牛顿运动定律
2、动力学的临界和极值的求法
【例6】如图所示，2kg的物体放在水平地面上，物体离墙20m，现用30n的水平力作用于此物体，经过2s可到达墙边，若仍用30n的力作用于此物体，求使物体到这墙边作用力的最短作用时间？
解析：要使推力作用时间最短，但仍可到达墙边，则物体到达墙边的速度应恰好为零，物体第一次受推力加速运动得：a1＝2s/t2＝10 m/s2
由f一f=ma1得f=f一ma1＝10 n
设撤去外力f时物体的速度为v
则v＝a1t1＝a2t2，其中a2=f/m=5m/s2
故有t2 =2t1 ，s=s1＋s2=½ a1t12＋½a2t22 即.20＝½ ×10t12＋½ ×5（2t2）2
解出 t1＝ 1.15s
答案： 1.15s
注意:力的作用时间最短与物体运动时间最短有什么区别?如何求物体运动到墙的最短时间?
【例7】如图所示，在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体，物体下有一托盘，用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长.然后使托盘以加速度a竖直向下做匀加速直线运动（a＜g），试求托盘向下运动多长时间能与物体脱离？
解析：在物体与托盘脱离前，物体受重力、弹簧拉力和托盘支持力的作用，随着托盘向下运动，弹簧的弹力增大，托盘支持力减小，但仍维持合外力不变，加速度不变，物体随托盘一起向下匀加速运动.当托盘运动至使支持力减小为零后，弹簧拉力的增大将使物体的加速度开始小于a，物体与托盘脱离.所以物体与托盘脱离的条件是支持力 n＝0.设此时弹簧伸长了x；物件随托盘一起运动的时间为t.由牛顿第二定律有mg－kx＝ma
由匀变速运动规律有x＝½at2，由此解得t=
【例8】如图所示，一质点自倾角为θ的斜面的上方点o，沿一光滑斜槽oa下滑.欲使此质点到达斜面所需的时间最短，则斜槽oa与竖直线ob所成的角β应为何值？
解：作一过点o且与斜面相切的圆，切点为a,圆心为o1，ob为过点o的一条直径，如图所示.由结论可知，从点o沿不同的光滑斜槽到达圆周上各点的时间相同，沿光滑斜槽oa到达a也就到达斜面，而沿其他不同的斜槽到达圆周上的时间虽然相同，但没有到达斜面，不符合题意.所以，沿oa斜槽所需的时间最短.
如图连接o1 a,∠ao1 b =θ,得∠aob=θ/2，即∠β=θ/2
又解：如图所示，由o点向斜面引垂线oc,设oc的长为b(定值），沿任一光滑槽oa到达斜面所用时间为t, oa与竖直线ob所成夹角为β，由牛顿第二定律，沿oa下滑的加速度a= gcosβ……①
…………②
………③
由①②③式可得t= ………④
由④式得当β=θ－β即β=θ/2时，t最小.
【例9】一个物体在斜面上以一定的速度沿斜面向上运动，斜面底边水平，斜面倾角θ可在0～л/2间变化，设物体达到的最大位移x和倾角θ间的关系如图所示，试计算θ为多少时x有最小值，最小值是多少？
【解析】物体以一定的速度沿斜面向上运动，合力大小为重力的分力与滑动摩擦力之和。重力的分力（下滑力）随θ增大而增大；滑动摩擦力由压力和动摩擦因数决定，动摩擦因数为定值，则由于压力等于重力的另一分力随θ增大而减小，故滑动摩擦力随θ增大而减小。由此加速度可以有最小值。初速、末速给定时，加速度最小必对应位移取得最小值。
