和图形中寻找什么?这时学生会总结学过的三种判定方法，然后再要求学生在本题中是否存在满足这三种判定方法的条件?当找不到解决问题的方法时，引导学生是否可以在没有防碍题目的前提下对图形做适当的改变，然后自然而然的引出作辅助线。
4.练习反馈，巩固新知。
说一说，写一写：
1. 如图，∠1=∠2=∠3。填空：
⑴ ∵ ∠1=∠2( )
∴ ∥ ( )
⑵ ∵∠2=∠3( )
∴ ∥ ( )
2.如图，已知直线l1、l2被直线l3所截，∠1+∠2=1800。请说明l1与l2平行的理由。
练习的安排遵循了由浅入深的原则，让学生在观察后再动手。
说明：练习1由学生个别回答，其他学生更正，教师作注意点补充;练习2由3名学生板演，其余学生同练，对于个别基础差的学生在巡视时可做提示，最后集体批阅。
因为我所面向的是乡镇中学的学生，学生总体的素养相比较市直属学校的学生来说是有一定的距离的，所以我在对练习的选取上都是按照教材上的课内练习，我想教材之所以为教材总是有他一定的科学性和可取性。当然对于好的学校或者是学有余力的学生，可以给学生做适当的提高，数学原本就是来源于生活，而又高于生活，反过来它又可以帮我们解决很多的实际问题。因此在编排题目的时候我也特意找了关于这方面的题目，让学生在一种实际的背景中去应用所学的知识。那么对这两道题我们可以根据自己授课的情况随机来定，课内有时间，可以让同桌进行讨论，共同完成;假使时间不够的话可以留给学生在课后思索，但是不作强制要求。
附加题：
⑴小明和小刚分别在河两岸，每人手中各有两根表杠和一个侧角仪，他们应该怎样判断两岸是否平行(设河岸是两条直线)?你能帮他们想想办法吗?
⑵一个合格的弯行管道，当 ∠c=600，∠b= 时，才能在经历两次拐弯后保持平行(ab∥cd)。请写出理由。
5.知识整理，归纳小结
用问题的形式引发学生思索本节课的收获
提醒学生在这两方面思考：
⑴在实验、合作、探究的过程中我们的收获……
⑵如果要判定两直线平行时，我们可以联想到……
6.布置作业 ：
结合教材上的课外练习与浙教版作业本，选择适当的作业题，避免重复。
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