“加法的交换律和结合律”的两次教学实践与反思
波利亚指出：“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程，那么就应该让合情推理占有适当的位置。”《数学课程标准》也提出要求：“发展初步的合情推理能力，能用实例对一些数学猜想作出检验。”课程改革以来，合情推理受到了教师们前所未有的关注，数学教材中也大量地采用了数学猜想、枚举归纳等合情推理的方法。不可否认，许多重大的数学发现都是在猜想中诞生的，但与此同时，我还看到了一些令人担忧的现象：当学生的猜想与教师不谋而合时，教师喜形于色；在猜想只是得到个别实例的印证而不是普遍印证时，结论匆匆而定……我感到了验证意识的淡化和漠视，验证方法的盲目和缺失。最近我对“加法的交换律和结合律”进行了两轮的教学实践与反思，使我对如何在课堂教学中发展初步的合情推理能力，能用实例对一些数学猜想作出检验，有了更深刻的理解；对如何利用数学猜想、枚举归纳等合情推理的方法，有了进一步的感悟。
案例：加法交换律和加法结合律
教学加法交换律时，出示了以下几组算式让学生计算。
16+27 27+16
45+27 27+45
……
师：你发现了什么？大胆地猜猜看！（生自由发表意见，师随之用等于号将每组算式的左右两边连接起来。）
师：是不是像这样的算式都有同样的规律呢？你能仿照黑板上的样子，再写几个吗？
……
反思与实践
从课堂教学流程上看，学生写出了很多，也交流了不少，论据可谓充分。可在课后交流评析时，教研室赵主任的一句追问：“学生算了吗？”使我如梦初醒。学生所举的大量实例的价值就遭到了怀疑。原来，他们只是在机械地模仿，举的例子也是漫无目的，甚至不知道教师的本意是让他们通过计算来验证，而不是简单地依葫芦画瓢！如此“验证”，徒具其形，未具其神。如此“验证”，所谓的渗透数学思想方法，提升学生的思维水平的目标实现也只能是纸上谈兵罢了。教学的的失败使我陷入了深刻的思考。教学流程虽致力于让学生经历“猜想—验证”的过程，也意识到“枚举归纳”是小学阶段重要的验证方法，但是对于“枚举归纳法”都缺乏深层次的认识。于是我们对相关理论进行了再学习，明白了所谓枚举归纳是“根据一类事物中部分对象具有某种属性并且没有遇到反例，从而推出该类所有对象都具有这种属性的归纳推理。”运用简单枚举归纳推理时应注意：被考察的对象数量越多、范围越广，结论就越可靠。教学之所以失败，症结就在这里。
可以说，解剖课例的过程是痛苦的。但惟其痛苦，才有“凤凰涅磐”般的重生。于是有了第二次实践。
为了防止学生机械模仿，我先示范着现场编出两个算式：
17+39 39+17
师：这两个算式是否相等？怎样才能知道？（强调计算）然后郑重其事地在中间划上了等于号。
师：请你再写几组这样的算式，并且算一算，看看刚才的猜想是否正确？
学生举例、计算，教师有选择、有顺序地组织交流。
生1：因为10+20=30 20+10=30 所以10+20=20+10
生2：因为18+26=44 26+18=44 所以18+24=24+18
师：上面的例子都是两位数加两位数，还有不同的例子吗？
生3：因为7+9=16 9+7=16 所以7+9=9+7
生4：因为8+18=26 18+8=26 所以8+18=18+8
生5：因为126+100=226 100+126=226 所以126+100=100+126
