高三数学第一轮复习讲义空间的距离
例2.在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱 ， 分别是 ，与 的中点，点 在平面 上的射影是 的重心 ，（1）求 与平面 所成角的正弦值；（2）求点 到平面 的距离. 解：建立如图的空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ， ，∵ 分别是 ，与 的中点， ∴ ，∵ 是 的重心， ，∴ ， ，，∵ 平面 ， 得 ，且 与平面 所成角 ， ，， ， （2） 是 的中点， 到平面 的距离等于 到平面 的距离的两倍， ∵ 平面 ， 到平面 的距离等于 .小结：根据线段 和平面 的关系，求点 到平面 的距离可转化为求 到平面 的距离的两倍. 例3.已知正四棱柱 , 点 为 的中点，点 为 的中点，（1）证明: 为异面直线 的公垂线； （2）求点 到平面 的距离. 解：（1）以 分别为 轴建立坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ 为异面直线 的公垂线. （2）设 是平面 的法向量，∵ ， ∴ ， ， ， 点 到平面 的距离 . 小结：由平面的法向量能求出点到这个平面的距离.五.课后作业： 班级 学号 姓名 1.已知 正方形 所在平面， ，点 到平面 的距离为 ， 点 到平面 的距离为 ，则 （ ） 2.把边长为 的正三角形 沿高线 折成 的二面角，点 到 的距离是（ ） 3.四面体 的棱长都是 ， 两点分别在棱 上，则 与 的最短距离是（ ） 4.已知二面角 为 ， 角， ，则 到平面 的距离为 .
