一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1．二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（ ）
A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=﹣1
2．在△ABC中，∠C=90°，cosA= ，那么sinA的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3）
4．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． y=﹣（x﹣1）2﹣3 B． y=﹣（x+1）2﹣3 C． y=﹣（x﹣1）2+3 D． y=﹣（x+1）2+3
5．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③
6．如图：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BD=1，AC= ，则AD等于（ ）
A． 1 B． C． 2 D． 3
7．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为P．若PA=2，PB=8，则CD的长为（ ）
A． 2 B． 4 C． 8 D．
8．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．二次函数y=ax2+4x+a的值是3，则a的值是 ．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，则cosA= ．
11．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8 cm，那么OM的长为 cm．
12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号） ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算： cos45°﹣ tan60°﹣（﹣2010）0+2﹣1．
14．在△ABC中，∠A=30，tanB= ，BC= ．求AB的长．
15．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，求tanC的值．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（2，0）、（4，0），顶点到x轴的距离为3，求函数的解析式．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=8，∠BOC=60°，OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）求劣弧AC的长．
18．如图，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，∠A=15°．
（1）求CD的长；
（2）求tanA的值．
四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题4分，第22题6分）
19．已知二次函数y=x2+4x+3．
（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）写出当x为何值时，y＞0．
20．已知：抛物线y=（m﹣1）x2+mx+m2﹣4的图象经过原点，且开口向上．
（1）确定m的值；
（2）求此抛物线的顶点坐标；
（3）当x取什么值时，y随x的增大而增大？
（4）当x取什么值时，y＜0？
21．如图，海上有一个小岛P，它的周围12海里有暗礁，渔船由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东行驶，有没有触礁的危险，通过计算说明．
22．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元出售，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的数量是y台，请写出y与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是z元，请写出z与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
（3）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；
（1）求a的值；
（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．
24．如图，抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB的宽为20m．涨水时水面上升了3m，达到了警戒水位，这时水面宽CD=10m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当水位继续以每小时0.2m的速度上升时，再经过几小时就到达拱顶？
25．下图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB= S△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
2014-2015学年北京六十三中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1．二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（ ）
A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=﹣1
考点： 二次函数的性质．
分析： 根据二次函数的对称轴公式直接解答即可．
解答： 解：y=x2﹣2x+3中，
a=1，b=﹣2，c=3，
x=﹣ =﹣ =1．
故选C．
点评： 本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的对称轴公式是解题的关键．
2．在△ABC中，∠C=90°，cosA= ，那么sinA的值等于（ ）
A． B． C． D．
考点： 同角三角函数的关系．
分析： 根据公式cos2A+sin2A=1解答．
解答： 解：∵cos2A+sin2A=1，cosA= ，
∴sin2A=1﹣ = ，
∴sinA= ．
故选B．
点评： 本题考查公式cos2A+sin2A=1的利用．
3．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3）
考点： 二次函数的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．
解答： 解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．
故选B．
点评： 主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
4．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． y=﹣（x﹣1）2﹣3 B． y=﹣（x+1）2﹣3 C． y=﹣（x﹣1）2+3 D． y=﹣（x+1）2+3
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 压轴题．
分析： 利用二次函数平移的性质．
