10.3解二元一次方程组（通用15篇）
一.教学目标(一)教学知识点1.代入消元法解二元一次方程组.2.解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”的化归思想.(二)能力训练要求1.会用代入消元法解二元一次方程组.2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.(三)情感与价值观要求1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，提高学习数学的信心.2.培养学生合作交流，自主探索的良好习惯.二.教学重点1.会用代入消元法解二元一次方程组.2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想.三.教学难点1.“消元”的思想.2.“化未知为已知”的化归思想.四.教学方法启发——自主探索相结合.教师引导学生回忆一元一次方程解决实际问题的方法并从中启发学生如果能将二元一次方程组转化为一元一次方程.二元一次方程便可获解，从而通过学生自主探索总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.五.教具准备投影片两张：第一张：例题(记作§7.2 a)；第二张：问题串(记作§7.2 b).六.教学过程ⅰ.提出疑问，引入新课［师生共忆］上节课我们讨论过一个“希望工程”义演的问题；没去观看义演的成人有x个，儿童有y个，我们得到了方程组 成人和儿童到底去了多少人呢？［生］在上一节课的“做一做”中，我们通过检验 是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程组解的定义得出 是方程组 的解.所以成人和儿童分别去了5个人和3个人.［师］但是，这个解是试出来的.我们知道二元一次方程的解有无数个.难道我们每个方程组的解都去这样试？［生］太麻烦啦.［生］不可能.［师］这就需要我们学习二元一次方程组的解法.ⅱ.讲授新课［师］在七年级第一学期我们学过一元一次方程，也曾碰到过“希望工程”义演问题，当时是如何解的呢？［生］解：设成人去了x个，儿童去了(8－x)个，根据题意，得：5x+3(8－x)=34解得x=5将x=5代入8－x=8－5=3答：成人去了5个，儿童去了3个.［师］同学们可以比较一下：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？［生］列二元一次方程组设出有两个未知数成人去了x个，儿童去了y个.列一元一次方程设成人去了x个，儿童去了(8－x)个.y应该等于(8－x).而由二元一次方程组的一个方程x+y=8根据等式的性质可以推出y=8－x.［生］我还发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相比较，把5x+3y=34中的“y”用“8－x”代替就转化成了一元一次方程.［师］太好了.我们发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识转化为旧知识便可.如何转化呢？［生］上一节课我们就已知道方程组的两个未知数所包含的意义是相同的.所以将 中的①变形，得y=8－x ③我们把y=8－x代入方程②，即将②中的y用8－x代替，这样就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”.［师］这位同学很善于思考.他用了我们在数学研究中“化未知为已知”的化归思想，从而使问题得到解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.解： 由①得 y=8－x ③将③代入②得5x+3(8－x)=34解得x=5把x=5代入③得y=3.所以原方程组的解为 下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.［师生共析］解二元一次方程组： 分析：我们解二元一次方程组的第一步需将其中的一个方程变形用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，把表示了的未知数代入未变形的方程中，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程.解：由①得x=2+y ③将③代入②得(2+y)+1=2(y－1)解得y=5把y=5代入③，得x=7.所以原方程组的解为 即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹.［师］在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入第二个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”而得到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.这种解二元一次方程组的思想为消元思想.我们再来看两个例子.出示投影片(§7.2 a)［例题］解方程组(1) (2) (由学生自己完成，两个同学板演).解：(1)将②代入①，得3× +2y=83y+9+4y=167y=7y=1将y=1代入②，得x=2所以原方程组的解是 (2)由②，得x=13－4y ③将③代入①，得2(13－4y)+3y=16－5y=－10y=2将y=2代入③，得x=5所以原方程组的解是 ［师］下面我们来讨论几个问题：出示投影片(§7.2 b)(1)上面解方程组的基本思路是什么？(2)主要步骤有哪些？(3)我们观察例1和例2的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法)［生］我来回答第一问：解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.［生］我们组总结了一下解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，把它变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数.第二步：把表示另一个未知数的代数式代入没有变形的另一个方程，可得一个一元一次方程.第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.第五步：用“{”把原方程组的解表示出来.第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)把求得的解代入每一个方程看是否成立.［师］这个组的同学总结的步骤真棒，甚至连我们平时容易忽略的检验问题也提了出来，很值得提倡.在我们数学学习的过程中，应该养成反思自己解答过程，检验自己答案正确与否的习惯.［生］老师，我代表我们组来回答第三个问题.我们认为用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的分数是1的方程进行变形；若未知数的系数都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.但我们也有一个问题要问：在例2中，我们选择②变形这是无可厚非的，把②变形后代入①中消元得到的是一元一次方程系数都为整数也较简便.可例1中，虽然可直接把②代入①中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不简便，有没有更简捷的方法呢？［师］这个问题提的太好了.下面同学们分组讨论一下.如果你发现了更好的解法，请把你的解答过程写到黑板上来.［生］解：由②得2x=y+3 ③③两边同时乘以2，得4x=2y+6 ④由④得2y=4x－6把⑤代入①得3x+(4x－6)=8解得7x=14,x=2把x=2代入③得y=1.所以原方程组的解为 ［师］真了不起，能把我们所学的知识灵活应用，而且不拘一格，将“2y”整体上看作一个未知数代入方程①，这是一个“科学的发明”.ⅲ.随堂练习课本p1921.用代入消元法解下列方程组解：(1) 将①代入②，得x+2x=12x=4.把x=4代入①，得y=8所以原方程组的解为 (2) 将①代入②，得4x+3(2x+5)=65解得x=5把x=5代入①得y=15所以原方程组的解为 (3) 由①，得x=11－y ③把③代入②，得11－y－y=7y=2把y=2代入③，得x=9所以原方程组的解为 (4) 由②，得x=3－2y ③把③代入①，得3(3－2y)－2y=9得y=0把y=0代入③，得x=3所以原方程组的解为 注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，不必强调解答过程统一.ⅳ.课时小结这节课我们介绍了二元一次方程组的第一种解法——代入消元法.了解到了解二元一次方程组的基本思路是“消元”即把“二元”变为“一元”.主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程的解.ⅴ.课后作业1.课本习题7.22.解答习题7.2第3题ⅵ.活动与探究已知代数式x2+px+q,当x=－1时，它的值是－5；当x=－2时，它的值是4,求p、q的值.过程：根据代数式值的意义，可得两个未知数都是p、q的方程，即当x=－1时，代数式的值是－5，得(－1)2+(－1)p+q=－5 ①当x=－2时，代数式的值是4，得(－2)2+(－2)p+q=4 ②将①、②两个方程整理，并组成方程组 解方程组，便可解决.结果：由④得q=2p把q=2p代入③，得－p+2p=－6解得p=－6把p=－6代入q=2p=－12所以p、q的值分别为－6、－12.七.板书设计
§7.2 解二元一次方程组(一)一、“希望工程”义演二、“谁的包裹多”问题三、例题四、解方程组的基本思路：消元即二元—→一元五、解二元一次方程组的基本步骤
教学目标：1. 能熟练地用代入消元法解简单的二元一次方程组2. 从解方程的过程中体会转化的思想方法教学重点：用代入消元法解二元一次方程组教学难点：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数教学过程：一、情境创设根据篮球比赛规则；赢一场得2分，平一场得1分，在某次中学篮球联赛中，某球队赛了12场，赢了x场，输了y场，共各20分.可以得出方程组： x+y=12 2x+y=20（学生思考，列出方程）二、新课讲授如何解上面的二元一次方程组呢？ x+y=12 ①2x+y=20 ②(学生主动探索，尝试，体会消元的方法)解：由①得：y=12-x ③将③ 代入②得： 2x+12x-x=20解这个二元一次方程，得x=8将x=8代入③，得y=4所以原方程组的解是 x=8y=4注：①二元一次方程组的解是一对数值，而不是一个单纯的x值或y值.②算出结果后要做心算检验，以养成习惯问题：（引导思维拓展）①你是如何解方程组的？②每一步的依据是什么？③还有其它的方法吗？（能否通过消去x解方程？）代入消元法：将方程组的一个方程中的某个未知数据用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法，称为代入消元法，简称代入法.（学生归纳、总结、并理解）点评：用代入消元法解二元一次方程组方法不唯一，比如：上题中也可以用y来表示x，通过消去x 来解方程.即：由①得：x=12-y……③，将③代入②得……即使用x来表示y，方法也不是唯一的，可以由①得y=12-x，也可以由②得y=20-2x……三、例题教学：解方程组 x+3y=0 3x+2y=92(板书示范，学生思考回答)步骤1.用一个未知数表示另一个未知数；2.将表示后的未知数代入方程；3.解此方程4.求方程组的一对解.四、学生练习p110 1、2、3（学生板演）五、拓展延伸1.解方程组 3x=1-2y3x+4y=-7（整体代入法）2.已知 x+y=k 2x+3y=k六、课时小结：1. 用代入法解二元一次方程组的步骤？2. 任意一个二元一次方程都能用代入消元法解吗？举例说明.七、作业p112 1、（1）（4） 2、3、
10.3 解二元一次方程组（二）教学目标：1. 会用加减消元法解二元一次方程组.2. 能根据方程组的特点，适当选用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组.3. 了解解二元一次方程组的消元方法，经历从“二元”到“一元”的转化过程，体会解二元一次方程组中化“未知”为“已知”的“转化”的思想方法.教学重点：加减消元法的理解与掌握教学难点：加减消元法的灵活运用教学方法：引导探索法，学生讨论交流教学过程：一、情境创设买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需要23元，买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元，每瓶苹果汁和每瓶橙汁售价各是多少？设苹果汁、橙汁单价为x元，y元.我们可以列出方程 3x+2y=23 5x+2y=33问：如何解这个方程组？二、探索活动活动一：1、上面“情境创设”中的方程，除了用代入消元法解以外，还有其他方法求解吗？2、这些方法与代入消元法有何异同？3、这个方程组有何特点？解法一： 3x+2y=23① 5x+2y=33②由①式得 ③把③式代入②式33解这个方程得： y=4把y=4代入③式则 所以原方程组的解是 x=5y=4解法二： 3x+2y=23① 5x+2y=33②由①—②式：3x+2y-(5x+2y)=23-333x-5x=-10解这个方程得： x=5把x=5代入①式，3×5+2y=23解这个方程得 y=4 所以原方程组的解是 x=5y=4 把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法(elimination by addition or subtraction) ，简称加减法.三、例题教学：例1.解方程组 x+2y=1① 3x-2y=5②解：①+②得，4x=6 将 代入①，得解这个方程得： 所以原方程组的解是 巩固练习(一)：练一练 1.(1)例2.解方程组 5x-2y=4① 2x-3y=-5②解：①×3，得15x-6y=12③②×3，得4x-6y=-10 ④③—④，得： 11x=22 解这个方程得 x=2将x=2代入①，得5×2-2y=4解这个方程得： y=3所以原方程组的解是 x=2y=3巩固练习(二)：练一练 1.(2) (3) (4) 2.四、思维拓展：解方程组： 五、小结：1、掌握加减消元法解二元一次方程组2、灵活选用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组六、作业习题10.3 1.(3) (4) 2.
