充要条件与反证法
a.x<0 b.x≥0
c.x∈{-1,3,5} d.x≤- 或x≥3
剖析:∵2x2-5x-3≥0成立的充要条件是x≤- 或x≥3,∴对于a当x=- 时 2x2-5x-3≥0.同理其他也可用特殊值验证.
答案:c
【例2】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.
证明:(1)必要性,即"若x=1是方程ax2+bx+c=0的根,则a+b+c=0".
∵x=1是方程的根,将x=1代入方程,得a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
(2)充分性,即"若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的根".
把x=1代入方程的左边,得a·12+b·1+c=a+b+c.∵a+b+c=0,∴x=1是方程的根.
综合(1)(2)知命题成立.
深化拓展
求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.
证明:必要性:
(1)方程有一正根和一负根,等价于
a<0.
(2)方程有两负根,等价于
0<a≤1.
综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是a<0或0<a≤1.
充分性:由以上推理的可逆性,知当a<0时方程有异号两根;当0<a≤1时,方程有两负根.故a<0或0<a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.
答案:a<0或0<a≤1.
【例3】 下列说法对不对?如果不对,分析错误的原因.
(1)x2=x+2是x =x2的充分条件;
(2)x2=x+2是x =x2的必要条件.
解:(1)x2=x+2是x =x2的充分条件是指x2=x+2 x =x2.
但这里" "不成立,因为x=-1时," "左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理:
x2=x+2 x= x2=x .
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
(2)x2=x+2是x =x2的必要条件是指x =x2 x2=x+2.
但这里" "不成立,因为x=0时," "左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:
x =x2 =x x+2=x2.
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
评述:此题的解答比较注重逻辑推理.事实上,也可以从真值集合方面来分析:x2=x+2的真值集合是{-1,2},x =x2的真值集合是{0,2},{-1,2} {0,2},而{0,2} {-1,2},所以(1)(2)两个结论都不对.
●闯关训练
夯实基础
1.(XX年重庆,7)已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的
a.充分不必要条件 b.必要不充分条件