解答： 解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），
当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），
则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．
故选：D．
点评： 本题主要考查二次函数y=ax2、y=a（x﹣h）2、y=a（x﹣h）2+k的关系问题．
5．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③
考点： 命题与定理．
分析： 判断命题是否为假命题，就要判断由题设能否推出结论，能推出，则该命题为真命题；不能推出，则该命题为假命题．
解答： 解：①由于圆沿着每条直径所在直线对折后能够完全重合，所以圆是轴对称图形；由于圆绕着圆心旋转180°后能与本身重合，所以圆是中心对称图形；所以此命题为真命题，故本选项正确；
②垂直于弦的直径平分弦，符合垂径定理，是真命题，故本选项正确；
③相等的圆心角所对的弧相等，说法不确切，应为“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，故本选项错误；
故选A．
点评： 考查了命题与定理，不仅要熟悉命题的概念，还要熟悉圆的定义及相关知识，难度不大．
6．如图：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BD=1，AC= ，则AD等于（ ）
A． 1 B． C． 2 D． 3
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 根据∠BAC=90°，AD⊥BC，得到∠BAC=∠ADC=90°，由于∠C=∠C，证得△ABC∽△ADC，得到比例式 ，求得CD，根据勾股定理即可得到结论．
解答： 解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△ADC，
∴ ，
∴AC2=BC•CD，
即（2 ）2=（1+CD）•CD，
解得：CD=4（负值舍去），
∴AD= = =2．
故选C．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
7．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为P．若PA=2，PB=8，则CD的长为（ ）
A． 2 B． 4 C． 8 D．
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 连接OC，根据PA=2，PB=8可得CO=5，OP=5﹣2=3，再根据垂径定理可得CD=2CP=8．
解答： 解：连接OC，
∵PA=2，PB=8，
∴AB=10，
∴CO=5，OP=5﹣2=3，
在Rt△POC中：CP= =4，
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CD=2CP=8，
故选：C．
点评： 此题主要考查了勾股定理和垂径定理，关键是掌握平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
8．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．
分析： 根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
解答： 解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D不正确；
由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=﹣ ＞0，且a＞0，则b＜0，
但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．
故选：C．
点评： 应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．二次函数y=ax2+4x+a的值是3，则a的值是 ﹣1 ．
考点： 二次函数的最值．
分析： 根据二次函数的值公式列出方程计算即可得解．
解答： 解：由题意得， =3，
整理得，a2﹣3a﹣4=0，
解得a1=4，a2=﹣1，
∵二次函数有值，
∴a＜0，
∴a=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评： 本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，则cosA= ．
考点： 锐角三角函数的定义．
分析： 首先求得c的长度，然后由余弦函数的定义求解即可．
解答： 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：c= = = ．
cosA= = ．
故答案为： ．
点评： 本题主要考查的是勾股定理和锐角三角函数的定义，掌握余弦函数的定义是解题的关键．
11．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8 cm，那么OM的长为 3 cm．
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 根据垂径定理及勾股定理即可求出．
解答： 解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB
最短的是垂直平分直径的弦CD
已知AB=10cm，CD=8cm
则OD=5cm，MD=4cm
由勾股定理得OM=3cm．
点评： 此题主要考查学生对垂径定理及勾股定理的运用．
12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号） ②④ ．
考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题．
分析： 首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来判断出a、b、c的位置，进而判断各结论是否正确．
解答： 解：根据二次函数的图象知：
抛物线开口向上，则a＞0；（⊙）
抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣ ＞0，即b＜0；（△）
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；（□）
①由（□）知：c＜0，故①错误；
②由图知：当x=1时，y＜0；即a+b+c＜0，故②正确；
③由（⊙）（△）可知：2a＞0，﹣b＞0；所以2a﹣b＞0，故③错误；
④由于抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
由（⊙）知：a＞0，则8a＞0；所以b2+8a＞4ac，故④正确；
所以正确的结论为②④．
点评： 由图象找出有关a，b，c的相关信息以及抛物线的交点坐标，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a﹣b+c，然后根据图象判断其值．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算： cos45°﹣ tan60°﹣（﹣2010）0+2﹣1．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一、二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式= × ﹣ × ﹣1+