教学建议
1.教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：本小节的重点是使学生学会.这也是一种全新的知识，与在一元一次方程两边都加上、减去同一个数或同一个整式，或者都乘以、除以同一个非零数的情况是不一样的，但运用这项知识（这里也表现为一种方法），有时可以简捷地求出二元一次方程组的解，因此学生同样会表现出一种极大的兴趣.必须充分利用学生学会这种方法的积极性.加减（消元）法是解二元一次方程组的基本方法之一，因此要让学生学会，并能灵活运用.这种方法同样是解三元一次方程组和某些二元二次方程组的基本方法，在教学中必须引起足够重视.
难点：灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便，这也要通过一定数量的练习来解决.
2.教法建议
（1）本节是通过一个引例，介绍了加减法解方程组的基本思想和解题过程.教学时，要引导学生观察这个方程组中未知数系数的特点.通过观察让学生说出，在两个方程中y的系数互为相反数或在两个方程中x的系数相等，让学生自己动脑想一想，怎么消元比较简便，然后引出加减消元法.
（2）讲完加减法后，课本通过三个例题加以巩固，这三个例题是由浅入深的，讲解时也要先让学生观察每个方程组未知数系数的特点，然后让学生说出每个方程组的解法，例题1老师自己板书，剩下的两个例题让学生上黑板板书，然后老师点评.
（3）讲解完本节后，教师应引导学生比较代入法与加减法这两种方法，这两种方法虽有不同，但实质都是消元，即通过消去一个未知数，把“二元”转化为“一元”.也就是说：
这时学生对解题方法比较熟悉，但还没有上升到理论的高度，这时教师应及时点拨、渗透化归转化的思想，并指出这是具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法.
教学设计示例
（第一课时）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1.使学生掌握的步骤.
2.能运.
（二）能力训练点
1.培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.训练学生的运算技巧.
（三）德育渗透点
消元，化未知为已知的转化思想.
（四）美育渗透点
渗透化归的数学美.
二、学法引导
1.教学方法：谈话法、讨论法.
2.学生学法：观察各未知量前面系数的特征，只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值后即可利用加减法进行消元，同时在运算中注意归纳解题的技巧和解题的方法.
三、重点、难点、疑点及解决办法
（－）重点
使学生学会.
（二）难点
灵活运用加减消元法的技巧.
（三）疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”.
（四）解决办法
只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪、胶片.
六、师生互动活动设计
1.教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗？从而导入 新课即加减法解二元一次方程组.
2.通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性.
3.通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论.
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课通过复习代入法从而引入另一种消元的办法，即加减法解二元一次方程组.
（二）整体感知
加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元.故在教学中应反复教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题.
（三）教学过程
1.创设情境，复习导入
（1）用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？
（2）用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确.
学生活动：口答第（1）题，在练习本上完成第（2）题，一个同学说出结果.
上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解.对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容.
【教法说明】由练习导入 新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程 中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题.
2.探索新知，讲授新课
第（2）题的两个方程中，未知数 的系数有什么特点？（互为相反数）根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉 ，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.
解：①＋②，得
把 代入①，得
∴
∴
学生活动：比较用这种方法得到的 、 值是否与用代入法得到的相同.（相同）
上面方程组的两个方程中，因为 的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了 .观察一下， 的系数有何特点？（相等）方程①和方程②经过怎样的变化可以消去 ？（相减）
学生活动：观察、思考，尝试用①－②消元，解方程组，比较结果是否与用①＋②得到的结果相同.（相同）
我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解.像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”.
提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？（加减法）
②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）
③什么条件下用加法、什么条件下用减法？（某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法）
【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性.
例1 解方程组
哪个未知数的系数有特点？（ 的系数相等）把这两个方程怎样变化可以消去 ？（相减）
学生活动：回答问题后，独立完成例1，一个学生板演.
解：①－②，得
∴
把 代入②，得
∴
∴
∴
（1）检验一下，所得结果是否正确？
（2）用②－①可以消掉 吗？（可以）是用①－②，还是用②－①计算比较简单？（①－②简单）
（3）把 代入①， 的值是多少？（ ），是代入①计算简单还是代入②计算简单？（代入系数较简单的方程）
练习：P23 l.（l）（2）（3），分组练习，并把学生的解题过程在投影仪上显示.
小结：的条件是某个未知数的系数绝对值相等.
例2 解方程组
（1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？（不符合）
（2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？（①×2或②×3）
归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边部乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元.
学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示.
学生活动：总结的步骤.
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等.
②加减消元.
③解一元一次方程.
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解.
3.尝试反馈，巩固知识
练习：P23 1.（4）（5）.
【教法说明】通过练习，使学生熟练地并能在练习中摸索运算技巧，培养能力.
4.变式训练，培养能力
（1）选择：二元一次方程组 的解是（ ）
A. B. C. D.
（2）已知 ，求 、 的值.
学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成.
【教法说明】第（1）题可以用解方程组的方法得解，也可以把四组值分别代入原方程组中，利用检验的方法解，这道题能训练学生思维的灵活性；第（2）题通过分析，学生可得方程组 从而求得 、 的值.此题可以培养学生分析问题，解决问题的综合能力.
（四）总结、扩展
1.的思想：
2.的条件：某一未知数系数绝对值相等.
3.的步骤：
八、布置作业
（一）必做题：P24 1.
（二）选做题：P25 B组1.
（三）预习：下节课内容.
参考答案
（一）（1） （2） （3） （4）
（二）1.（1）与（4） （2）与（3）
教学建议
一、重点、难点分析
本节的教学重点是使学生学会用代入法.教学难点在于灵活运用代入法，这要通过一定数量的练习来解决；另一个难点在于用代入法求出一个未知数的值后，不知道应把它代入哪一个方程求另一个未知数的值比较简便.
解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”.我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解.
二、知识结构
三、教法建议
1.关于检验方程组的解的问题.教材指出：“检验时，需将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是不是相等.”教学时要强调“原方程组”和“每一个”这两点.检验的作用，一是使学生进一步明确代入法是求方程组的解的一种基本方法，通过代入消元的确可以求得方程组的解二是进一步巩固二元一次方程组的解的概念，强调
这一对数值才是原方程组的解，并且它们必须使两个方程左、右两边的值都相等；三是因为我们没有用方程组的同解原理而是用代换（等式的传递）来解方程组的，所以有必要检验求出来的这一对数值是不是原方程组的解；四是为了杜绝变形和计算时发生的错误.检验可以口算或在草稿纸上演算，教科书中没有写出.
2.教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”.我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解.早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性.
3.教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深.随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易.这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误.
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1.掌握的步骤.
2.熟练运用代入法解简单的二元一次方程组.
（二）能力训练点
1.培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形.
2.训练学生的运算技巧，养成检验的习惯.
（三）德育渗透点
消元，化未知为已知的数学思想.
（四）美育渗透点
通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美.
二、学法引导
1.教学方法：引导发现法、练习法，尝试指导法.
2.学生学法：在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法.
三、重点、难点、疑点及解决办法
（－）重点
使学生会.
（二）难点
灵活运用代入法的技巧.
（三）疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”.
（四）解决办法
一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形：
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
电脑或投影仪、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量，并比较哪种表示形式更简单，如 等.
2.通过课本中香蕉、苹果的应用问题，引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组，并通过比较、尝试，探索出化二元为一元的解方程组的方法.
3.再通过比较、尝试，探索出选一个系数较简单的方程变形，通过代入法求方程组解的办法更简便，并寻找出求解的规律.
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课我们将学习用代入法求二元一次方程组的解.
（二）整体感知
从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法，从而导入 运用代入法化二元为一元方程的求解过程，即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法.
