《数学归纳法及其应用课堂实录
[指出错误，并分析出错原因，是澄清学生模糊认识的有效方法.]
师：从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式.数学归纳法的核心是在验证n取第一值n0正确的基础上，由P(k)正确证明P(k+1)正确，也就是说核心是证明命题的正确具有递推性.因此，今后用数学归纳法证明时，第二步必须由归纳假设P(k)的正确性来推导出P(k+1)的正确性，简记作.可见，正确使用归纳假设，是用数学归纳法证题的关键.
[教师的概括与强调，能使学生运用数学归纳法证题的思路进一步清晰和明确，不再机械地套用两个步骤，而且能深入理解实质及两个步骤之间的内在联系.]
师：用数学归纳法证明命题的两个步骤中，仅有第一步骤验证而没有第二步骤递推性的证明是不行的，那么，没有第一步行吗？
[新的问题引起学生新的思索.]
生甲：第一步仅是验证当n取第一个值n0时结论正确.其实，这是显然的，可以省略.
生乙：第一步是第二步递推的基础，没有第一步是不行的.
师：让我们举一个例子来看一下：试问等式2+4+6+……+2n=n2+n+1成立吗？
设n=k时成立，即2+4+6+……+2k=k2+k+1
则2+4+6+……+2k+2(k+1)=k2+k+1+2k+2=(k+1)2+(k+1)+1
这就是说，n=k+1时等式也成立，若仅由这一步就得出等式对任何n∈N都成立的结论，那就错了.事实上，当n=1时左边=2，右边=3，左边≠右边，可能有的同学已经看出，该式左边总是偶数，而右边总是奇数，因此对任何n∈N该式都是不成立的.因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据.缺了第一步，递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去.
三、练习
用数学归纳法证明：n边形的对角线的条数是(n≥4)
四、小结
师：本节课主要讲了数学归纳法及其应用，应掌握下列几个要点：
(1)数学归纳法证题的步骤：
①验证P(n0)成立.
②假设P(k)成立(k∈N且k≥n0)，推证P(k+1)成立.
(2)数学归纳法的核心，是在验证P(n0)正确的基础上，证明P(n)的正确具有递推性(n≥n0).第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据.因此，两步缺一不可，证明中，恰当地运用归纳假设是关键.
(3)数学归纳法适用的范围是：证明某些与连续自然数有关的命题.
(4)归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法，归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想.
五、布置作业(略)
点评：本节课练中有讲，讲中有练，讲与练结合.在讲与练的相互作用下，使学生的思维逐步深化，教师提出的问题和例题，先由学生自己解答，然后教师分析与概括，在教师讲解新课中，又不断提出问题让学生解答和练习，以求在练习中加深理解.
