微积分第七章无穷级
数
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第七章无穷级数
一、本章的教学目标及基本要求：
（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本
性质和收敛的必要条件。
（2）掌握几何级数与p—级数的收敛性。
（3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。
（4）会用交错级数的莱布尼茨定理。
（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
（10）掌握函数«Skip Record If...»的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
（11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在«Skip Record If...»上的函数展开成傅氏级数，会将定义在«Skip
Record If...»上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和
的表达式。
二、本章教学内容的重点和难点：
重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．
难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．
§7.1常数项级数的概念及性质
一、内容要点
1、常数项级数概念：
常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；
2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件：
性质1：若级数«Skip Record If...»收敛于和s，则级数«Skip Record If...»也收敛，且其和为ks．(证明)
性质2：若级数«Skip Record If...»、«Skip Record If...»分别收敛于和s、σ，则级数«Skip Record If...»也收敛，且其和为s±σ．(证明)
性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数«Skip Record If...»收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；
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性质5(级数收敛的必要条件)：若级数«Skip Record If...»收敛，则它的一般项u n趋于零，即«Skip Record If...»．(证明)；
一、概念
定义:设已给定数列«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,…,
«Skip Record If...»…,称形式加法«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为«Skip Record If...», 即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…, 其中称«Skip Record If...»为一般项.
将其前«Skip Record If...»项的和: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»称为级数的前«Skip Record If...»项的部分和,或简称部分和.
注1: 由上我们便得到一个数列«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,…, «Skip Record If...»,…,从形式上不难知道«Skip Rec ord If...»=«Skip Record If...»,以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?
定义: 当«Skip Record If...»时,若部分和数列«Skip Record If...»有极限«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,就称常数项级数«Skip Record If...»收敛,且称«Skip Record If...»为其和,并记为: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record
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If...»+…+«Skip Record If...»+… , 若数列«Skip Record If...»没有极限,就称«Skip Record If...»发散.
注1: 当级数收敛时,其部分和«Skip Record If...»又可看成为«Skip Record If...»的近似值. 两者之差«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…称为级数«Skip Record If...»的余项.用
«Skip Record If...»代替«Skip Record If...»所产生的误差就是它的绝对值,即«Skip Record If...».
注2: 到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数«Skip Record If...»的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列«Skip Record If...»的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设«Skip Record If...»为一数列,令«Skip Record
If...»=«Skip Record If...»,«Skip Record If...»=«Skip Rec ord
If...»,…,«Skip Record If...»=«Skip Record If...», «Skip Record If...», 则«Skip Record If...»这样就由一数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转化.
[例1] 讨论一个简单级数―几何级数(等比级数):«Skip Record If...»的敛散性.其中«Skip Record If...»
解: 我们先考虑其部分和: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»利用中学知识,得«Skip Record If...»=«Skip Record If...» («Skip Record If...»时)
(I)当«Skip Record If...»时,由于«Skip Record If...»=«Skip
Record If...»=«Skip Record If...», 故几何级数收敛,且收敛
于«Skip Record If...».
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(II)当«Skip Record If...»时,由于«Skip Record If...»=«Skip Record If...»不存在,故此时几何级数发散.
(III)当«Skip Record If...»时,此时几何级数为: «Ski p Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip
Record If...»«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)此
时级数发散.
(IV)当«Skip Record If...»时,级数为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,
«Skip Record If...»不存在.故此时级数发散.
«Skip Record If...»综上所述,几何级数在«Skip Record If...»时
收敛,在«Skip Record If...»时发散.
[例2] 证明级数«Skip Record If...»收敛.
证: 首先,由于«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...» =«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»
=«Skip Record If...»
=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
«Skip Record If...»原级数收敛,且收敛于«Skip Record If...». [例3] 证明调和级数«Skip Record If...»发散.
证: «Skip Record If...»=«Skip Record If...»
=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record
If...»+…+«Skip Record If...»
=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...».显然«Skip Record If...»不存在. 故原级数发散.
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一、性质
性质1: (收敛的必要条件) 收敛的级数的一般项极限为0.即«Skip Record If...»收敛,则«Skip Record If...».
证: 设«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...». 即«Skip Record
If...»=«Skip Record If...».
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
注1: 若反之,则不一定成立.即«Skip Record If...», 原级数«Skip Record If...»不一定收敛. 如调和级数«Skip Record If...»发散,但«Skip Record If...».
注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若«Skip Record If...»,则原级数«Skip Record If...»一定不收敛.
性质2: 在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.
证: «Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…的部分和序列为«Skip Record If...»
«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…的部分和序列为«Skip Record If...».
则«Skip Record If...», 由于«Skip Record If...»为有限数,则«Skip Record If...»为一个有限数.
则«Skip Record If...»与«Skip Record If...»同敛散.
若原级数收敛,则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...». 则«Skip Record If...»收敛. 即«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…收敛
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若原级数发散,则«Skip Record If...»不存在, 故«Skip Record If...»也不存在. 则«Skip Record If...»发散. 即«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+…+«Skip Record If...»+…发散.
性质3: 若级数«Skip Record If...»收敛于«Skip Record If...»,则它的各项都乘以一常数«Skip Record If...»所得的级数«Skip Record If...»收敛于
«Skip Record If...».即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»
性质4: 若级数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别收敛于«Skip Record If...»和«Skip Record If...»,则级数«Skip Record If...»收敛于
«Skip Record If...».
注1: «Skip Record If...»称为级数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的和与差.
注2: 若级数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»之中有一个收敛,另一个发散,则«Skip Record If...»发散.若两个都发散,情况又如何呢?思考.
性质5: 收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.
注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某«Skip Record If...»项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.
注2: 若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某级数在加括号后所得的级数收敛,则原级数未必收敛.也就是说:发散的级数加括号后可能产生收敛的级数.例如: «Skip Record If...»是发散的,
但«Skip Record If...»是收敛的.
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