（三）教学步骤
1.创设情境，复习导入
（1）已知方程 ，先用含 的代数式表示 ，再用含 的代数式表示 .并比较哪一种形式比较简单.
（2）选择题：
二元一次方程组 的解是
A. B. C. D.
【教法说明】 第（1）题为打下基础；第（2）题既复习了上节课的重点，又成为导入 新课的材料.
通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解.那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习.
这样导入 ，可以激发学生的求知欲.
2.探索新知，讲授新课
香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？
学生活动：分别列出一元一次方程和二元一次方程组，两个学生板演.
设买了香蕉 千克，那么苹果买了 千克，根据题意，得
设买了香蕉 千克，买了苹果 千克，得
上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢，由方程①可以得到 ③，把方程②中的 转换成 ，也就是把方程③代入方程②，就可以得到 .这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出 了.
解：由①得： ③
把③代入②，得：
∴
把 代入③，得：
∴
【教法说明】解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程，这对于学生知识的形成十分重要.
上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法.你能简单说说的基本思路吗？
学生活动：小组讨论，选代表发言，教师进行指导.纠正后归纳：设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程.
例1 解方程组
（1）观察上面的方程组，应该如何消元？（把①代入②）
（2）把①代入②后可消掉 ，得到关于 的一元一次方程，求出 .
（3）求出 后代入哪个方程中求 比较简单？（①）
学生活动：依次回答问题后，教师板书
解：把①代入②，得
∴
把 代入①，得
∴
如何检验得到的结果是否正确？
学生活动：口答检验.
教师：要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中.
【教法说明】给出例1后提出的三个问题，恰好是学生的思维过程，明确了解题思路；教师板演例1，规范了解二元一次方程组的解题格式；通过检验，可使学生养成严谨认真的学习习惯.
例2 解方程组
要把某个方程化成如例1中方程①的形式后，代入另一个方程中才能消元.方程②中 的系数是1，比较简单.因此，可以先将方程②变形，用含 的代数式表示 ，再代入方程①求解.
学生活动：尝试完成例2.
教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化.
解：由②，得 ③
把③代入①，得
∴
∴
把 代入③，得
∴
∴
检验后，师生共同讨论：
（1）由②得到③后，再代入②可以吗？（不可以）为什么？（得到的是恒等式，不能求解）
（2）把 代入①或②可以求出 吗？（可以）代入③有什么好处？（运算简便）
学生活动：根据例1、例2的解题过程，尝试总结的一般步骤，讨论后选代表发言.之后，看课本第12页，用几个字概括每个步骤.
教师板书：
（1）变形（ ）
（2）代入消元（ ）
（3）解一元一次方程得（ ）
（4）把 代入 求解
练习：P13 1.（1）（2）；P14 2.（1）（2）.
3.变式训练，培养能力
①由 可以得到用 表示 .
②在 中，当 时， ；当 时， ，则 ； .
③选择：若 是方程组 的解，则（ ）
A. B. C. D.
（四）总结、扩展
1.解二元一次方程组的思想： .
2.的步骤.
3.的技巧：①变形的技巧②代入的技巧.
通过这节课的学习，我们要熟练运，并能检验结果是否正确.
八、布置作业
（一）必做题：P15 1.（2）（4），2.（1）（2）（3）（4）.
（二）选做题：P15 B组1.
参考答案
（一）1.（2） （4）
2.（1） （2） （3） （4）
（二） ，
一、内容分析
1.1学习任务分析：二元一次方程、二元一次方程的解、二元一次方程组、二元一次方程组的解，是本节课的核心概念。它既是一元一次方程的延续，又是三元一次方程组的基础。
1.2学生情况分析：就方程而言，初一学生已有一元一次方程的有关知识。所以本节课将引导学生自己发现新的方程并尝试通过类比“发现”有关新概念，使学生逐步建立方程的知识体系。但对学生来说二元一次方程组的解的表达形式是陌生的，对他们来说正确写出解并理解其含义具有一定的难度。
二、学习目标设计
知识目标：使学生掌握二元一次方程、二元一次方程的解、二元一次方程组、二元一次方程组的解的概念。能辨别那些是二元一次方程（组），并能正确的写出他们的解
能力目标：通过尝试命名新方程、尝试“发明”有关概念，培养学生知识移的能力，并从初一开始养成建立知识体系的习惯。通过学生自己设计问题，充分发挥其主体性，培养创新意识。
情感目标：体验数学发现中的快乐，激发学生自主学习的乐趣。
重点 二元一次方程(组)及二元一次方程(组)的解的概念。
难点 理解、判断二元一次方程(组)的解,并能用正确的形式表达二元一次方程（组）的解。
三、课堂结构设计
动手实验，引导学生发现问题（课题）、尝试命名和定义
练习反馈
结合实验，引导学生设计问题并发现方程组
练习反馈
引导学生在巩固中更好的理解概念
分层练习，引导学生积极探索
回归实验，学生完善自己的设计
四、教学媒体设计
充分利用PPT演示文稿的高效性、板书的实效性和可留性以及事物演示的直观性，将它们有机结合，各取其长。
五、教学过程设计
5.1动手实验，引导学生发现问题（课题）、尝试命名和定义。
实验情境：请学生将手中40厘米长的绳子绷成一个长方形。（课前结已打好，所占长度忽略不计）
相互交流：学生相互交流所绷成的长方形是否完全相同，有何异同之处。
（异：各自的长和宽不同；同：周长都是40厘米。）得出实验结论：周长为40厘米的长方形有无数个。（同时借助多媒体演示实验过程与结论）
引出课题：如果宽设为x厘米，长设为y厘米，你能发现x和y的关系么？（x+y=20）。学生会感觉这个式子既熟悉又陌生。熟悉的是这是个方程，陌生的是它是什么方程。引导学生将它与已学的一元一次方程作比较，（未知数的个数不同），进而请学生尝试给这样的方程命名，并给出命名的理由。（二元一次方程）。引出课题。并且由学生仿照一元一次方程的定义尝试定义二元一次方程。
二元一次方程的解：请学生说出二元一次方程的解的定义，（使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值）。强调是两个未知数的值。
就x+y=20这个方程而言，它的解是多少呢？学生发现有无数个，
如x=1，y=19；x=2，y=18；通过设问x=1时，y还能取什么值？让学生理
解虽有无数个解，但x和y是相互制约的.，所以前面要加 ， x=1 这
y=19
一对值就是这个二元一次方程的一个解。并请学生规范的写出一些解。
这无数个解都适合这个长方形问题么？学生讨论后可得出，负数不行，小数可以，所以长方形问题仍然是无数个解，从而用方程解的知识解释了实验的结论。
最终用数学知识解释了实验的结论。
设计说明：实验与二元一次方程相对应，实验的结果与二元一次方程的无数个解相对应。每位学生都参与到实验中，用心感受x、y间的关系，激发探索数学知识的乐趣。并且这个实验将作为一条主线贯穿整个课堂。
学生自己发现、命名二元一次方程以及概念的知识基础是一元一次方程，知识迁移的要求不高，具有可行性。
练习1：下列哪些是二元一次方程，哪些不是？
① ②
③ ④
学生回答，并紧扣定义说明理由。
设计说明：牢抓二元、一次、方程三个关键词，设计问题，及时巩固定义。
请学生一元一次方程和二元一次方程的区别和联系。
练习2：写出二元一次方程 y-x=10 的一些解。
设计说明：在讲解解的问题中有三个关键点：1、二元一次方程的解有无数个；2、每一个解由x和y这一对相互制约的值组成；3、解的书写格式。并通过练习反馈掌握情况。
5.2结合实验，引导学生设计问题并发现方程组。
5.2.1二元一次方程组的定义
周长为40厘米的长方形有无数个，若希望这道题的答案是一个而不是无数个，请学生想办法满足我的要求。（小组讨论）
从学生设计出的众多问题中选一个讲解，若加条件：长比宽长10厘米。
此时长y宽x需要同时满足x+y=20和y-x=10，如何在书写上体现“同时”呢？
x+y=20
前面加上 ， 请学生给 y-x=10 命名。（二元一次方程组）并给出定义
像这样，把两个二元一次方程合在一起就组成了二元一次方程组。
设计说明：仍通过原来的实验，自然引出二元一次方程组。
练习3：下列方程组中是二元一次方程组的有
（1） （2） （3） （4）
学生分析前三个，对第（4）个展开讨论
把两个二元一次方程合在一起是二元一次方程组，但二元一次方程组不一
定都是这样，如第（4）个方程组中共有两个未知数，未知数的指数都是1，它也是二元一次方程组。（强调是方程组中的未知数共2个）
练习4：判断下列方程组是否是二元一次方程组：
x=2 x+y=5
y=－1 2y－3z=1
设计意图：因为书上给出的定义是描述性定义，为了避免学生理解上产生偏差，特设计这一组练习，以强调所谓二元即指整个方程组中共含有两个未知数。
5.2.2二元一次方程组的解
研究方程组 x+y=20 的解。
y-x=10
在分别研究了这两个方程解的基础上，请学生对它们所组成方程组的解各抒己见，最终达成共识：把两个二元一次方程的公共解称为二元一次方程组的解。并发现找公共解麻烦， 下课前告诉学生有快速求解的方法。
设计意图：激发学生的好奇心和探索欲望。
5.3学会，引导学生在巩固中更好的理解概念。
至此长方形问题圆满解决，满足这个条件的长方形只有一个：长15厘米，宽5厘米。在解决这个问题的过程中学了一些新的知识，二元一次方程，二元一次方程的解，二元一次方程组，二元一次方程组的解。
练习5：方程组 的解是（ ）
（强调公共解）
练习6：写一个解为 的二元一次方程。
变： 写一个解为 的二元一次方程组。
练习7：就实验中的长方形问题，每位学生完整的写出设计的题目，并解答。
设计说明：练习5 巩固二元一次方程组的解的定义；
练习6 锻炼学生逆向思维的能力；
练习7 由于在刚刚设计中只采纳了一位学生的设计，现在展示自我的机会，并且通过这个问题巩固全课的知识，前后呼应。
5.4课后作业：
必做题：94页 练习、95页1、2。
选做题：95页 综合运用3、4；
探索解二元一次方程组的方法。
六、教学设计
考虑本节课概念多的特点，所以在每个概念的给出后都设立了一个小练习，以反馈学生的掌握情况，便于及时发现问题解决问题。在设置的练习中除了检查对基本知识的掌握，同时重视学生的思维训练，并通过开放题等培养学生的创新意识。
一、 关于教材地位和作用的分析
