公约数与最大公约数
一、情景导入课件：出示长30分米，宽24分米的长方形。师：同学们，今天老师请大家帮一个忙，老师有一间厨房要铺地砖，看大屏幕，这就是厨房的形状，长30分米，宽24分米，请同学们帮助老师选一选用多大的正方形地砖铺地，才能铺得既整齐又节约呢？告诉老师正方形的边长是几？生：1、2、3、6分米。师：如果老师还想铺快点，你认为哪一种方法最好？生：6分米。师：同学们是怎样想到用边长1、2、3、6分米的正方形在砖铺地砖铺地的？生：这些数既是30的约数又是24的约数。师：同学们的回答是正确的，为什么正确呢？这就是我们这节课将要探讨的内容。板书：最大公约数二、新课师：同学们8的约数有哪些？生：1、2、4、8。师：12的约数有哪些？生：1、2、3、4、6、12。师：请同学们观察一下哪些是8和12公有的约数？生：1、2、4。师：我们把8和12公有的约数1、2、4叫做8和12的公约数。师：这些公约数中，谁最大？生：4。师：4就是8和12的最大公约数。师：通过刚才的探索，你能说说什么是公约数，什么是最大公约数。生：说概念。师：好，12个数公有的约数叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。师：好，看大屏幕，请同学们齐读一遍。师：当然8除的公约数外，8还有独有的约数8，12还有独有的约数，3、6、12。师：下面请同学们找出15和18的公约数，再找出它的最大公约数。师：15的约数有哪些？生：……师：18的约数有哪些？生：1、2、3、6、9、18。师：15和18的公约数有哪些？生：1、3。师：15和18的最大公约数是几？生：3。师：除公约数外，15独有的约数是多少？生：5、15。师：18独有的约数是几？生：2、6、9、18。师：下面请同学们找出5和7、7和9、8和9的公约数和最大公约数。生：找到了。师：好，谁来说5和7的公约数和最大公约数？生：……师：好，谁来说7和9的公约数和最大公约数？生：……师：谁来说8和9？生：……师：请同学们仔细观察一下，5和7，7和9、8和9它的公约数有什么特点？生：公约数都是1。公约数只有一个。师：我们把公约数只有1的两个数叫做互质数，好，请同学们齐读一遍。生：（读）师：谁能举一组互质数。生：……师：好，请同学们想一想质数和互质数有什么不同？生：……师：质数只对一个数来说，互质数是对两个数来说的。师：上面我们用到举例法找出了两个数的最大公约数，你们觉得这种方法麻烦吗？生：麻烦。师：那有没有简便的方法来求两个数的最大公约数呢？下面我们就一起来探讨，请同学们先用列举法找出18和30的最大公约数，再把18和30分解质因数有什么联系？师：好，开始。（推导）师：谁来说说你们组探讨的结果。……生：18和30的最大公约数6等于18和30公有质因数2和3的乘积。师：18分解质因数是：生：18＝2×3×3师：30分解质因数是：生：30＝2×3×5师：18和30的最大公约数就等于公有质因数2和3的乘积。师：谁能说说为什么可以这样算？公约数要包含两个公有的质因数。生：最大公约数能整除这两个数，所以必须包含这些公有的质因数的乘积。师：好，18和30的公约数，既能整除18又能整除30，所以18和30的公约数不必须包含18和30公有的质因数，而最大公约数是公约数中最大的一个，它就必须包含全部公有的质因数，所以最大公约数等于全部公有质因数的乘积。
