平面向量

平面向量

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.
4.向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5.两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1  ea = ae =|a|cos；    2  ab  ab = 0
3  当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4cos =  ；5|ab| ≤ |a||b|
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1.交换律：a  b = b  a
证：设a，b夹角为，则a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos
 ∴a  b = b  a
2.数乘结合律：( a)b = (ab) = a( b)
证：若 > 0，( a)b = |a||b|cos，  (ab) = |a||b|cos，a( b) = |a||b|cos，
若 < 0，( a)b =| a||b|cos() =  |a||b|(cos) = |a||b|cos， (ab) = |a||b|cos，
a( b) =|a|| b|cos() =  |a||b|(cos) = |a||b|cos.
3.分配律：(a + b)c = ac + bc
  在平面内取一点o，作 = a，  = b， = c，  ∵a + b （即 ）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即   |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2
 ∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb     即：(a + b)c = ac + bc
说明：（1）一般地，(a•b)с≠a（b•с）
（2）a•с＝b•с，с≠0 a＝b
（3）有如下常用性质：a2＝｜a｜2，
（a＋b）（с＋d）＝a•с＋a•d＋b•с＋b•d
(a＋b)2＝a2＋2a•b＋b2
三、讲解范例：
例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角.
解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0    ①
    (a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30ab + 8b2 = 0    ②
两式相减：2ab = b2
代入①或②得：a2 = b2
设a、b的夹角为，则cos =    ∴ = 60