《 二元一次方程组的解法（5）》是在前面学习了列一元一次方程解应用题及二元一次方程组的解法（代入消元法和加减消元法）基础上的一节综合实际应用课。借助二元一次方程组解决一些简单的实际问题，这是数学联系实际的一个重要方面。对于含有多个未知数的实际问题，利用方程组去解决，其分析方法和解题步骤与列一元一次方程类似，而在列方程方面常比列一元一次方程容易些。教材在让学生在掌握了二元一次方程组的解法后，再次体验二元一次方程组与现实生活的联系和作用。通过本节课的教学，可使学生领悟到数学来源与实践，又反过来作用于实践的辨证唯物主义思想。这对学生进一步学习数学，将起到积极的作用。
二、 关于教学目标的确定
（一） 目标分析
知识和技能目标：
1、 会根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组及求解
2、 能检验结果是否符合实际意义
过程和方法目标
1、 通过使用代数中的方程去反映现实中的相等关系，体会代数方法的优越性
2、 在列方程组解应用题的过程中，体会列方程组往往比列一元一次方程容易。
3、 通过解应用题的学习，渗透把未知转化为已知的辨证思想，从而培养学生分析问题和解决问题的能力
情感与态度目标
1、 学生在与同伴交流的学习过程中，形成良好的学习方式和学习态度，树立学习数学的自信心。
2、 通过列方程组解应用题的学习，认识到数学的价值。
（二） 重难点分析
教学重点：根据实际问题的数量关系，找出两个等量关系，列出二元一次方程组。
教学难点：正确找出两个实际问题中的两个等量关系，并把他们列成两个方程。
难点突破采取的措施：
1、 可多种方法解决的实际问题引入，然后由师生共同寻找两个等量关系，多次体验列二元一次方程组解决实际问题的优越性
2、 用填空和选择的多种题型来寻找题目中的等量关系
3、 例题中两个问题将它们分列开，将难点分散
三、 关于教学方法的说明
从一题多解的和尚吃馒头的引入开始，引导学生寻找等量关系，在合作中寻找解题途径，教师在此过程中做好一个组织者，合作者，引导者的作用，关注学生在此过程中的生命成长。帮助学生在方程探案中寻找等量关系，然后找到等量关系后，让学生尝试根据等量关系来列二元一次方程组解决问题，接着让学生在填空和选择中寻找等量关系，列方程组，最后是课本例题的教学，让学生自己寻找问题和分析问题，课外，让学生自己编题，领悟方法，这种教学方法符合以下教育过程的规律：
1、 遵循由旧引新，由浅入深，由特殊到一般再到特殊。体现掌握知识和发展智力相统一的规律。
2、 创设问题情境，教师不断启发和引导学生思考，由易到难，化整为简，体现教师在教学过程中的组织者、合作者和引导者的作用。
（二）学法分析
这种教学方法实际上也教给了学生一种学习方法，使学生学会观察，注意生活中的实际问题，学会自己探究知识分析问题，解决问题，学会寻找、发现，学会归纳总结，逐步掌握获取知识的能力。
（三）教学手段
通过多媒体辅助教学，扩大教学容量，提高课堂教学效率。
四、 关于教学过程的设计。
（一） 导入设计
先用轻松的师生对白，让学生进入问题，讨论多种方法解决实际问题，激活学生的思维细胞，让学生进入学习的状态，通过体验新知识的优越性，激发学生学习新知识的积极性。
（二） 尝试练习
通过导入中的体验，让学生初步尝试解决问题的能力，在此过程中，有学生成功了，他们尝到了学习新知识的一种成就感，有学生失败了，鼓励他们继续学习，培养克服困难的信心和勇气。
尝试练习
1、方程探案记： 你知道盗贼如何分赃吗
一帮强盗抢来一批布匹，躲在了树林里分赃，由于傍晚天色太黑，看不清他们有多少人，只听见带头的一个强盗喊着说：“每人分布六匹，还剩5匹，每人分布7匹，又少8匹。“请你根据他的说话声来判断，究竟有多少强盗，多少布匹？
大家一起探讨
（三） 范例设计
通过对课本例题的难点进行分解，把一个较复杂的问题，分解成两个小问题，将难点分解。
某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售。该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨。现计划用15天完成加工任务。
问：1、该公司应安排几天粗加工，几天精加工， 才能按期完成任务？
2、如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为20__元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
（四）反馈练习
通过多种题型：填空、选择及问答的多种形式，培养学生从多角度地分析问题、解决问题的能力。最后，让学生根据课题来自编应用题，体现了数学在实际中的应用价值。
（五） 归纳小结
教师启发，学生归纳列二元一次方程组解应用题的一般步骤和方法。
教学建议
1.教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：本小节的重点是使学生学会.这也是一种全新的知识，与在一元一次方程两边都加上、减去同一个数或同一个整式，或者都乘以、除以同一个非零数的情况是不一样的，但运用这项知识（这里也表现为一种方法），有时可以简捷地求出二元一次方程组的解，因此学生同样会表现出一种极大的兴趣.必须充分利用学生学会这种方法的积极性.加减（消元）法是解二元一次方程组的基本方法之一，因此要让学生学会，并能灵活运用.这种方法同样是解三元一次方程组和某些二元二次方程组的基本方法，在教学中必须引起足够重视.
难点：灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便，这也要通过一定数量的练习来解决.
2.教法建议
（1）本节是通过一个引例，介绍了加减法解方程组的基本思想和解题过程.教学时，要引导学生观察这个方程组中未知数系数的特点.通过观察让学生说出，在两个方程中y的系数互为相反数或在两个方程中x的系数相等，让学生自己动脑想一想，怎么消元比较简便，然后引出加减消元法.
（2）讲完加减法后，课本通过三个例题加以巩固，这三个例题是由浅入深的，讲解时也要先让学生观察每个方程组未知数系数的特点，然后让学生说出每个方程组的解法，例题1老师自己板书，剩下的两个例题让学生上黑板板书，然后老师点评.
（3）讲解完本节后，教师应引导学生比较代入法与加减法这两种方法，这两种方法虽有不同，但实质都是消元，即通过消去一个未知数，把“二元”转化为“一元”.也就是说：
这时学生对解题方法比较熟悉，但还没有上升到理论的高度，这时教师应及时点拨、渗透化归转化的思想，并指出这是具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法.
教学设计示例
（第一课时）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1.使学生掌握的步骤.
2.能运.
（二）能力训练点
1.培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.训练学生的运算技巧.
（三）德育渗透点
消元，化未知为已知的转化思想.
（四）美育渗透点
渗透化归的数学美.
二、学法引导
1.教学方法：谈话法、讨论法.
2.学生学法：观察各未知量前面系数的特征，只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值后即可利用加减法进行消元，同时在运算中注意归纳解题的技巧和解题的方法.
三、重点、难点、疑点及解决办法
（－）重点
使学生学会.
（二）难点
灵活运用加减消元法的技巧.
（三）疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”.
（四）解决办法
只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪、胶片.
六、师生互动活动设计
1.教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗？从而导入 新课即加减法解二元一次方程组.
2.通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性.
3.通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论.
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课通过复习代入法从而引入另一种消元的办法，即加减法解二元一次方程组.
（二）整体感知
加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元.故在教学中应反复教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题.
（三）教学过程
1.创设情境，复习导入
（1）用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？
（2）用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确.
学生活动：口答第（1）题，在练习本上完成第（2）题，一个同学说出结果.
上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解.对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容.
【教法说明】由练习导入 新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题.
2.探索新知，讲授新课
第（2）题的两个方程中，未知数 的系数有什么特点？（互为相反数）根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉 ，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.
解：①＋②，得
把 代入①，得
∴
∴
学生活动：比较用这种方法得到的 、 值是否与用代入法得到的相同.（相同）
上面方程组的两个方程中，因为 的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了 .观察一下， 的系数有何特点？（相等）方程①和方程②经过怎样的变化可以消去 ？（相减）
学生活动：观察、思考，尝试用①－②消元，解方程组，比较结果是否与用①＋②得到的结果相同.（相同）
我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解.像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”.
提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？（加减法）
②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）
③什么条件下用加法、什么条件下用减法？（某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法）
【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性.
例1 解方程组
哪个未知数的系数有特点？（ 的系数相等）把这两个方程怎样变化可以消去 ？（相减）
学生活动：回答问题后，独立完成例1，一个学生板演.
