概率统计的解题技巧
③曲线的对称轴位置由μ确定;曲线的形状由 确定, 越大,曲线越"矮胖";反之越"高瘦".
(4)标准正态分布
当 =0, =1时 服从标准的正态分布,记作 (0,1)
(5)两个重要的公式
① ,② .
(6) 与 二者联系.
① 若 ,则 ;
②若 ,则 .
2.线性回归
简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.
变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.
具体说来,对n个样本数据( ),( ),…,( ),其回归直线方程,或经验公式为: .其中 ,其中 分别为| |、| |的平均数.
例20.如果随机变量ξ~n(μ,σ2),且eξ=3,dξ=1,则p(-1<ξ≤1=等于( )
a.2φ(1)-1 b.φ(4)-φ(2)
c.φ(2)-φ(4) d.φ(-4)-φ(-2)
解答过程:对正态分布,μ=eξ=3,σ2=dξ=1,故p(-1<ξ≤1)=φ(1-3)-φ(-1-3)=φ(-2)-φ(-4)=φ(4)-φ(2).
答案:b
例21. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在d ℃,液体的温度ξ(单位:℃)是一个随机变量,且ξ~n(d,0.52).
(1)若d=90°,则ξ<89的概率为 ;
(2)若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99,则d至少是 ?(其中若η~n(0,1),则φ(2)=p(η<2)=0.9772,φ(-2.327)=p(η<-2.327)=0.01).
思路启迪:(1)要求p(ξ<89)=f(89),
∵ξ~n(d,0.5)不是标准正态分布,而给出的是φ(2),φ(-2.327),故需转化为标准正态分布的数值.
(2)转化为标准正态分布下的数值求概率p,再利用p≥0.99,解d.
解答过程:(1)p(ξ<89)=f(89)=φ( )=φ(-2)=1-φ(2)=1-0.9772=0.0228.
(2)由已知d满足0.99≤p(ξ≥80),
即1-p(ξ<80)≥1-0.01,∴p(ξ<80)≤0.01.
∴φ( )≤0.01=φ(-2.327).
∴ ≤-2.327.
∴d≤81.1635.
故d至少为81.1635.
小结:(1)若ξ~n(0,1),则η= ~n(0,1).(2)标准正态分布的密度函数f(x)是偶函数,x<0时,f(x)为增函数,x>0时,f(x)为减函数.
例22.设 ,且总体密度曲线的函数表达式为: ,x∈r.
(1)则μ,σ是 ;(2)则 及 的值是 .
思路启迪: 根据表示正态曲线函数的结构特征,对照已知函数求出μ和σ.利用一般正态总体 与标准正态总体n(0,1)概率间的关系,将一般正态总体划归为标准正态总体来解决.
解答过程:⑴由于 ,根据一般正态分布的函数表达形式,可知μ=1, ,故x~n(1,2).
.
又
.
小结:通过本例可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联.
例23. 公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的,如果某地成年男子的身高ε~n(173,7)(单位:cm),则车门应设计的高度是 (精确到1cm)?
思路启迪:由题意可知,求的是车门的最低高度,可设其为xcm,使其总体在不低于x的概率小于1%.
解答过程:设该地区公共汽车车门的最低高度应设为xcm,由题意,需使p(ε≥x)<1%.
∵ε~n(173,7),∴ 。查表得 ,解得x>179.16,即公共汽车门的高度至少应设计为180cm,可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
