圆和圆的位置关系
1、把握相交两圆的性质定理;
2、把握相交两圆问题中常添的辅助线的作法;
3、通过例题的分析,培养学生分析问题、解决问题的能力;
4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美.
教学重点
相交两圆的性质及应用.
教学难点
应用轴对称来证实相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线.
教学活动设计
(一)图形的对称美
相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢?
(二)观察、猜想、证实
1、观察:同样相交两圆,也构成对称图形,它是以连心线为对称轴的轴对称图形.
2、猜想:“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”.
3、证实:
对a层学生让学生写出已知、求证、证实,教师组织;对b、c层在教师引导下完成.
已知:⊙o1和⊙o2相交于a,b.
求证:q1o2是ab的垂直平分线.
分析:要证实o1o2是ab的垂直平分线,只要证实o1o2上的点和线段ab两个端点的距离相等,于是想到连结o1a、o2a、o1b、o2b.
证实:连结o1a、o1b、 o2a、o2b,∵o1a=o1b,
∴o1点在ab的垂直平分线上.
又∵o2a=o2b,∴点o2在ab的垂直平分线上.
因此o1o2是ab的垂直平分线.
也可考虑利用圆的轴对称性加以证实:
∵⊙ol和⊙o2,是轴对称图形,∴直线o1o2是⊙ol和⊙o2的对称轴.
∴⊙ol和⊙o2的公共点a关于直线o1o2的对称点即在⊙ol上又在⊙o2上.
∴a点关于直线o1o2的对称点只能是b点,
∴连心线o1o2是ab的垂直平分线.
定理:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
注重:相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦,而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.
(三)应用、反思
例1、已知两个等圆⊙ol和⊙o2相交于a,b两点,⊙ol经o2。
求∠olab的度数.
分析:由所学定理可知,o1o2是ab的垂直平分线,
又⊙o1与⊙o2是两个等圆,因此连结o1o2和ao2,ao1,△o1ao2构成等边三角形,同时可以推证⊙o l和⊙o2构成的图形不仅是以o1o2为对称轴的轴对称图形,同时还是以ab为对称轴的轴对称图形.从而可由
∠olao2=60°,推得∠olab=30°.
解:⊙o1经过o 2,⊙o1与⊙o2是两个等圆
∴ola= o1o2= ao2
∴∠o1a o2=60°,
又ab⊥o1o2
∴∠olab =30°.
例2、已知,如图,a是⊙o l、⊙o2的一个交点,点p是o1o2的中点。过点a的直线mn垂直于pa,交⊙o l、⊙o2于m、n。
求证:am=an.
