公因数和最大公因数 教案（通用3篇）
教学内容： 教科书第26-27页的例3、例4和“练一练”，练习五的第1-5题。
教材简析：
例3教学公因数、最大公因数的含义，也通过“铺”的活动组织教学。与例1不同的是，例3用2张边长不同的正方形纸片分别去铺同一个长方形，是形成公因数概念的需要。例题编写和练习编排与教学公倍数相似，这里不再重复。
例4求两个数的最大公因数，教学方法和例2相似。求8和12的最大公因数的几种方法中，教材呈现的第一种方法比较适宜多数学生。因为一个数的因数的个数是有限的，先写出两个数的全部因数，再找出最大公因数，操作不麻烦。第二种方法从小到大依次想较小数的因数，稍不留心就会遗漏某一个因数。练习五编排第3题的意图就在于此。
教学目标
1.通过解决实际问题的活动，进一步理解公因数，最大公因数和素因数的意义，掌握求两个数的公因数，最大公因数的基本方法。
2.经历对问题的分析，观察，找规律，讨论的过程，进一步加深
对公因数，最大公因数和素因数意义的理解，体会选择适当方法解决问题的优化思想，锻炼分析问题和解决问题的能力。
3.在积极思考、积极参与讨论的活动中，自觉改进学习，促进良
好学习习惯的养成和沟通、交流能力的提高。
教学重点：理解公因数，最大公因数和素因数的意义，并会求两个数的公因数，最大公因数，知道互素和素数有什么区别.
教学难点：理解公因数，最大公因数和素因数的意义，并会求两个数的公因数，最大公因数，知道互素和素数有什么区别.
教具准备：长18厘米、宽12厘米的长方形纸片；边长6厘米、4厘米的正方形纸片。
教学方法：自主探索、观察发现
方 案 一
教学过程：
一、经历操作活动，认识公因数
1、操作活动。
⑴先让学生用边长6厘米、4厘米的正方形纸片分别铺长18厘米、宽12厘米的长方形。
再提问：哪种纸片能将长方形正好铺满？
⑵交流：还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形？
⑶1、2、3、6有什么共同的特征？
⑷4为什么不是12和18的公因数？
揭示：1、2、3、6既是12的因数，又是18的因数，它们是12和18的公因数。
二、自主探索，用列举的方法求公因数和最大公因数
1、自主探索。
提问：8和12的公因数有哪些？最大的公因数是几？你能试着找一找吗？
学生自主活动，在小组里交流。可能的方法有：
①先找出8的因数，再从8的因数中找出12的因数。
②先找出12的因数，再从12的因数中找出8的因数。
2、明确8和12的公因数中最大的一个是4，指出：就是8和12的最大公因数。
3、用集合图表示。
出示相交的集合圈，让学生把8和12的因数分别填在集合图中的合适部分，再看图说说各自的想法。
4、完成“练一练”
重点让学生操作与填空。
三、巩固练习，加深对公因数和最大公因数的认识
1、练习五第1题：
填好后让学生看图说说15和20的因数分别有哪些，公因数有哪些，最大公因数是几？
2、练习五第2题：
3、练习五第3题。
先让学生独立完成，再具体说说找两个数的公因数和最大公因数的方法。
4、练习五第4题。
先出示第1组数，让学生判断，并说说是怎样判断的。然后完成先面几组。
5、练习五第5题。
鼓励学生用自己的方法找出每组数的最大公因数，并说说是怎样做的，怎样想的。
四、全课小结
提问：今天学习的是什么内容？什么是两个数的公因数和最大公因数？怎样找两个数的最大公因数？
引导：你还有什么疑问？
方 案 二
教学过程：
一、 创设生活情境
1、电脑显示：小红家卫生间是长方形，如右图，小红爸爸准备装修卫生间，要在地面上铺正方形地面砖，要选边长为几分米（整数）的地面砖，才能不用锯分就能整齐地铺满地面砖呢？
学生说出：用边长1分米的正方形地面砖铺地。 12分米
师：怎么铺？会多出来吗？ 18分米
学生说出：每行铺18快，铺12行，不会多出来。
师：有没有其它铺的方法？
学生说出：我用边长2 分米的正方形地面砖铺。
师：怎么铺？
学生说出：每行铺9快，铺6行。
师：有没有其它铺的方法？
学生说出：我用边长3分米的正方形地面砖铺，每行6块，铺4行，也正好。
学生还可能说出：用边长4分米的正方形地面砖铺地。
让学生小组讨论：按要求能不能铺？让学生明确要锯分铺了。
师：还有其它铺的方法吗？
让学生说出：还可以用边长6分米的正方形铺地，每行3块，铺2行。
师：哦，原来小红家卫生间有这么多的铺法？