=﹣1．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．在△ABC中，∠A=30，tanB= ，BC= ．求AB的长．
考点： 解直角三角形．
分析： 作CD⊥AB于D，先解Rt△BCD，求出CD、BD；然后在Rt△ACD中利用∠A的正切求出AD的长；那么根据AB=AD+BD即可求解．
解答： 解：作CD⊥AB于D．
设CD=x，根据题意得BD=3x．
在Rt△BCD中，由勾股定理得x2+（3x）2=（ ）2，
解得x=1．
所以CD=1，BD=3．
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，tanA= ，
∴AD= = ．
∴AB=AD+BD= +3．
点评： 本题考查了解直角三角形，作辅助线把三角形分解成两个直角三角形，再利用三角函数求解．
15．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，求tanC的值．
考点： 解直角三角形．
分析： 首先根据所给比例求得AD与DC的比值，从而可求得答案．
解答： 解：∵AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，
∴AD：BD：DC=8：12：15．
∴AD：DC=8：15．
∵AD⊥BC，
∴tanC= ．
点评： 本题主要考查的是锐角三角函数的定义，根据已知条件求得AD：BD：DC=8：12：15是解题的关键．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（2，0）、（4，0），顶点到x轴的距离为3，求函数的解析式．
考点： 抛物线与x轴的交点．
分析： 根据已知条件易求顶点为（3，3）或（3，﹣3）．所以设该二次函数的解析式为顶点式y=a（x﹣3）2±3（a≠0）．
解答： 解：由题意知，顶点为（3，3）或（3，﹣3）．设抛物线的表达式为y=a（x﹣3）2±3（a≠0）．
①当顶点为（3，3）时，
∵抛物线过（2，0），
∴a（2﹣3）2+3=0，
∴a=﹣3．
∴抛物线解析式为y=﹣3（x﹣3）2+3，即y=﹣3x2+18x﹣24；
②当顶点为（3，﹣3）时，∵抛物线过（2，0），
∴a（2﹣3）2﹣3=0，
∴a=3．
∴抛物线解析式为y=3（x﹣3）2﹣3，即y=3x2﹣18x+24．
点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，要分类讨论，以防漏解．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=8，∠BOC=60°，OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）求劣弧AC的长．
考点： 垂径定理；三角形中位线定理；圆周角定理；弧长的计算．
分析： （1）由垂径定理知，由E是AC的中点，点O是AB的中点，则OB是△ABC的BC边对的中位线，所以OE= BC；
（2）由圆周角定理得∠A= ∠BOC=30°，根据平角的意义求得∠AOC的度数，再利用弧长公式求得弧AC的长．
解答： 解：（1）∵OE⊥AC，垂足为E，AE=EC，
∵AO=B0，
∴OE= BC=4；
（2）∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，
∴∠A= ∠BOC=30°，
在Rt△AOE中，sinA= ，即OA= = =8，
∵∠AOC=180°﹣60°=120°，
∴弧AC的长= = π．
点评： 本题利用了垂径定理，三角形中位线的性质，圆周角定理，正弦的概念，弧长公式求解．
18．如图，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，∠A=15°．
（1）求CD的长；
（2）求tanA的值．
考点： 解直角三角形．
分析： （1）根据30°所对的直角边是斜边的一半进行计算；
（2）根据锐角三角函数的概念，只需求得AD的长，再根据勾股定理求得BD的长即可．
解答： 解：（1）在Rt△BDC中，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，
∴ ；
（2）在Rt△BDC中，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，
∵ ，
∴ ．
∵∠CBD=30°，∠A=15°，
∴∠A=∠ACB，
．∴AB=BC=10．
∴在Rt△CAD中， ．
点评： 此题综合运用了30°的直角三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的概念．
四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题4分，第22题6分）
19．已知二次函数y=x2+4x+3．
（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）写出当x为何值时，y＞0．
考点： 二次函数的三种形式；二次函数的图象．
专题： 应用题．
分析： （1）根据配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
（2）画图象的步骤：列表、描点、连线；
（3）当y＞0时，即图象在x轴上方的部分，再写出x的取值范围．
解答： 解：（1）y=x2+4x+3，
y=x2+4x+4﹣4+3，
y=x2+4x+4﹣1，
y=（x+2）2﹣1；
（2）列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
图象见图．
（3）由图象可知，当x＜﹣3或x＞﹣1时，y＞0．
点评： 本题考查了二次函数的解析式的形式及抛物线的画法，注意：二次函数的解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
20．已知：抛物线y=（m﹣1）x2+mx+m2﹣4的图象经过原点，且开口向上．
（1）确定m的值；
（2）求此抛物线的顶点坐标；
（3）当x取什么值时，y随x的增大而增大？
（4）当x取什么值时，y＜0？
考点： 二次函数的性质．
分析： （1）图象经过原点，即x=0时，y=0，列方程求解，同时要注意开口向上，即m﹣1＞0；
（2）把得出抛物线的一般式用配方法转化为顶点式，可求顶点坐标；
（3）画抛物线时，要明确表示抛物线与x轴，y轴的交点，顶点坐标及开口方向等；
（4）观察图象，可直接得出y＜0时，x的取值范围．
解答： 解：（1）由题意得 ，
解得m=2；
（2）∵抛物线解析式为y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴顶点坐标是（﹣1，﹣1）；
（3）抛物线如图如图所示；由图可知，x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
（4）由图可知，当﹣2＜x＜0时，y＜0．
点评： 考查了二次函数的性质，抛物线的顶点式适合与确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，（小）值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定函数值y＞0，y=0，y＜0．
21．如图，海上有一个小岛P，它的周围12海里有暗礁，渔船由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东行驶，有没有触礁的危险，通过计算说明．
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
