《说数》教案
显示一下指数的威力！”
指数是同一数的连乘积。例如国际象棋的棋盘共有64格，在这些格子里按指数律放米
粒，除了第一格放1粒米以外，其余的格子内放的米粒数都是2的连乘积：第二格里的米数
是2，第三格里是2x2=4，第四格里是2x2x2=8……以此类推，最后一格－－第六十四格里
是2连乘63次，大约等于922亿亿！如一斤米以两万粒计算，就合461万亿斤！将全中国
的耕地都拿来种稻米，要好几百年才能收这么多。如果将前面63格里的米粒也算在内，总
数还要增加近一倍！这就是指数的威力，难怪国王不知所措了。
自然界中有不少事物是以指数律增长的。细菌的繁殖即为一例：细菌一般是以分裂进行
繁殖的，一变二，二变四，四变八……如果环境条件适合，往往几小时就增加一倍！这样的
指数增长要不了多久，整个地球表面就被这一种细菌占满了！但是为什么这种灾难从来没有
发生过呢？原来指数增长只是一种数学规律，能否在现实世界中发生还要看物质条件。细菌
的繁殖需要养料，现实世界中养料是有限的，还有别的生物分享，等到细菌获得的养料将近
耗尽时，增长就会减缓以至停顿，这种现象称为饱和。
由于指数增长的速度极快，而且越来越快。只要时间足够长，就会超过天文数字而趋向
无限大。所以现实世界中的任何指数增长现象必然会达到饱和。下面是两个实例。
从事电脑和集成电路工作的人都知道有一条根据经验得出的“摩尔定律”：电脑的运行速
度及存储容量每隔18个月就增加一倍。这个规律已保持了几十年，迄今为止仍然成立。问
题是会不会永远保持下去？根据现实中的指数增长必然会达到饱和的原理，就可以断定摩尔
定律决不可能永远保持下去。具体机制是，电脑速度和存储量的增长都是靠不断缩小集成电
路晶片上电子元件的尺寸来实现的，目前已经做到比百万分之一米还要小，再继续缩小下去
就和原子的直径差不多了。小到这种程度，电子的运动规律就要起变化，微观的量子效应将
起主导作用。到那时不仅摩尔的指数增长定律会饱和，而且照老规矩设计的微电路根本无法
正常运行。科学家未雨绸缪，已在研究量子元件，为下一代的集成电路作准备了。但不管怎
样，摩尔定律不可能永远保持下去。
另一个例子是“信息爆炸”。本世纪以来，书籍、报刊、资料等所包含的信息量大约每五
年增加一倍，根据上述同样的原理，这种信息量的指数增长也不可能永远保持下去，迟早会
达到饱和。具体机制是，信息是为了给人利用的，太多了就无法有效地加以利用，到那时信
息量的指数增长就会受到需求不足的抑制而趋于饱和。
我们已经看到指数增长的强大威力。科学家日常和指数打交道，想必不会忽视。也不尽
然，有时不小心也会犯错，下面讲一个因此而闹出笑话的故事。六十年代初，美国一位信息
科学家（姑隐其名）灵机一动，想出一个绝妙的主意，发表文章说，人的大脑所进行的智力
活动都可以通过选择来实现。他举例说明：作家写文章属于高级智力活动，写出来的文章不
仅要有意义，要符合文法和修辞的规则，还要讲究气势、意境和美等等。但是如果有一定的
选择机制，猴子也能办到！这可真是一语惊人，但他并非开玩笑。他说给猴子一架打字机，
让它在键盘上任性乱打，这样打出来的东西当然绝大部分是垃圾，但偶尔也会出现一句有意
