2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试
数学理工(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．
A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i
3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．
2
1111
A．3 B．3 C．9 D．9
4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l
α，
l
β，则( )．
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
52
5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为5，则a＝( )．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．
1111+
10 A．23
1111+
10! B．2!3!
1111+
11 C．23
1111+
11! D．2!3!
7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，
(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．
8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
x 1,
9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件 x y 3,若z＝2x＋y的最小值为1，则
y a x 3 .
a＝( )．
11
A．4 B．2 C．1 D．2
32
10．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．
A． x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
2
11．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．
1 1 11 1 1 , 2322 D． 32 C
． A．(0,1) B
．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第
24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE BD＝__________.
14．(2013课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之
和等于5的概率为
1
，则n＝__________. 14
π 1
则sin θ＋cos θ＝__________. ，
4 2
15．(2013课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若tan
16．(2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB
＝
AB. 2
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．
19．(2013课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．
x2y2
20．(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2 2=1(a＞b
ab1
＞0)
右焦点的直线x y 0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
2
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
x
21．(2013课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)＞0.
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22．(2013课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆． (1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
x 2cost,
已知动点P，Q都在曲线C： (t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，
y 2sint
M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
24．(2013课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)ab＋bc＋ac≤
1； 3
a2b2c2(2) 1.
bca
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 答案：A
2
解析：解不等式(x－1)＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A. 2． 答案：A 解析：z=
2i2i 1 i 2 2i
＝＝－1＋i.
1 i 1 i 1 i 2
3．
答案：C
解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.
a1(1 q3)
∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，
1 q1 q32∴＝q＋10，整理得q＝9. 1 q
∵a5＝a1·q＝9，即81a1＝9，∴a1＝4． 答案：D
解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.
又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D. 5． 答案：D
解析：因为(1＋x)的二项展开式的通项为C5x(0≤r≤5，r∈Z)，则含x的项为C5x＋ax·C5x＝(10＋5a)x，所以10＋5a＝5，a＝－1. 6．
答案：B
解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；
2
5
4
1. 9
rr
2
221
11，S=1+； 22111
当k＝3时，T ，S 1+ ；
2 322 31111
当k＝4时，T ，S 1+ ；…；
2 3 422 32 3 4
1111
当k＝10时，T ，S 1+ ，k增加1变为11，满足k＞N，输出S，
2 3 4 102!3!10!
当k＝2时，T
所以B正确．
7． 答案：A
解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：
则它在平面zOx上的投影即正视图为8． 答案：D
解析：根据公式变形，a
，故选A.
lg6lg2lg10lg2lg14lg2
，b ，c ，因为lg 7＞lg 5 1 1 1
lg5lg5lg7lg7lg3lg3
lg2lg2lg2
＞lg 3，所以，即c＜b＜a.故选D.
lg7lg5lg3
9． 答案：B
解析：由题意作出
x 1,
所表示的区域如图阴影部分所示，
x y 3
作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得
a
11，所以a . 22
10． 答案：C
解析：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．
11． 答案：C
解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋则x0＝5－
p
＝5，2
p. 2
p p
,0 ，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0) x ＋(y－y0)y＝0.
2 2
y02
将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.
2
p 2
由y0＝2px0，得16 2p 5 ，解之得p＝2，或p＝8.
2
又点F的坐标为
所以C的方程为y＝4x或y＝16x.故选
C.
2
2
12． 答案：B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2
解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为
(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，所以
AE BD 2.
14．答案：8
2
解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有Cn种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以
21241 ，即，解得n＝8.
n n 1 C214n n 1 14n
2
π 1 tan 111
解析：由tan ，得tan θ＝ ，即sin θ＝ cos θ.
4 1 tan 233
10222
将其代入sinθ＋cosθ＝1，得cos 1.
9
因为θ为第二象限角，所以cos θ
＝ ，sin θ
＝，sin θ＋cos θ
＝ .
10105
15．
答案：16．答案：－49
解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝10a1＋
10 9
d＝10a1＋45d＝0，① 2
15 14
d＝15a1＋105d＝25.② 2
2
联立①②，得a1＝－3，d ，
3
n(n 1)21210
所以Sn＝ 3n n n.
2333
1310220
令f(n)＝nSn，则f(n) n n，f'(n) n2 n.
333
20
令f′(n)＝0，得n＝0或n .
3
202020当n 时，f′(n)＞0,0<n<时，f′(n)＜0，所以当n 时，f(n)取最小值，而n∈N＋，则f(6)
333
S15＝15a1
＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)由已知及正弦定理得
sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)，故
sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，
又B∈(0，π)，所以B (2)△ABC
的面积S
π. 4
1acsin B ac. 24
π22
由已知及余弦定理得4＝a＋c－2accos.
4
22
又a＋c≥2ac
，故ac ，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC
.
18．
解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点． 又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF. 因为DF 平面A1CD，BC1所以BC1∥平面A1CD. (2)由AC＝CB
＝
平面A1CD，
AB得，AC⊥BC. 2
以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD＝(1,1,0)，CE＝(0,2,1)，CA1＝(2,0,2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，
n CD 0, x1 y1 0,则 即
2x 2z 0.1 n CA1 0, 1
可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m是平面A1CE的法向量，
m CE 0,则 可取m＝(2,1，－2)． m CA1 0,
n·m 从而cos〈n，m
〉＝，
|n||m|故sin〈n，m
. 即二面角D－A1C－E
19．
解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000， 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000. 所以T
800X 39000,100 X 130,
65000,130 X 150.
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T
所以ET20．
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版相关文章：
