第八课时:26.2 用函数的观点看一元二次方程(2)
教学目标:
1.复习巩固用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解。
2.让学生体验函数y=x2和y=bx+c的交点的横坐标是方程x2=bx+c的解的探索过程,掌握用函数y=x2和y=bx+c图象交点的方法求方程ax2=bx+c的解。
3.提高学生综合解题能力,渗透数形结合思想。
重点;用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。
难点:提高学生综合解题能力,渗透数形结合的思想是教学的难点。
教学过程:
一、复习巩固 导入新课
1.如何运用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c的解?
2.画出函数y=2x2-3x-2的图象,求方程2x2-3x-2=0的解。
学生练习的同时,教师巡视指导,根据学生情况进行讲评。 (解:略)
二、探索问题 学习新知
1、问题1:初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论:求方程x2=12x十3的解时,几乎所有学生都是将方程化为x2-12x-3=0,画出函数y=x2-12x-3的图象,观察它与x轴的交点,得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项,而是分别画出了函数y=x2和y=12x+2的图象,如图(3)所示,认为它们的交点A、B的横坐标-32和2就是原方程的解.
思考:
(1). 这两种解法的结果一样吗? 小刘解法的理由是什么?
(让学生讨论,交流,发表不同意见,并进行归纳。)
(2).函数y=x2和y=bx+c的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明?
(3)函数y=x2和y=bx+c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2=bx+c的解吗?
(4).如果函数y=x2和y=bx+c图象没有交点,一元二次方程x2=bx+c的解怎样?
2、做一做(验证一下问题1的思路是否正确)
利用图像解下列方程的解,并检验小刘的方法是否合理。
(1)x2+x-1=0(精确到0.1); (2)2x2-3x-2=0。
注意:①要把(1)的方程转化为x2=-x+1,画函数y=x2和y=-x+1的图象;
②要把(2)的方程转化为x2=32x+1,画函数y=x2和y=32x+1的图象;
3、运用新知
已知抛物线y1=2x2-8x+k+8和直线y2=mx+1相交于点P(3,4m)。
(1)求这两个函数的关系式;
(2)当x取何值时,抛物线与直线相交,并求交点坐标。
解:(1)因为点P(3,4m)在直线y2=mx+1上,所以有4m=3m+1,解得m=1
所以y1=x+1,P(3,4)。 因为点P(3,4)在抛物线y1=2x2-8x+k+8上,所以有
4=18-24+k+8 解得 k=2 所以y1=2x2-8x+10
(2)依题意,得y=x+1y=2x2-8x+10 解这个方程组,得x1=3y1=4 ,x2=1.5y2=2.5
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3,4),(1.5,2.5)。
三、小结: 1.如何用画函数图象的方法求方程韵解?
2.你能根据方程组:y=x2y=bx+c的解的情况,来判定函数y=x2与y=bx+c图象交点个数吗?请说说你的看法。
四、作业:
1. 利用函数的图象求下列方程的解:
(1)x2+x-6=0;, (2) y=x2+xy=5x-4
2.填空。
(1)抛物线y=x2-x-2与x轴的交点坐标是______,与y轴的交点坐标是______。
(2)抛物线y=2x2-5x+3与y轴的交点坐标是______,与x轴的交点坐标是______。
4.已知抛物线y1=x2+x-k与直线y=-2x+1的交点的纵坐标为3。
(1)求抛物线的关系式;
(2)求抛物线y=x2+x-k与直线y=-2x+1的另一个交点坐标.
五、板书:
第九课时26.1 实际问题与二次函数
教学目标:
1.能根据实际问题列出函数关系式、
2.使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量x的取值范围。
3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识。
重点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,应用函数的性质解答数学问题
难点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围,
教学过程:
一、复习旧知 导入新课
1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y=6x2+12x; (2)y=-4x2+8x-10
以上两个函数,哪个函数有值,哪个函数有最小值?说出两个函数的值、最小值分别是多少?
有了前面所学的知识,现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。
二、学习新知
1、应用二次函数的性质解决生活中的实际问题
出示例1、要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地,矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化,当L是多少时,围成的矩形面积S?