解：①－②，得
∴
把 代入②，得
∴
∴
∴
（1）检验一下，所得结果是否正确？
（2）用②－①可以消掉 吗？（可以）是用①－②，还是用②－①计算比较简单？（①－②简单）
（3）把 代入①， 的值是多少？（ ），是代入①计算简单还是代入②计算简单？（代入系数较简单的方程）
练习：P23 l.（l）（2）（3），分组练习，并把学生的解题过程在投影仪上显示.
小结：的条件是某个未知数的系数绝对值相等.
例2 解方程组
（1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？（不符合）
（2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？（①×2或②×3）
归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边部乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元.
学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示.
学生活动：总结的步骤.
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等.
②加减消元.
③解一元一次方程.
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解.
3.尝试反馈，巩固知识
练习：P23 1.（4）（5）.
【教法说明】通过练习，使学生熟练地并能在练习中摸索运算技巧，培养能力.
4.变式训练，培养能力
（1）选择：二元一次方程组 的解是（ ）
A. B. C. D.
（2）已知 ，求 、 的值.
学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成.
【教法说明】第（1）题可以用解方程组的方法得解，也可以把四组值分别代入原方程组中，利用检验的方法解，这道题能训练学生思维的灵活性；第（2）题通过分析，学生可得方程组 从而求得 、 的值.此题可以培养学生分析问题，解决问题的综合能力.
（四）总结、扩展
1.的思想：
2.的条件：某一未知数系数绝对值相等.
3.的步骤：
八、布置作业
（一）必做题：P24 1.
（二）选做题：P25 B组1.
（三）预习：下节课内容.
参考答案
（一）（1） （2） （3） （4）
（二）1.（1）与（4） （2）与（3）
各位、老师你们好！今天我要讲的课题是人教版七年级（下）第八章第三节《实际问题与二元一次方程》的第一课时。首先，我对本节教材进行一些分析：
一、教材分析：
1、教材所处的地位和作用：
本节内容在全书及章节的地位是：《实际问题与二元一次方程》是数学教材七年级（下）第八章第三节内容。在学生已学习了解二元一次方程组的一般步骤的基础上，进一步以“探究”的形式讨论如何用二元一次方程组解决实际问题。以方程组为工具分析问题、解决问题（即建立方程模型）是全章的重点，同时也是难点。本节内容一方面通过更加贴近实际生活的问题，进一步突出方程这种数学模型的应用具有广泛性和有效性；另一方面使学生能在更加贴近实际生活的问题情境中运用所学数学知识，使分析问题和解决问题的能力、创新和实践意识在更高层次上得到提高。可以说本节是二元一次方程组应用的延伸与拓广。
2、学情分析：
七年级学生刚刚跨入少年期，理性思维的发展还很有限，他们在身体发育、知识经验、心理品质方面，依然保留着小学生的天真活泼、对新生事物很感兴趣、求知欲望强、具有强烈的好奇心与求知欲，形象直观思维已比较成熟，但抽象思维能力还比较薄弱。于是我根据学生和初一上下册教材衔接的特点设计了这节课。
二、教学方法与教学手段：
（1）教法分析：
基于本节课内容的特点和七年级学生的心理特征，在教学中应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，设计必要的铺垫，不要代替他们思考，不要过早给出答案。鼓励探究多种不同的分析问题和解决问题的方法，使探究过程活跃起来，在这样的氛围中可以更好地激发学生积极思维，得到更大收获。
（2）学法分析：
教学过程是师生互相交流的过程，教师起引导作用，学生在教师的启发下充分发挥主体性作用。七年级的学生，从认知的特点来看，学生爱问好动、求知欲强，想象力丰富，对实际问题有着浓厚的兴趣，他们希望得到充分的展示和表现，因此，在学习上，应充分发挥学生在教学中的主体能动作用，让学生自己通过讨论和交流得到答案，激发学习兴趣，培养应用意识和发散思维。
三、教学过程及设计
教学目标
1经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型；
2能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；
3学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答；
4培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化。
教学难点确定解题策略，比较估算与精确计算。
知识重点以方程组为工具分析，解决含有多个未知数的实际问题。
板书设计
8.3再探实际问题与二元一次方程
（1）实际问题设未知数列方程组数学问题（二元一次方程组）
教学过程（师生活动）
设计理念估时创设情境前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组.本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题.
（出示问题）养牛场原有30只母牛和15只小牛，一天约需用饲料675 kg；一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg。饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18～20 kg，每只小牛1天约需用饲料7～8 kg。你能否通过计算检验他的估计？
开门见山，直接提出本节学习目标，强化本章的中心问题.以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系.探索分析解决问题学生思考、讨论.判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：
一、先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验.
二、根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确.
学生在比较探究后发现用方法二较简便.
设问1：如果选择方法二，如何计算平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量？（有前面几节的知识准备，学生可以回答）列方程组求解.主要思路：引导学生探寻解题思路，并对各种方法进行比较，方法一主要是要估算的运用，而方法二是方程的应用。实际应用
实际问题
数学问题二元一次方程组设未知数列方程组学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程.
解：设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg。
找出相等关系列方程组解这个方程组，得这就是说，平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料20kg和5kg。饲养员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确.
分步到位，渗透模型化的。规范解题步骤，培养学生有条理地思考、表达的习惯。
让学生认识到检验的重要性，并学会正确作答。
拓广探索比较分析
设问2：以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？
个别学生可能会列出如下方程组但结果一致
.比较分析，加深对方程组的认识。
课堂练习
1、《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
2、悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟。归时四分行六百，风速多少才称雄？顺风速度=悟空行走速度+风速逆风速度=悟空行走速度—风速
出示古典名题
一方面及时巩固用方程组解决实际问题的过程，另一方面让学生感受数学文化。
与作业提高
提问：通过这节课的学习，你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤？
学生思考后回答、：
①设未知数.②找相等关系.③列方程组.④检验并作答.
以问题的形式出现，引导学生思考、交流，梳理所学知识，建立起符合自身认识特点的知识结构.训练口头表达能力，养成及时归纳的良好学习习惯.
布置作业
1、必做题：教科书116页习题8.3第1（1）3、5题。
2、选做题：教科书112页习题.8.3第8题。教后反思
教学建议
1.教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：本小节的重点是使学生学会用加减法解二元一次方程组.这也是一种全新的知识，与在一元一次方程两边都加上、减去同一个数或同一个整式，或者都乘以、除以同一个非零数的情况是不一样的，但运用这项知识（这里也表现为一种方法），有时可以简捷地求出二元一次方程组的解，因此学生同样会表现出一种极大的兴趣.必须充分利用学生学会这种方法的积极性.加减（消元）法是解二元一次方程组的基本方法之一，因此要让学生学会，并能灵活运用.这种方法同样是解三元一次方程组和某些二元二次方程组的基本方法，在教学中必须引起足够重视.
难点：灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便，这也要通过一定数量的练习来解决.
2.教法建议
（1）本节是通过一个引例，介绍了加减法解方程组的基本思想和解题过程.教学时，要引导学生观察这个方程组中未知数系数的特点.通过观察让学生说出，在两个方程中y的系数互为相反数或在两个方程中x的系数相等，让学生自己动脑想一想，怎么消元比较简便，然后引出加减消元法.
（2）讲完加减法后，课本通过三个例题加以巩固，这三个例题是由浅入深的，讲解时也要先让学生观察每个方程组未知数系数的特点，然后让学生说出每个方程组的解法，例题1老师自己板书，剩下的两个例题让学生上黑板板书，然后老师点评.
（3）讲解完本节后，教师应引导学生比较代入法与加减法这两种方法，这两种方法虽有不同，但实质都是消元，即通过消去一个未知数，把“二元”转化为“一元”.也就是说：
这时学生对解题方法比较熟悉，但还没有上升到理论的高度，这时教师应及时点拨、渗透化归转化的思想，并指出这是具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法.
教学设计示例
（第一课时）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1.使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤.
2.能运用加减法解二元一次方程组.
（二）能力训练点
1.培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.训练学生的运算技巧.
（三）德育渗透点
消元，化未知为已知的转化思想.
（四）美育渗透点
渗透化归的数学美.
二、学法引导
1.教学方法：谈话法、讨论法.
2.学生学法：观察各未知量前面系数的特征，只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值后即可利用加减法进行消元，同时在运算中注意归纳解题的技巧和解题的方法.
三、重点、难点、疑点及解决办法
（－）重点
使学生学会用加减法解二元一次方程组.
（二）难点
灵活运用加减消元法的技巧.
（三）疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”.
（四）解决办法
只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪、胶片.
六、师生互动活动设计
1.教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗？从而导入 新课即加减法解二元一次方程组.
2.通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性.
3.通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论.
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课通过复习代入法从而引入另一种消元的办法，即加减法解二元一次方程组.
（二）整体感知
加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元.故在教学中应反复教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题.
（三）教学过程
1.创设情境，复习导入
（1）用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？
（2）用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确.
学生活动：口答第（1）题，在练习本上完成第（2）题，一个同学说出结果.
上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解.对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容.
【教法说明】由练习导入 新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程 中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题.
2.探索新知，讲授新课
第（2）题的两个方程中，未知数 的系数有什么特点？（互为相反数）根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉 ，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.