分析： 过点P作PD⊥AB于D，在Rt△PBD和Rt△PAD中，根据三角函数AD，BD就可以PD表示出来，根据AB=12海里，就得到一个关于PD的方程，求得PD．从而可以判断如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险．
解答： 解：没有触礁危险．
理由：过点P作PD⊥AC，交AB延长线于D．
设PD为x，在Rt△PBD中，
∠PBD=90°﹣45°=45°．
∴BD=PD=x．
在Rt△PAD中，
∵∠PAD=90°﹣60°=30°
∴AD= = x，
∵AD=AB+BD，
∴ x=12+x
∴x= =6（ +1），
∵6（ +1）＞12，
∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险．
点评： 本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，构造直角三角形是解题的前提和关键．
22．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元出售，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的数量是y台，请写出y与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是z元，请写出z与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
（3）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： （1）用x占50的分数乘以4，再加上8台，整理即可得解；
（2）用每一台冰箱的利润乘以一天销售台数，整理即可得解；
（3）根据利润的函数解析式，令z=4800，解关于x的一元二次方程，再根据使百姓得到实惠解答．
解答： 解：（1）根据题意得：y=8+4× = x+8；
（2）根据题意得：z=（400﹣x）•（ x+8）=﹣ x2+24x+3200；
（3）根据题意得：﹣ x2+24x+3200=4800，
整理，x2﹣300x+20000=0，
（x﹣100）（x﹣200）=0，
解得，x1=200，x2=100，
∵要使这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，
∴x=200．
答：要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠每台应降200元．
点评： 本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，（1）根据x所占50的分数列出销售台数是解题的关键，（3）要注意使百姓得到实惠的条件限制．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；
（1）求a的值；
（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．
考点： 二次函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）将B点坐标代入抛物线C1的解析式中，即可求得待定系数a的值．
（2）在抛物线平移过程中，抛物线的开口大小没有发现变化，变化的只是抛物线的位置和开口方向，所以C3的二次项系数与C1的互为相反数，而C3的顶点M与C1的顶点P关于原点对称，P点坐标易求得，即可得到M点坐标，从而求出抛物线C3的解析式．
解答： 解：（1）∵点B是抛物线与x轴的交点，横坐标是1，
∴点B的坐标为（1，0），
∴当x=1时，0=a（1+2）2﹣5，
∴ ．
（2）设抛物线C3解析式为y=a′（x﹣h）2+k，
∵抛物线C2与C1关于x轴对称，且C3为C2向右平移得到，
∴ ，
∵点P、M关于点O对称，且点P的坐标为（﹣2，﹣5），
∴点M的坐标为（2，5），
∴抛物线C3的解析式为y=﹣ （x﹣2）2+5=﹣ x2+ x+ ．
点评： 此题主要考查的是二次函数解析式的确定、二次函数图象的几何变化以及系数与函数图象的关系，需要熟练掌握．
24．如图，抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB的宽为20m．涨水时水面上升了3m，达到了警戒水位，这时水面宽CD=10m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当水位继续以每小时0.2m的速度上升时，再经过几小时就到达拱顶？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）先设抛物线的解析式为y=ax2，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求解；
（2）由（1）可知抛物线的解析式，把b=﹣1代入即可求出CD的长度，进而求出时间．
解答： 解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2．
设D（5，b），则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y=ax2得： ，
解得 ，
∴y=﹣ x2；
（2）∵b=﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1， =5小时．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
点评： 本题主要考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题
25．下图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB= S△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
考点： 二次函数综合题．
专题： 压轴题．
分析： （1）由顶点坐标确定m、k的值，再令y=0求得图象与x轴的交点坐标；
（2）设存在这样的P点，由于底边相同，求出△PAB的高|y|，将y求出代入二次函数表达式求得P点坐标；
（3）画出翻转后新的函数图象，由直线y=x+b，b＜1确定出直线移动的范围，求出b的取值范围．
解答： 解：（1）因为M（1，﹣4）是二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标，
所以y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3，
令x2﹣2x﹣3=0，
解之得x1=﹣1，x2=3．
∴A，B两点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0）；（4分）
（2）在二次函数的图象上存在点P，使 ，
设P（x，y），
则 ，
又∵ ，
∴ ．
∵二次函数的最小值为﹣4，
∴y=5．
当y=5时，x=﹣2或x=4．
故P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
（3）如图，当直线y=x+b经过A（﹣1，0）时﹣1+b=0，可得b=1，又因为b＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
当直线y=x+b经过点B（3，0）时，3+b=0，则b=﹣3，
由图可知符合题意的b的取值范围为﹣3＜b＜1时，直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点．
点评： 本题考查了由函数图象确定坐标，以及给出面积关系求点的坐标和直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．