解:设矩形的一边为Lm,则矩形的另一边为(30-L)m,由于L>0,且30-L>O,所以O<L<30。
围成的矩形面积S与L的函数关系式是
S=L(30-L)
即S=-L2+30L
(有学生自己完成,老师点评)
2、引导学生自学P23页例2 质疑 点评
3、练一练:
(1)、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件,该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润?
请同学们完成解答; 教师巡视、指导; 师生共同完成解答过程:
解:设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元。
商品每天的利润y与x的函数关系式是: y=(10-x-8)(100+1OOx)
即y=-1OOx2+1OOx+200 配方得y=-100(x-12)2+225
因为x=12时,满足0≤x≤2。 所以当x=12时,函数取得值,值y=225。
所以将这种商品的售价降低0.5元时,能使销售利润。
小结:让学生回顾解题过程,讨论、交流,归纳解题步骤:
(1)先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;
(2)研究自变量的取值范围;
(3)研究所得的函数;
(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值:
(5)解决提出的实际问题。
4、综合练习:P26 习题第1、2、3题。
三、小结: 1.通过本节课的学习,你学到了什么知识?存在哪些困惑?
2.谈谈你的收获和体会。
四、作业:
1.已知一个矩形的周长是24cm。(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少时,S?
2.填空:
(1)二次函数y=x2+2x-5取最小值时,自变量x的值是______;
(2)已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,那么m的值是______。
3.如图(1)所示,要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,没靠墙的篱笆长度为xm。
(1)要使鸡场的面积,鸡场的长应为多少米?
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积,鸡场的长应为多少米?
(3)比较(1)、(2)的结果,你能得到什么结论?
选做题:用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时,才能使做成的窗框的透光面积?透光面积是多少?
五、板书
第十课时26.1实际问题与二次函数
教学目标:
1.能根据实际问题列出函数关系式、
2.使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量x的取值范围。
3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识。
重点:根据实际问题建立二次函数不同的数学模型,应用函数的性质解答数学问题
难点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围,
教学过程:
一、复习旧知 导入新课
(1)建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。O恰好在水面中心,布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA任意平面上的抛物线如图(5)所示,建立直角坐标系(如图(6)),水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+52x+32,请回答下列问题:
(1)花形柱子OA的高度;
(2)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水不至于落在池外?
(2).如图(7),一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线y=-15x2+3.5
二、学习新知
1、引导学生自学P24页例2(既探究2) 质疑 点评
出示例3 P25 引导学生应用不同的方法去构建数学模型
重点讲解例3
2、练一练:
(1).如图是抛物线拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽46米,水位上升3米就达到警戒线CD,这时水面宽43米,若洪水到来时,水位以每小时0.25米速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
三、小结:
1.通过本节课的学习,你学到了什么知识?存在哪些困惑?
2.谈谈你的收获和体会。
四、作业:
一个涵洞成抛物线形,它的截面如图(3)所示,现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时,离开水面1.5m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?
五、板书
第十一课时《二次函数》小结与复习1
教学目标:
1、 理解二次函数的概念,掌握二次函数y=ax2的图象与性质;
2、 会用描点法画抛物线,能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向;
3、 能较熟练地由抛物线y=ax2经过适当平移得到y=a(x-h)2+k的图象。
重点:用配方法求二次函数的顶点、对称轴,由图象概括二次函数y=ax2图象的性质。
难点:二次函数图象的平移。
教学过程:
一、结合例题,强化练习,梳理知识点
1.二次函数的概念,二次函数y=ax2 (a≠0)的图象性质。
例1:已知函数 是关于x的二次函数,
求:(1)满足条件的m值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,函数有值?值是什么?这时当x为何值时,y随x的增大而减小?