解：①＋②，得
把 代入①，得
∴
∴
学生活动：比较用这种方法得到的 、 值是否与用代入法得到的相同.（相同）
上面方程组的两个方程中，因为 的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了 .观察一下， 的系数有何特点？（相等）方程①和方程②经过怎样的变化可以消去 ？（相减）
学生活动：观察、思考，尝试用①－②消元，解方程组，比较结果是否与用①＋②得到的结果相同.（相同）
我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解.像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”.
提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？（加减法）
②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）
③什么条件下用加法、什么条件下用减法？（某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法）
【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性.
例1 解方程组
哪个未知数的系数有特点？（ 的系数相等）把这两个方程怎样变化可以消去 ？（相减）
学生活动：回答问题后，独立完成例1，一个学生板演.
解：①－②，得
∴
把 代入②，得
∴
∴
∴
（1）检验一下，所得结果是否正确？
（2）用②－①可以消掉 吗？（可以）是用①－②，还是用②－①计算比较简单？（①－②简单）
（3）把 代入①， 的值是多少？（ ），是代入①计算简单还是代入②计算简单？（代入系数较简单的方程）
练习：P23 l.（l）（2）（3），分组练习，并把学生的解题过程在投影仪上显示.
小结：用加减法解二元一次方程组的条件是某个未知数的系数绝对值相等.
例2 解方程组
（1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？（不符合）
（2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？（①×2或②×3）
归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边部乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元.
学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示.
学生活动：总结用加减法解二元一次方程组的步骤.
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等.
②加减消元.
③解一元一次方程.
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解.
3.尝试反馈，巩固知识
练习：P23 1.（4）（5）.
【教法说明】通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力.
4.变式训练，培养能力
（1）选择：二元一次方程组 的解是（ ）
A. B. C. D.
（2）已知 ，求 、 的值.
学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成.
【教法说明】第（1）题可以用解方程组的方法得解，也可以把四组值分别代入原方程组中，利用检验的方法解，这道题能训练学生思维的灵活性；第（2）题通过分析，学生可得方程组 从而求得 、 的值.此题可以培养学生分析问题，解决问题的综合能力.
（四）总结、扩展
1.用加减法解二元一次方程组的思想：
2.用加减法解二元一次方程组的条件：某一未知数系数绝对值相等.
3.用加减法解二元一次方程组的步骤：
八、布置作业
（一）必做题：P24 1.
（二）选做题：P25 B组1.
（三）预习：下节课内容.
参考答案
（一）（1） （2） （3） （4）
（二）1.（1）与（4） （2）与（3）
一、说教材分析
1、教材的地位和作用
二元一次方程组是初中数学的重点内容之一，是一元一次方程知识的延续和提高，又是学习其他数学知识的基础。本节课是在学生学习了一元一次方程的基础上，继续学习另一种方程及方程组，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。通过类比，让学生从中充分体会二元一次方程组，理解并掌握解二元一次方程组的基本概念，为以后函数等知识的学习打下基础。
2、教学目标
知识目标：通过实例了解二元一次方程和它的解，二元一次方程组和它的`解。
能力目标：会判断一组未知数的值是否为二元一次方程及方程组的解。会在实际问题中列二元一次方程组。
情感目标：使学生通过交流、合作、讨论获取成功体验，激发学生学习知识的兴趣，增强学生的自信心。
3、重点、难点
重点：二元一次方程和二元一次方程的解，二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念。
难点：在实际生活中二元一次方程组的应用。
二、教法
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、言道者，教学的一切活动必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。
另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好发激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。
三、学法
“问题”是数学教学的心脏，活动是数学教学中的灵魂。所以我在学生思维最近发展区内设置并提出一系列问题，通过数学活动，引导学生：自主性学习，合作式学习，探究式学习等，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学思维和参与度，力求学生在“双基”数学能力和理性精神方面得到一定发展。
四、教学过程
新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：
（1）复习旧知，温故知新
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分。负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
设计意图：构建注意主张教学应从学生已有的知识体系出发，方程是本节课深入研究二元一次方程组的认知基础，这样设计有利于引导学生顺利地进入学习情境。
（2）创设情境，提出问题
这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分。
这两个条件可以用方程
x＋y＝22
2x＋y＝40
表示：
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
把两个方程合在一起，写成
x＋y＝22
2x＋y＝40
像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
设计意图：以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望，通过情境创设，学生已激发了强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，此时我把学生带入下一环节。
（3）发现问题，探求新知
满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中。
教学建议
一、重点、难点分析
本节的教学重点是使学生学会用代入法.教学难点 在于灵活运用代入法，这要通过一定数量的练习来解决；另一个难点在于用代入法求出一个未知数的值后，不知道应把它代入哪一个方程求另一个未知数的值比较简便.
解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”.我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解.
二、知识结构
三、教法建议
1.关于检验方程组的解的问题.教材指出：“检验时，需将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是不是相等.”教学时要强调“原方程组”和“每一个”这两点.检验的作用，一是使学生进一步明确代入法是求方程组的解的一种基本方法，通过代入消元的确可以求得方程组的解二是进一步巩固二元一次方程组的解的概念，强调
这一对数值才是原方程组的解，并且它们必须使两个方程左、右两边的值都相等；三是因为我们没有用方程组的同解原理而是用代换（等式的传递）来解方程组的，所以有必要检验求出来的这一对数值是不是原方程组的解；四是为了杜绝变形和计算时发生的错误.检验可以口算或在草稿纸上演算，教科书中没有写出.
2.教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”.我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解.早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性.
3.教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深.随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易.这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误.
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1.掌握的步骤.
2.熟练运用代入法解简单的二元一次方程组.
（二）能力训练点
1.培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形.
2.训练学生的运算技巧，养成检验的习惯.
（三）德育渗透点
消元，化未知为已知的数学思想.
（四）美育渗透点
通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美.
二、学法引导
1.教学方法：引导发现法、练习法，尝试指导法.
2.学生学法：在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法.
三、重点、难点、疑点及解决办法
（－）重点
使学生会.
（二）难点
灵活运用代入法的技巧.
（三）疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”.
（四）解决办法
一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形：
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
电脑或投影仪、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量，并比较哪种表示形式更简单，如 等.
2.通过课本中香蕉、苹果的应用问题，引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组，并通过比较、尝试，探索出化二元为一元的解方程组的方法.
3.再通过比较、尝试，探索出选一个系数较简单的方程变形，通过代入法求方程组解的办法更简便，并寻找出求解的规律.
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课我们将学习用代入法求二元一次方程组的解.
（二）整体感知
从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法，从而导入 运用代入法化二元为一元方程的求解过程，即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法.
（三）教学步骤
1.创设情境，复习导入
（1）已知方程 ，先用含 的代数式表示 ，再用含 的代数式表示 .并比较哪一种形式比较简单.
（2）选择题：
二元一次方程组 的解是
A. B. C. D.
【教法说明】 第（1）题为打下基础；第（2）题既复习了上节课的重点，又成为导入 新课的材料.
通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解.那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习.
这样导入 ，可以激发学生的求知欲.
2.探索新知，讲授新课
香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？
学生活动：分别列出一元一次方程和二元一次方程组，两个学生板演.
设买了香蕉 千克，那么苹果买了 千克，根据题意，得
设买了香蕉 千克，买了苹果 千克，得
上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢，由方程①可以得到 ③，把方程②中的 转换成 ，也就是把方程③代入方程②，就可以得到 .这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出 了.
解：由①得： ③
把③代入②，得：
∴
把 代入③，得：
∴
【教法说明】解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程，这对于学生知识的形成十分重要.
上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法.你能简单说说的基本思路吗？
学生活动：小组讨论，选代表发言，教师进行指导.纠正后归纳：设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程.
例1 解方程组
（1）观察上面的方程组，应该如何消元？（把①代入②）
（2）把①代入②后可消掉 ，得到关于 的一元一次方程，求出 .
（3）求出 后代入哪个方程中求 比较简单？（①）
学生活动：依次回答问题后，教师板书
解：把①代入②，得
∴
把 代入①，得
∴
如何检验得到的结果是否正确？
学生活动：口答检验.
教师：要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中.
【教法说明】给出例1后提出的三个问题，恰好是学生的思维过程，明确了解题思路；教师板演例1，规范了解二元一次方程组的解题格式；通过检验，可使学生养成严谨认真的学习习惯.
例2 解方程组
要把某个方程化成如例1中方程①的形式后，代入另一个方程中才能消元.方程②中 的系数是1，比较简单.因此，可以先将方程②变形，用含 的代数式表示 ，再代入方程①求解.
学生活动：尝试完成例2.
教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化.
解：由②，得 ③
把③代入①，得
∴
∴
把 代入③，得
∴
∴
检验后，师生共同讨论：
（1）由②得到③后，再代入②可以吗？（不可以）为什么？（得到的是恒等式，不能求解）
（2）把 代入①或②可以求出 吗？（可以）代入③有什么好处？（运算简便）
学生活动：根据例1、例2的解题过程，尝试总结的一般步骤，讨论后选代表发言.之后，看课本第12页，用几个字概括每个步骤.
教师板书：
（1）变形（ ）
（2）代入消元（ ）
（3）解一元一次方程得（ ）
（4）把 代入 求解
练习：P13 1.（1）（2）；P14 2.（1）（2）.
3.变式训练，培养能力
①由 可以得到用 表示 .
②在 中，当 时， ；当 时， ，则 ； .
③选择：若 是方程组 的解，则（ ）
A. B. C. D.
（四）总结、扩展
1.解二元一次方程组的思想： .
2.的步骤.
3.的技巧：①变形的技巧②代入的技巧.
