20.(本题满分8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=2x与反比例函数 的图象交于A,B两点,A点的横坐标为2,AC⊥x轴于点C,连接BC.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P是反比例函数 图象上的一点,
且满足△OPC与△ABC的面积相等,请直接写出
点P的坐标.
21.(本题满分8分)在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=3cm,点P从点A开始沿AB边向点 B以 的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以 的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发。
(1)几秒钟后,P、Q间的距离等于 cm?
(2)几秒钟后,△BPQ的面积等于△ABC面积的一半?
22.(本题满分9分)如图,已知等边△ABC,AB=12,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作 DF⊥AC,垂足为F,过点F作FG⊥AB,垂足为G,连结GD.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)求AF的长;
23.(本题满分10分)
传统节日“春节 ”到来之际,某商店老板以每件60元的价格购进一批商品,若以单价80元销售,每月可售出300件. 调查表明:单价每上涨1元,该商品每月的销售量就减少10件。
(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价x(元)间的函数关系式;
(2)单价定为多少元时,每月销售商品的利润?利润为多少?
24.(本题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(﹣1,0),以AB的中点P为圆心,AB为直径作⊙P与y轴的正半轴交于点C.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式;
(2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数解析式;
(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.
一、选择题
1、A 2、B 3、B 4、C 5、A 6、D 7、C 8、C 9、D 10、B
二、填空题
11、2 12、 13、10
14、144º 15、①②④ 16、
三、解答题
17、(1)解: , ,
= =
所以 , ...................5分
(2)解:
18.解:(1)(a,b)对应的表格为:
共12 种情况。.............4分
(2)上面这12种 情况中,在两种情况:(2,3)、(3、2)在反比例函数 图象上,所以所求概率为: ..............7分
19.(1)图略.........3分
点C1的坐标是(2,1)..............4分
(2)由勾股定理可得:OA2=13,OC2=5
线段AC扫过的面积为:S扇形AOA1-S扇形COC1= = .........8分
20.解:(1)将 代入 中,得 ,所以点A的坐标为(2,4)..2分
因为点A在反比例函数 的图象上,所以可得: ,
所以反比例函数的解析式为 ..............4分
(2)P(1,8)或P(-1,-8).............8分
21.解:(1 )设x秒后
则 ,所以 ,在 中,利用勾股定理得:
所以0.4秒时,P、Q间的距离等于 ...............4分
(2)设y秒钟后,△BPQ的面积等于△ABC面积的一半
则
解得
∴ 秒后,△BPQ的面积等于△ABC面积的一半。...........8分
22.(1)证明:连结OD,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠C=∠A=∠B=60°,
而OD=OB,
∴△ODB是等边三角形,∠ODB=60°,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切线;...........................4分
(2)解:∵△ODB是等边三角形,且OB=
∴BD=6
∴CD=6
在Rt△CDF中,∠C=60°,
∴∠CDF=30°,
∴CF= =3
∴AF=AC-CF=12-3=9............................9分
23.解:(1)y=(x-60)[300-10(x-80)]
=(x-60)(300-10x+800)
=(x-60)(1100-10x)
=
即y= …………………………………………………………5分
(2)y= = .
因为-10<0,所以当x=85时,y有值, =6250.…………………10分
即单价定为85元时,每月销售商品的利润,利润为6250元
24.解:(1)∵A(4,0),B(-1,0),
∴AB=5,半径是PC=PB=PA= 。∴OP= 。
在△CPO中,由勾股定理得: 。∴C(0,2)。
设经过A、B、C三点抛物线解析式是 ,
把C(0,2)代入得: ,∴ 。
∴ 。
∴经过A、B、C三点抛物线解析式是 ,...................6分
(2)∵ ,∴M 。
设直线MC对应函数表达式是y=kx+b,
把C(0,2),M 代入得: ,解得 。
∴直线MC对应函数表达式是 。..........................9分
(3)(3)MC与⊙P的位置关系是相切。证明如下:
设直线MC交x轴于D,
当y=0时, ,∴ ,OD= 。∴D( ,0)。
在△COD中,由勾股定理得: ,
又 , ,
∴CD2+ PC2=PD2。
∴∠PCD=90º,即PC⊥DC。
∵PC为半径,
∴MC与⊙P的位置关系是相切。......................12分
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