学生活动:学生四人一组进行讨论,并回顾例题所涉及的知识点,让学生代表发言分析解题方法,以及涉及的知识点。
抛物线的增减性要结合图象进行分析,要求学生画出草图,渗透数形结合思想,进行观察分析。
2.强化练习;已知函数 是二次函数,其图象开口方向向下,则m=_____,顶点为_____,当x_____0时,y随x的增大而增大,当x_____0时,y随x的增大而减小。
3.用配方法求抛物线的顶点,对称轴;抛物线的画法,平移规律,
例2:用配方法求出抛物线y=-3x2-6x+8的顶点坐标、对称轴,并画出函数图象,说明通过怎样的平移,可得到抛物线y=-3x2。
学生活动:小组讨论配方方法,确定抛物线画法的步骤,探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。
4.教师归纳点评:
(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义,指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系: y=ax2+bx+c————→y=a(x+b2a)2+4ac-b24a
(2)强调利用抛物线的对称性进行画图,先确定抛物线的顶点、对称轴,利用对称性列表、描点、连线。
(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动。
5.综合应用。
例3:如图,已知直线AB经过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B、C两点,已知B点坐标为(1,1)。
(1)求直线和抛物线的解析式;
(2)如果D为抛物线上一点,使得△AOD与△OBC的面积相等,求D点坐标。
6. 强化练习:
(1)抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,求:b与c的值。
(2)通过配方,求抛物线y=12x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标再画出图象。
(3)函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1,b),求:
a和b的值
抛物线y=ax2的顶点和对称轴;
x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大,
求抛物线与直线y=-2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。
二、课堂小结
1.让学生反思本节教学过程,归纳本节课复习过的知识点及应用。
三、作业:
填空。
1.若二次函数y=(m+1)x2+m2-2m-3的图象经过原点,则m=______。
2.函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k=______,b=______。
3.抛物线y=-13(x-1)2+2可以由抛物线y=-13x2向______方向平移______个单位,再向______方向平移______个单位得到。
4.用配方法把y=-12x2+x-52化为y=a(x-h)2+k的形式为y=_____,其开口方向______,对称轴为______,顶点坐标为______。
第十二课时《二次函数》小结与复习2
教学目标:
1、 会用待定系数法求二次函数的解析式,
2、 能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质,
3、 能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。
重点;用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
难点:会运用二次函数知识解决有关综合问题。
教学过程:
一、结合例题,强化练习,梳理知识点
1、用待定系数法确定二次函数解析式.
例1:根据下列条件,求出二次函数的解析式。
(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,1),(1,3),(-1,1)三点。
(2)抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6)。
(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(3,0),(2,-3)两点,并且以x=1为对称轴。
(4)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=-3/2x+3的图象与x轴、y轴的交点;且过(1,1),求这个二次函数解析式,并把它化为y=a(x-h)2+k的形式。
学生活动:学生讨论,四个小题应选择什么样的函数解析式?并让学生阐述解题方法。分组完成,点评解题要点。
教师归纳:二次函数解析式常用的有三种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c (a≠0)
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k (a≠0)
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
2、强化练习:已知二次函数的图象过点A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点纵坐标为m。
(1)若m为定值,求此二次函数的解析式;
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围。
二、综合练习
1、出示例2:如图,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C。
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标,
(3)若点M在第四象限内的抛物线上,且OM⊥BC,垂足为D,求点M的坐标。
学生活动:学生小组讨论交流。
教师归纳:
2、 强化练习;已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1。
(1)求证不论m为何值,函数图象与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点。
(2)当m为何值时,函数图象过原点,并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。
(3)若函数图象的顶点在第四象限,求m的取值范围。
三、课堂小结
同位同学相互说说二次函数有哪些性质
归纳二次函数三种解析式的实际应用。
四、作业:
一、填空。
1. 如果一条抛物线的形状与y=-13x2+2的形状相同,且顶点坐标是(4,-2),则它的解析式是_____。
2.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且过(3,0),则a+b+c=______。
二、选择。
1.如图(1),二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>0,bc>0 B. a<0,bc<0 C. a>O,bc<O D. a<0,bc>0
2.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(2)所示,那么函数解析式为( )
A.y=-x2+2x+3 B. y=x2-2x-3
C.y=-x2-2x+3 D. y=-x2-2x-3
3.若二次函数y=ax2+c,当x取x1、x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为( )
A.a+c B. a-c C.-c D. c
4.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(3)所示,下列结论中: ①abc>0,②b=2a;③a+b+c<0,④a-b+c>0,正确的个数是( )
A.4个 B.3个 C. 2个 D.1个
三、解答题。
已知抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m-2。
(1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点,
(2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标xA、xB,以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示)
(3)设△ABC的面积为6,且A、B两点在y轴的同侧,求抛物线的解析式。
下一篇:返回列表