通过这节课的学习，我们要熟练运，并能检验结果是否正确.
八、布置作业
（一）必做题：P15 1.（2）（4），2.（1）（2）（3）（4）.
（二）选做题：P15 B组1.
参考答案
（一）1.（2） （4）
2.（1） （2） （3） （4）
（二） ，
教学建议
1.教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：本小节的重点是使学生学会.这也是一种全新的知识，与在一元一次方程两边都加上、减去同一个数或同一个整式，或者都乘以、除以同一个非零数的情况是不一样的，但运用这项知识（这里也表现为一种方法），有时可以简捷地求出二元一次方程组的解，因此学生同样会表现出一种极大的兴趣.必须充分利用学生学会这种方法的积极性.加减（消元）法是解二元一次方程组的基本方法之一，因此要让学生学会，并能灵活运用.这种方法同样是解三元一次方程组和某些二元二次方程组的基本方法，在教学中必须引起足够重视.
难点：灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便，这也要通过一定数量的练习来解决.
2.教法建议
（1）本节是通过一个引例，介绍了加减法解方程组的基本思想和解题过程.教学时，要引导学生观察这个方程组中未知数系数的特点.通过观察让学生说出，在两个方程中y的系数互为相反数或在两个方程中x的系数相等，让学生自己动脑想一想，怎么消元比较简便，然后引出加减消元法.
（2）讲完加减法后，课本通过三个例题加以巩固，这三个例题是由浅入深的，讲解时也要先让学生观察每个方程组未知数系数的特点，然后让学生说出每个方程组的解法，例题1老师自己板书，剩下的两个例题让学生上黑板板书，然后老师点评.
（3）讲解完本节后，教师应引导学生比较代入法与加减法这两种方法，这两种方法虽有不同，但实质都是消元，即通过消去一个未知数，把“二元”转化为“一元”.也就是说：
这时学生对解题方法比较熟悉，但还没有上升到理论的高度，这时教师应及时点拨、渗透化归转化的思想，并指出这是具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法.
教学设计示例
（第一课时）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1.使学生掌握的步骤.
2.能运.
（二）能力训练点
1.培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.训练学生的运算技巧.
（三）德育渗透点
消元，化未知为已知的转化思想.
（四）美育渗透点
渗透化归的数学美.
二、学法引导
1.教学方法：谈话法、讨论法.
2.学生学法：观察各未知量前面系数的特征，只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值后即可利用加减法进行消元，同时在运算中注意归纳解题的技巧和解题的方法.
三、重点、难点、疑点及解决办法
（－）重点
使学生学会.
（二）难点
灵活运用加减消元法的技巧.
（三）疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”.
（四）解决办法
只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪、胶片.
六、师生互动活动设计
1.教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗？从而导入 新课即加减法解二元一次方程组.
2.通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性.
3.通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论.
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课通过复习代入法从而引入另一种消元的办法，即加减法解二元一次方程组.
（二）整体感知
加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元.故在教学中应反复教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题.
（三）教学过程
1.创设情境，复习导入
（1）用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？
（2）用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确.
学生活动：口答第（1）题，在练习本上完成第（2）题，一个同学说出结果.
上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解.对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容.
【教法说明】由练习导入 新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程 中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题.
2.探索新知，讲授新课
第（2）题的两个方程中，未知数 的系数有什么特点？（互为相反数）根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉 ，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.
解：①＋②，得
把 代入①，得
∴
∴
学生活动：比较用这种方法得到的 、 值是否与用代入法得到的相同.（相同）
上面方程组的两个方程中，因为 的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了 .观察一下， 的系数有何特点？（相等）方程①和方程②经过怎样的变化可以消去 ？（相减）
学生活动：观察、思考，尝试用①－②消元，解方程组，比较结果是否与用①＋②得到的结果相同.（相同）
我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解.像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”.
提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？（加减法）
②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）
③什么条件下用加法、什么条件下用减法？（某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法）
【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性.
例1 解方程组
哪个未知数的系数有特点？（ 的系数相等）把这两个方程怎样变化可以消去 ？（相减）
学生活动：回答问题后，独立完成例1，一个学生板演.
解：①－②，得
∴
把 代入②，得
∴
∴
∴
（1）检验一下，所得结果是否正确？
（2）用②－①可以消掉 吗？（可以）是用①－②，还是用②－①计算比较简单？（①－②简单）
（3）把 代入①， 的值是多少？（ ），是代入①计算简单还是代入②计算简单？（代入系数较简单的方程）
练习：P23 l.（l）（2）（3），分组练习，并把学生的解题过程在投影仪上显示.
小结：的条件是某个未知数的系数绝对值相等.
例2 解方程组
（1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？（不符合）
（2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？（①×2或②×3）
归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边部乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元.
学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示.
学生活动：总结的步骤.
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等.
②加减消元.
③解一元一次方程.
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解.
3.尝试反馈，巩固知识
练习：P23 1.（4）（5）.
【教法说明】通过练习，使学生熟练地并能在练习中摸索运算技巧，培养能力.
4.变式训练，培养能力
（1）选择：二元一次方程组 的解是（ ）
A. B. C. D.
（2）已知 ，求 、 的值.
学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成.
【教法说明】第（1）题可以用解方程组的方法得解，也可以把四组值分别代入原方程组中，利用检验的方法解，这道题能训练学生思维的灵活性；第（2）题通过分析，学生可得方程组 从而求得 、 的值.此题可以培养学生分析问题，解决问题的综合能力.
（四）总结、扩展
1.的思想：
2.的条件：某一未知数系数绝对值相等.
3.的步骤：
八、布置作业
（一）必做题：P24 1.
（二）选做题：P25 B组1.
（三）预习：下节课内容.
参考答案
（一）（1） （2） （3） （4）
（二）1.（1）与（4） （2）与（3）
教学建议
1.教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：本小节的重点是使学生学会.这也是一种全新的知识，与在一元一次方程两边都加上、减去同一个数或同一个整式，或者都乘以、除以同一个非零数的情况是不一样的，但运用这项知识（这里也表现为一种方法），有时可以简捷地求出二元一次方程组的解，因此学生同样会表现出一种极大的兴趣.必须充分利用学生学会这种方法的积极性.加减（消元）法是解二元一次方程组的基本方法之一，因此要让学生学会，并能灵活运用.这种方法同样是解三元一次方程组和某些二元二次方程组的基本方法，在教学中必须引起足够重视.
难点：灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便，这也要通过一定数量的练习来解决.
2.教法建议
（1）本节是通过一个引例，介绍了加减法解方程组的基本思想和解题过程.教学时，要引导学生观察这个方程组中未知数系数的特点.通过观察让学生说出，在两个方程中y的系数互为相反数或在两个方程中x的系数相等，让学生自己动脑想一想，怎么消元比较简便，然后引出加减消元法.
（2）讲完加减法后，课本通过三个例题加以巩固，这三个例题是由浅入深的，讲解时也要先让学生观察每个方程组未知数系数的特点，然后让学生说出每个方程组的解法，例题1老师自己板书，剩下的两个例题让学生上黑板板书，然后老师点评.
（3）讲解完本节后，教师应引导学生比较代入法与加减法这两种方法，这两种方法虽有不同，但实质都是消元，即通过消去一个未知数，把“二元”转化为“一元”.也就是说：
这时学生对解题方法比较熟悉，但还没有上升到理论的高度，这时教师应及时点拨、渗透化归转化的思想，并指出这是具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法.
教学设计示例
（第一课时）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1.使学生掌握的步骤.
2.能运.
（二）能力训练点
1.培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.训练学生的运算技巧.
（三）德育渗透点
消元，化未知为已知的转化思想.
（四）美育渗透点
渗透化归的数学美.
二、学法引导
1.教学方法：谈话法、讨论法.
2.学生学法：观察各未知量前面系数的特征，只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值后即可利用加减法进行消元，同时在运算中注意归纳解题的技巧和解题的方法.
三、重点、难点、疑点及解决办法
（－）重点
使学生学会.
（二）难点
灵活运用加减消元法的技巧.
（三）疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”.
（四）解决办法
只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪、胶片.
六、师生互动活动设计
1.教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗？从而导入 新课即加减法解二元一次方程组.
2.通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性.
3.通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论.
七、教学步骤
（－）明确目标
本节课通过复习代入法从而引入另一种消元的办法，即加减法解二元一次方程组.
（二）整体感知
加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元.故在教学中应反复教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题.
（三）教学过程
1.创设情境，复习导入
（1）用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？
（2）用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确.
学生活动：口答第（1）题，在练习本上完成第（2）题，一个同学说出结果.
上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解.对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容.
【教法说明】由练习导入 新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题.
2.探索新知，讲授新课
第（2）题的两个方程中，未知数 的系数有什么特点？（互为相反数）根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉 ，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.
解：①＋②，得
把 代入①，得
∴
∴
学生活动：比较用这种方法得到的 、 值是否与用代入法得到的相同.（相同）
上面方程组的两个方程中，因为 的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了 .观察一下， 的系数有何特点？（相等）方程①和方程②经过怎样的变化可以消去 ？（相减）
学生活动：观察、思考，尝试用①－②消元，解方程组，比较结果是否与用①＋②得到的结果相同.（相同）
我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解.像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”.
提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？（加减法）
②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）
③什么条件下用加法、什么条件下用减法？（某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法）
【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性.