小红爸爸要铺得快一点，那一种铺法最好？
[设计意图：课始，创设生活情境，将学生有然地带入求知的情境中去，通过设疑，让学生从这些生活情境中提出问题。创设这样的情境，一是调动学生的学习兴趣、感受到数学与生活的密切联系；二是初步培养学生提出问题、解决问题的能力。这样既激发了学生探求知识的欲望，同时又为后面解决问题提供了学习的目标。]
二、引导自主探索
1、自主探索、形成概念
师：那我还要问一问，你们是怎么想出可以用边长是1、2、3、6分米的正方形地面砖铺呢？
让学生说出：①1、2、3、6都是18的因数，又都是12的因数
②1、2、3、6是18和12的公有的因数
师：18的因数和12的因数有几个？能举完吗？
让学生说出：能，只有4个，个数是有限的
师：我们可以把这4个数叫做18和12的公因数，最大的一个是几？
师：谁给它起个名字？
由此引出最大公因数的概念。
[设计意图：在教学中，不仅要求学生掌握抽象的数学结论，更应注意学生的“发现“意识，引导学生参与探讨知识的形成过程，尽可能挖掘学生潜能，能让学生通过努力，自己解决问题，形成概念。]
2、观察发现、探索方法
出示例4：8和12的公因数有那些？最大公因数是几？
师：你能用那些方法解决这个问题？小组讨论；
让小组代表逐一汇报：
方法1：8的因数：1、2、4、8 ； 12的因数：1、2、3、4、6、12
8和12的公因数有：1、2、4；最大的公因数是4
方法2：先找8的因数，再从8的因数中找出12的因数
8的因数：1、2、4、8其中1、2、4也是12的因数
8和12的公因数有：1、2、4；最大的公因数是4
方法3：把8和12用几个素数的乘积来表示：8=2×2×2 ；12=2×2×3
8和12的公因数有：1、2、4；最大的公因数是2×2＝4
……
师：还可以用下面的图来表示：
[设计意图：德国教育家第斯多惠指出：“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理。”教学中，在引导学生探索问题的过程中，利用观察、发现、设问步步深入地引导学生逼近结论、求索方法。通过说思考过程、师生讨论，让学生的推理才能得以充分发挥，真正驾驭学习，成为学习的主人，为学生的自主探索发现、创新增添活力。]
三、应用拓展训练
1、基础练习
⑴在18的因数上画“ ”，在30的因数上画“ ”。
123456789101112131415161718192021222324252627282930
18和30的公因数有 ，最大公因数是 。⑵把15和20的因数、公因数分别填在下面的圈里，再找出它们的最大公因数。15的因数 20的因数 15的因数 20的因数
15和20的公因数 ⑶先在空格里画“√”，再填空
12345678910111213141516171819208的因数 10的因数 20的因数
①8和10的公因数有 最大公因数是 ②8和20的公因数有 最大公因数是 ③10和20的公因数有 最大公因数是 ⑷ 12的的因数有 42的因数有 12和42的公因数有 12和42的最大公因数是 你能用同样的方法找出16和24的公因数？
2、提高练习：
（1）综合题：两个自然数的和是52，它们的最大公因数是4，最小公倍数是144，这两个数各是多少？
（2）开放题：有两个50以内的两位数，这两个两位数的最大公因数是6这两个两位数分别是多少？
[设计意图：练习形式多样，层次分明，让学生体会数学的综合性和应用性，注重认知结构的深化和发展，能有效地培养学生的创新思维。]
四、全课总结：
这节课你们学了哪些知识？有什么收获？
五、布置作业：练习五（5）
[总评：小学数学课堂教学，应立志于让学生“研究学习”、“自主探索”，学生不应是被动接受知识的容器，而应是在学习过程中主动积极的参与者，是认知过程的探索者，是学习活动的主体，通过学生自身的活动，所“发现”和“创造”的知识较之教师硬塞给学生的知识理解得深刻，掌握得牢固，应用得灵活，同时也培养了学生发现问题、解决问题的能力。]
习题超市：
1.口答填空：
24的因数是( )；36的因数是( )；54的因数是( )；
24，36和54的公因数是( )；24，36和54的最大公因数是( )。
2.直接说出下面各组数的最大公约数。
3和4 6和24 13和39
18和1 17和19 14和15
15和30 9和10 16和18
2.两个数的（ ）的个数是无限的.
