复数的加法与减法

复数的加法与减法

    难点:对复数减法几何意义理解和应用.
    教学过程设计
    (一)引入新课
    上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义.(板书课题:复数减法及其几何意义)
    (二)复数减法
    复数减法是加法逆运算,那么复数减法法则为( i)( i)=( ) ( )i,
    1.复数减法法则
    (1)规定:复数减法是加法逆运算;
    (2)法则:( i)( i)=( ) ( )i( , , , ∈r).
    把( i)( i)看成( i) (1)( i)如何推导这个法则.
    ( i)( i)=( i) (1)( i)=( i) ( i)=( ) ( )i.
    推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算.
    推导:设( i)( i)= i( , ∈r).即复数 i为复数 i减去复数 i的差.由规定,得( i) ( i)= i,依据加法法则,得( ) ( )i= i,依据复数相等定义,得
    故( i)( i)=( ) ( )i.这样推导每一步都有合理依据.
    我们得到了复数减法法则,两个复数的差仍是复数.是唯一确定的复数.
    复数的加(减)法与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即( i)±( i)=( ± ) ( ± )i.
    (三)复数减法几何意义
    我们有了做复数减法的依据——复数减法法则,那么复数减法的几何意义是什么?
    设z= i( , ∈r),z1= i( , ∈r),对应向量分别为 , 如图
    由于复数减法是加法的逆运算,设z=( ) ( )i,所以zz1=z2,z2 z1=z,由复数加法几何意义,以 为一条对角线, 1为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边 2所表示的向量oz2就与复数zz1的差( ) ( )i对应,如图.
    在这个平行四边形中与zz1差对应的向量是只有向量 2吗?
    还有 . 因为oz2 z1z,所以向量 ,也与zz1差对应.向量 是以z1为起点,z为终点的向量.
    能概括一下复数减法几何意义是:两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
    (四)应用举例
    在直角坐标系中标z1(2,5),连接oz1,向量 1与多数z1对应,标点z2(3,2),z2关于x轴对称点z2(3,2),向量 2与复数对应,连接,向量与的差对应(如图).
    例2根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内两点间的距离公式.
    解:设复平面内的任意两点z1,z2分别表示复数z1,z2,那么z1z2就是复数对应的向量,点之间的距离就是向量的模,即复数z2z1的模.假如用d表示点z1,z2之间的距离,那么d=|z2z1|.
    例3 在复平面内,满足下列复数形式方程的动点z的轨迹是什么.
    (1)|z1i|=|z 2 i|;
    方程左式可以看成|z(1 i)|,是复数z与复数1 i差的模.
    几何意义是是动点z与定点(1,1)间的距离.方程右式也可以写成|z(2i)|,是复数z与复数2i差的模,也就是动点z与定点(2,1)间距离.这个方程表示的是到两点( 1,1),(2,1)距离相等的点的轨迹方程,这个动点轨迹是以点( 1,1),(2,1)为端点的线段的垂直平分线.