排列、组合、二项式定理-基本原理
第一步从a村到b村有3种走法,第二步从b村到c村有2种走法,共有n=3×2=6种不同走法.
题2中的合数是4,6,8,9,10这五个,其中6既含有因数2,也含有因数3;10既含有因数2,也含有因数5.题中的分析是错误的.
从a村到c村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从a村走北路到b村后再到c村,只有南路这一种走法.
(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注重事项,这样安排,不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻,而且还可以培养学生的学习能力)
进行分类时,要求各类办法彼此之间是相互排斥的,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能单独完成这件事.只有满足这个条件,才能直接用加法原理,否则不可以.
假如完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有m种不同的方法,那么计算完成这件事的方法数时,就可以直接应用乘法原理.
也就是说:类类互斥,步步独立.
(在学生对问题的分析不是很清楚时,教师及时地归纳小结,能使学生在应用两个基本原理时,思路进一步清楚和明确,不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法,只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)
(三)应用举例
现在我们已经有了两个基本原理,我们可以用它们来解决一些简单问题了.
例1 书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书.
(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法?
(2)若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法?
(3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法?
(让学生思考,要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由,教师巡视指导,并适时口述解法)
(1)从书架上任取一本书,可以有3类办法:第一类办法是从3本不同数学书中任取1本,有3种方法;第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本,有5种方法;第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本,有6种方法.根据加法原理,得到的取法种数是
n=m1+m2+m3=3+5+6=14.故从书架上任取一本书的不同取法有14种.
(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本,需要分成三个步骤完成,第一步取1本数学书,有3种方法;第二步取1本语文书,有5种方法;第三步取1本英语书,有6种方法.根据乘法原理,得到不同的取法种数是n=m1×m2×m3=3×5×6=90.故,从书架上取数学书、语文书、英语书各1本,有90种不同的方法.
(3)从书架上任取不同科目的书两本,可以有3类办法:第一类办法是数学书、语文书各取1本,需要分两个步骤,有3×5种方法;第二类办法是数学书、英语书各取1本,需要分两个步骤,有3×6种方法;第三类办法是语文书、英语书各取1本,有5×6种方法.一共得到不同的取法种数是n=3×5+3×6+5×6=63.即,从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种.