a.最大公约数 b.最小公倍数 c.公约数 d.公倍数
3.两个数的最大公因数是6，最小公倍数是90，已知一个数是18，另一个数是（ ）.
a.90 b.15 c.18 d.30
1、直接写出下面各组数的最大公约数。
3和5 4和8 1和13 13和26
板书设计及课后反思：
公因数和最大公因数
教学 例3时先用边长6厘米和4厘米的正方形纸片，分别铺长18厘米、宽12厘米的长方形，教师选择正方形纸片铺长方形的活动教学公因数，是因为这一活动能吸引学生发现和提出问题，能引导学生思考。学生用同两张正方形纸片分别铺一个不同的长方形，面对出现的两种结果，会发现“为什么有时正好铺满、有时不能”，“什么时候正好铺满、什么时候不能”这些有研究价值的问题。他们沿着长方形的边铺正方形纸片，就会想到正好铺满与不能正好铺满的原因可能和边长有关，于是产生进一步研究长方形边长和正方形边长关系的愿望。分析长方形的长、宽和正方形边长之间的关系，按学生的认知规律，设计成两个层次： 第一个层次联系铺的过程与结果，从长方形的长、宽除以正方形的边长没有余数和有余数的层面上，体会正好铺满与不能正好铺满的原因。第二个层次根据边长6厘米的正方形正好铺满长18厘米、宽12厘米的长方形、而边长4厘米的正方形不能正好铺满长18厘米、宽12厘米的长方形的经验，联想边长几厘米的正方形还能正好铺满长18厘米、宽12厘米的长方形。先找到这些正方形，把它们边长从小到大排列，知道这样的正方形的个数是有限的。再用“既是12的因数，又是18的因数”概括地描述这些正方形边长的特征。显然，前一层次形象思维的成分较大，思考难度较小，对后一层次的抽象认识有重要的支持作用。
评析：突出概念的内涵、外延，让学生准确理解概念。
我用“既是……又是……”的描述，让学生理解“公有”的意思。例3先联系用边长1、2、3、6厘米的正方形正好能铺满长18厘米、宽12厘米的长方形纸片的现象，从长方形的长、宽分别除以正方形边长都没有余数，得出正方形的边长“既是12的因数，又是18的因数”，一方面概括了这些正方形边长的特点，另一方面让学生体会“既是……又是……”的意思。然后进一步概括 “1、2、3、6既是12的因数，又是18的因数，它们是12和18的公因数”，形成公因数的概念。
由于知识的迁移，学生很容易想到用集合图直观形象地显示公因数的含义。第27页把8的因数和12的因数分别写到两个集合圈里，这两个集合圈有一部分重叠，在重叠部分里写的数既是8的因数，也是12的因数，是8和12的公因数。先观察这个集合图，再填写第28页的集合图，学生能进一步体会公因数的含义。概念的外延是指这个概念包括的一切对象。
运用数学概念，让学生探索找两个数的最大公因数的方法。
例4教学求两个数的最大公因数，出现了两种解决问题的方法。学生有的先分别写出8和12的因数，再找出它们的公因数和最大公因数。有的在8的因数里找12的因数，这样操作比较方便，但容易遗漏。我有意引导学生选择第一种。练习五的第3题就是这种方法的应用。
充分利用教育资源，自制课件，协助教学。
限于操作的局部性，我认真制作了实用的课件，让直观、清晰的页面直接辅助我教学，学生表现积极，课堂气氛比较活跃，提问、释疑、解惑，练习的热情很高。
本课设计目的是使学生学习公因数、最大公因数的意义，并学会找两个数的最大公因数的方法，从整节课学生表现情况和课后作业反馈来看，学生对本部分知识知识掌握较好，学习积极并具有热情，就实效性讲很令人满意。
教学目标：
1、经历具体的操作活动，认识公因数和最大公因数，会在集合图中分别表示两个数的因数和它们的公因数，在探究中体会数形结合的数学思想。
2、在探索寻找公因数和最大公因数的过程中，经历观察、归纳等数学活动，进一步发展初步的推理能力。
3、会运用公因数，最大公因数的知识解决简单的实际问题，体验数学与生活的联系，增强数学意识。
教学重点、难点：理解公因数和最大公因数以及求2个数的公因数和最大公因数。
教学准备：若干张长16cm,宽12cm的长方形纸以及若干张1cm,2cm3,cm,4cm的正方形纸和尺子。
教学过程：
一、导入
1 .提问：什么是因数？