例1 解方程组
哪个未知数的系数有特点？（ 的系数相等）把这两个方程怎样变化可以消去 ？（相减）
学生活动：回答问题后，独立完成例1，一个学生板演.
解：①－②，得
∴
把 代入②，得
∴
∴
∴
（1）检验一下，所得结果是否正确？
（2）用②－①可以消掉 吗？（可以）是用①－②，还是用②－①计算比较简单？（①－②简单）
（3）把 代入①， 的值是多少？（ ），是代入①计算简单还是代入②计算简单？（代入系数较简单的方程）
练习：P23 l.（l）（2）（3），分组练习，并把学生的解题过程在投影仪上显示.
小结：的条件是某个未知数的系数绝对值相等.
例2 解方程组
（1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？（不符合）
（2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？（①×2或②×3）
归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边部乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元.
学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示.
学生活动：总结的步骤.
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等.
②加减消元.
③解一元一次方程.
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解.
3.尝试反馈，巩固知识
练习：P23 1.（4）（5）.
【教法说明】通过练习，使学生熟练地并能在练习中摸索运算技巧，培养能力.
4.变式训练，培养能力
（1）选择：二元一次方程组 的解是（ ）
A. B. C. D.
（2）已知 ，求 、 的值.
学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成.
【教法说明】第（1）题可以用解方程组的方法得解，也可以把四组值分别代入原方程组中，利用检验的方法解，这道题能训练学生思维的灵活性；第（2）题通过分析，学生可得方程组 从而求得 、 的值.此题可以培养学生分析问题，解决问题的综合能力.
（四）总结、扩展
1.的思想：
2.的条件：某一未知数系数绝对值相等.
3.的步骤：
八、布置作业
（一）必做题：P24 1.
（二）选做题：P25 B组1.
（三）预习：下节课内容.
参考答案
（一）（1） （2） （3） （4）
（二）1.（1）与（4） （2）与（3）
各位评委老师：
大家好！今天我说课的题目是人教版七年级数学下册第八章《消元——二元一次方程组的解法》第一课时。
一、教材分析
1、教材的地位与作用：本节内容是在学生掌握了二元一次方程方程组的有关概念之后讲授的，用代入消元法解二元一次方程方程组是学生接触到的解方程组的第一种方法，消元体现了化未知为已知的重要思想。它是本章学习的重点和难点，也为解决现实问题提供了方便，同时为以后学习函数、线性方程组以及高次方程组奠定了基础。
2、教学目标：根据新课标要求以及学生的认知水平，我确定了如下了三维教学目标：
（1）知识与技能：
①会用代入法解二元一次方程组；
②能初步体会代入法解二元一次方程组的基本思想—“消元”。
（2）过程与方法：
①培养学生基本的运算技巧和能力；
②培养学生观察、比较、分析、综合能力，以及运用旧知识解决新问题的能力。
（3）情感、态度、价值观：鼓励学生积极主动的参与整个“教”与“学”的过程，通过研究解决问题的方法，培养学生的合作交流意识与探索精神。
3、教学重点、难点：
重点：会用代入法解二元一次方程组。
难点：在“消元”的过程中能够判断消去哪个未知数，使得解方程组的运算转为较简便。探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程。
二、教法与学法
根据七年级学生的思维能力较单一，教学学习活动中归纳能力较差这一特点，本节课主要采取“探究发现式”教学方法，在教学过程中，采用“问题——实践——交流合作——说理——练习”的教学流程。老师对学生在课堂中表现予以帮助与评价，鼓励学生积极主动地参与教学过程。在探索、交流中获取新知。对于学生最重要的是让他们学会学习，因此教学中主要采用了教师引导学生动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，在学习过程中充分调动学生从事数学活动的时间和空间，让学生乐于思考、勤于动手，自主的交流与合作，在实践中掌握解二元一次方程组的方法，从面获得新知。使每一个学生都能得到充分的发展。
三、教学过程
第一环节：创设情境，导入新课
引例：篮球联赛中，化育节要到了，蓝球是初一（1）班的拳头项目，为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分。已知每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，那么初一（1）班胜负场数分别是多少？
设置问题：
（1）问题中有几个未知数？
（2）若设胜X场，如何列出一元一次方程求解？
（3）若设胜X场，负的为Y场，列出的二元一次方程组又是什么？
（4）列出来的一元一次方程我们会解，那么又如何去解这个二元一次方程组呢？
问题（2）和（3）让两个学生上黑板列出方程并解方程（1），而问题（3）让学生列出方程组即可，最后一问有意设置矛盾，让学生处于积极思维状态，但一时又难以给出正确的答案。从而引出本节课题：消元。
（通过问题引起学生注意，同时把学生带入新课的学习情境中，刺激学生对身边发生的问题所蕴含的数学知识的兴趣，注重数学来源于生活的理念.通过创设问题情境自然地揭示新课课题，激发学生求知欲望，同时为本节课的学习打下了良好的思想基础）
第二环节：师生合作，探究新知
问题1：因为胜负场数和是22场，所列的方程除了X+Y=22外还有其他哪种形式？
在学生回答出Y=22—X和X=22—Y，教师接着提问；由这个二元一次方程组
x+y=22①
2x+y=40②
能不能得到方程2X+（22—X）=38？如何得到？提出问题后，将学生分成小组讨论，教师深入学生的讨论中，引导学生观察。例如：从设未知数表示数量关系的角度或从二元一次方程组与一元一次方程的结构上观察。学生通过对比观察体会到一元一次方程与二元一次方程组之间的联系，学生回答后，马上暴露知识发生过程：（1）Y=22—X
（2）用22—X替换方程2X+Y=40中的Y，即把Y=22—X代入2X+Y=40
问题2：
（1）这时，方程组转变为什么方程？哪个未知数的值可以先求出来？从哪里求？问题解完了吗？
（2）另一个未知数的值如何求？引导学生回答以上问题后，师生共同完成解答过程，并将结果与前面列一元一次方程求出的结果对照。
（通过问题的提出，给学生提供从事数学活动的机会，激发学生思考，体现数学知识的形成与过程，引导学生观察、比较，分析问题，鼓励学生思考、合作与交流，有利于学生理解与掌握相关知识与方法，形成良好的数学思维习惯。
通过演示，提出问题，让学生积极地动脑、动手、动口。在教师的引导下，学生通过观察、分析、比较并积极思考解决问题的方法，有助于学生理解和掌握由二元一次方程组化为一元一次方
程的过程，从而明确消元思想——由二元化为一元——由未知化为已知。）
第三环节：师生合作，发现规律
结论：这种将“二元”转化为“一元”的思想方法，我们称为消元法（并板书课题），在消元法中我们消去一个未知数，消元是我们解方程组的关键。进而提示：我们是如何消元的？引导学生去发现，把一个方程中的某一个未知数用另一个未知数表示后代入另一个方程，消去一个未知数，这种消元法我们称之为代入消元法。
（这样归纳后，学生对解方程组的思路就会较清晰，能够顺利地实现目标，同时也会对这种方法表现极大兴趣）
第四环节：典例分析，规范步骤
让学生自学课本97页例1，规范解题步骤，然后根据云图中提出的问题积极思考明确问题答案，此环节的目的是为了培养学生良好的自学习惯，体现学生的学习活动。然后教师提出问题：
①方程组是如何变形的？还有其他变形方法吗？
②将已求出的未知数的值代入哪一个方程解出另一个未知数更简便呢？
③你能先求出的值吗？
③何检验你求出的结果是否正确？
（通过提出这一系列的问题，使学生对代入消元法解二元一次方程组的步骤更加明确。通过另一种解法，让学生体会一题多解，从而达到举一反三的目的。选择适当变形方式，使运算简便。其目的是让学生意识到代入消元法有时可消去x有时可消去y。目的是为了培养学生良好的检验习惯。）
第五环节：熟练技能，升华提高
要求学生练习课本98页第一题（再加一问，用含的代数式表示，体会哪一种表示方法更为简便）。第2题采用学生板演，学生自我批改的形式。在掌握了本节课知识点的基础之上，完成当堂达标测试题。
第六环节：归纳小结，布置作业
1、从本节课中你学到了解二元一次方程组的哪种方法？其基本思想是什么？主要步骤有哪些？要求同学之间互相交流讨论。
2、必做题课本103页
选做题课本99页3，4
（作业分必做和选做是为了在巩固本节所学知识的前提下，考虑不同学生的需求。）
四、板书设计
8.2消元——二元一次方程组的解法（一）
Y=4
Y=22—x
变形
设胜了x场，负y场，x+y=22①代入
2x+y=40②
设胜了x场，则负
（22—x）场，则消元
2x+（22—x）=40③x=18（说明：由于此编辑窗口不能插入线条，所以图示中没有带箭头的线条，请谅解。）
五、时间分配
1、创设情景，引入新课（5分）2、师生合作，探求新知（10分）
3、师生合作，发现规律（3分）4、典例分析，规范步骤（10分）
5、熟练技能，升华提高（10分）6、归纳小结，作业布置（2分）
六、设计说明
本节课教学按照“身边的数学问题引入——寻求一元一次方程的解法——探索二元一次方程组的解法（代入消元法）——典型例题——归纳代入法”的思路进行设计。在教学过程中，充分调动学生的学习积极性，重视知识的发生过程，让学生认知内化，形成能力。将设未知数求一元一次方程的过程与解二元一次方程组的过程进行比较，在复习旧知识的同时获的新知，取得了良好的教学效果。
10.3解二元一次方程组相关文章：
