正多边形作图教案(一)
等分圆周的方法有两种： 1.使用量角器法 n等份，从而把圆周分成n等份，依次连结各分点，即得到圆内接正n边形. 由于在度量正n边形的中心角时易有误差，所以使用量角器法是近似等分圆周的方法，在精确度要求不高的情况下可以使用量角器法. 2.尺规作图法 由于受尺规作图的限制，不能用尺规任意等分圆周，只能对于一些特殊的正n边形采用尺规作图法.尺规作图法比较准确. (1)正四、八边形的作图； 正四边形的作法： 如图1，①作直径AC⊥BD； ②依次连结AB、BC、CD、DA. 则四边形的ABCD即为所求作的正四边形. 证明：∵直径AC⊥BD， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°， ∴A、B、C、D是⊙O的四等分点， ∴四边形ABCD是正四边形. 正八边形的作法： 如图2，①作直径AC⊥BD； ②作∠AOB、∠BOC的平分线交⊙O于E、F点. ③延长EO、FO交⊙O于G、H点； ④依次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA. 则八边形AEBFCGDH即为所求作的正八边形. 证明：∵直径AC⊥BD， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90° ∵ OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC， ∴∠1=∠2=∠3=∠4. ∵ ∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8， ∴八边形AEBFCGDH为正八边形. (2)正六、三、十二边形的作图 正六边形的作法： 如图3，①作直径AD； ②分别为A、D为圆心，以⊙O半径OA为半径画弧交⊙O于B、F、C、E； ③依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FA. 则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形. 证明：连结OB、OC、OE、OF. ∵AB=OA=OB， ∴∠1=60° 同理 ∠2=∠3=∠4=60°. ∵∠AOD=180°， ∴∠5=∠6=60°. ∴∠1=∠5=∠3=∠4=∠6=∠2. ∴六边形ABCDEF是正六边形. 正三角形的作法： 如图4，①作直径AD； ②以D为圆心，以⊙O半径为半径画弧交⊙O于B、C点； ③依次连结AB、BC、CA. 则△ABC即为所求作的正三角形. 证明：连结OB、OC、BD、CD. ∵BD=DO=OB， ∴∠BOD=60°. 同理 ∠DOC=60° ∴∠BOC=120°. ∵∠AOD=180°， ∴∠AOB=∠AOC=120°. ∵ ∠AOB=∠BOC=∠COA， 则△ABC为正三角形. 说明：利用二等分三角形各中心角的方法也可以得到正六边形，但是这样产生的误差较大. 正十二边形的作法： 如图5，①作直径AG⊥DQ； ②分别以A、D、G、Q为圆心，以⊙O半径为半径画弧分别交⊙O于C、R、B、F、E、P、H、S点； ③依次连结AB、BC、CD、DE、…、SA. 则十二边形ABCD……S即为所求作的正十二边形. 证明：连结AC、OB、OC、OE、…、OS. ∵AC=OA=OC， ∴∠AOC=60°. ∵直径AG⊥DQ， ∴∠AOD=90°， ∴∠COD=30°. 同理 ∠AOB=30°， ∴∠BOC=30°. 同理 ∠DOE=…=∠SOA=30°. ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=…=∠SOA， ∴十二边形ABCDE…S为正十二边形. 说明：这里介绍的正十二边形的作法，比起利用二等分正六边形的各中心角的方法作正十二边形较为精确. 当然，如果把正八边形、正十二边形的各中心角二等分，那么也可以作出正十六边形、正二十四边形，但这样作误差可能大些. 注意：在用尺规作正多边形时，为了减少累积误差，应尽量避免从圆上某一点开始连续截取等弧的方法. 小结：这节课我们着重研究了用尺规作特殊的正多边形的方法.通过作图，大家进一步体会到作正n边形的实质就是将圆n等分的问题.在生产实践中，常常会遇到等分圆周的问题，所以希望大家一定要掌握好这些基本的正多边形的作法. 2.(1)画一个半径为2cm的正九边形； (2)画一个边心距为2cm的正六边形. 3.尺规作图： (1)作半径为2cm的⊙O内接正八边形； (2)作半径为2cm的⊙O内接正十二边形. 4.已知⊙O和⊙O上的一点A， (1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； 作业 答案：(略).