2 .写出16 和12 的所有因数。
提问：你是怎样找一个数的因数的？
二、创设情景，动手操作
1、出示主题图：陈老师家贮藏室的地面长16分米，宽12分米。如果要用边长是整分米的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖都是整块），可以选择边长是几分米的地砖？
师：同学们，仔细读要求，你们认为解决这个问题要注意什么？
预设：a：铺满
b：使用的地砖是整块
c：铺的地砖是正方形
d：地砖必须是整分米数
2、动手操作
师：陈老师给大家准备给大家准备了一张长16厘米，宽12厘米的长方形纸，那我们现在就用这张纸代替贮藏室的地面，根据上面的4点要求，利用手中的小正方形摆一摆，也可以画一画，或者算一算，看谁的方法多。
学生动手操作，教师巡逻指导。
师：哪个小组愿意把你们的结果告诉大家？
教师根据学生汇报，记录：1cm，2cm，4cm（教师幻灯片出示已画好的纸）
二、发现问题，合作探究
1、教学例1：认识公因数和最大公因数
师：还有其他的摆法么？为什么3cm的正方形不行，而1cm，2cm，4cm却可以？
生：因为1cm既是16的因数，又是12的因数。
2cm既是16的因数，又是12的因数。
4cm既是16的因数，又是12的因数。
而3cm只是12的因数，却不是16的因数。
师：也就是说，只有当既是12的因数，又是16的因数，才能符合标准。
师：那么，除了1、2、4，12和16还有其他的因数么？
师：把他们所有的因数填入椭圆中。（一个同学黑板上贴，其他同学自己纸上）
（出示两个用硬纸板剪成的椭圆，分开贴在黑板上。）
师：（再出示2个椭圆，按照集合图的形式放）如果把2个椭圆按照这样放，那这些因数应该怎么填？在你自己的纸上填一填。（一个同学黑板上贴）
师：为什么这么填，你是怎么想的？
生：相交部分填1、2、4，表示12和16的公因数，另2部分表示它们剩余的因数。
师：因此，我们把1、2、4叫做16和12的公因数；其中，4是最大的公因数，叫做最大公因数。
揭示课题：最大公因数
师：黑板上的这图画，叫做集合图，用它来表示，可以比较直观地表示出两个数的公因数。
2、教学例2：怎么求18和27的最大公因数？
师：接写来我们来算一下18和27的最大公因数，请大家拿出草稿纸，在你的纸上算一算。
学生自主活动，在小组中交流，可能会有以下方法：
a：分别列出两个数的因数，再找最大公因数
b：先找出18的因数，再从18的因数中找出27的因数
c：先找出27的因数，再从27的因数中找出18的因数
d：利用分解质因数找最大公因数
学生汇报，教师记录：
18的因数有：1、2、3、6、9、18
27的因数有：1、3、9、27
公因数有：1、3、9
最大公因数是：9
练习：找出下面每组数的最大公因数：
15和12，30和45（请2个学生到黑板做板演）
3、公因数和最大公因数之间的关系。
师：现在黑板上有三组数，分别列出了它们的公因数和最大公因数，请同学们仔细观察，两个数的公因数和最大公因数有什么关系？
通过讨论得出：所有的公因数都是最大公因数的因数。
三、基本练习：
1、这是一份本月的福娃日历，请同学们用绿三角形画出哪些日期是18的因数，用红色圆圈画出哪些日期是30的因数，然后找出18和30的所有的公因数。有问题吗？
2、请打开课本第27页，完成练一练。[讲评]
四、深化练习：
1、让我们翻开第29页练习五第2题，这里出现了三个数，你还能解决相关的问题吗？
2、8、10、20三个数的公因数有？它们三个数的最大公因数是几？
五、拓展练习：
1、请同学们很快说出下列每组数的最大公因数：
6、9 10、6 20、30 13、5
2、你能探索出很快找出两个数最大公因数的办法吗？[小数缩小法]你是怎么应用这个方法的？举例说明。
3、应用“小数缩小法”求下列两组数的最小公因数。
8、10 45、60
六、知识应用：
1、某工厂为奥运会生产了下面两种规范的彩带。现在如果需要把这样的两根彩带剪成长度一样且没有剩余的短彩带，每根短彩带最长是多少厘米？
2、你是怎么想的？为什么短彩带的长度是原来两根彩带长度的最大公因数？
