不等式的性质
当x＝0时，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1
当x≠0时，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1
此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写
得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差--变形--判断符号 这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要
例3已知a>b>0，m>0，试比较 与 的大小
解：
∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0
∴ ∴ >
从而揭示"糖水加糖甜更甜"的数学内涵
例4 比较a4-b4与4a3(a-b)的大小.
解： a4-b4 - 4a3(a-b)
=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)
= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)
＝(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]
= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)
=- (a-b)2 (当且仅当d＝b时取等号)
∴a4-b4 4a3(a-b)
说明："变形"是解题的关键，是最重一步 因式分解、配方、凑成若干个平方和等是"变形"的常用方法
例5 已知x>y，且y≠0，比较 与1的大小
解：
∵x>y，∴x-y>0
当y<0时， <0，即 <1
当y>0时， >0，即 >1
说明：变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论
四、课堂练习：
1 在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（ ＋ ）2 6＋2 ；
（2）（ － ）2 （ －1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，log a log b
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
2 选择题
若a＜0，－1＜b＜0，则有( )
a a＞ab＞ab2 b ab2＞ab＞a c ab＞a＞ab2 d ab＞ab2＞a
分析：利用作差比较法判断a，ab，ab2的大小即可
∵a＜0，－1＜b＜0
∴ab＞0，b－1＜0，1－b＞0，0＜b2＜1，1－b2＞0
∴ab－a＝a（b－1）＞0 ab＞a
ab－ab2＝ab（1－b）＞0 ab＞ab2
a－ab2＝a（1－b2）＜0 a＜ab2
故ab＞ab2＞a
答案：d
3 比较大小：
(1)（x＋5）（x＋7）与（x＋6）2；
(2)log 与log
解：(1)（x＋5）（x＋7）－（x＋6)2
＝（x2＋12x＋35）－（x2＋12x＋36）
＝－1＜0
∴（x＋5）（x＋7）＜（x＋6）2
(2)解法一：(作差法)
log －log ＝
＝ ＞0
∴log ＞log
解法二：(中介法，常以"－1，0，1"作中介)
∵函数y＝log x和y＝log x在（0，＋∞）上是减函数且 ＞
∴log ＞log ＝1，log ＜log ＝1
∴log ＞log
4 如果x＞0，比较（ －1）2与（ ＋1）2的大小
解：（ －1）2－（ ＋1）2
＝［（ －1）＋（ ＋1）］［（ －1）－（ ＋1）
或［（x－2 ＋1）－（x＋2 ＋1）］＝－4
∵x＞0 ∴ ＞0 ∴－4 ＜0
∴（ －1）2＜（ ＋1）2
5 已知a≠0，比较（a2＋ a＋1）（a2－2 a＋1）与（a2＋a＋1）·（a2－a＋1）的大小
