Ⅱ 终边落在x轴上的角的集合:,z 终边落在y轴上的角的集合:,z,z终边落在与坐标轴上的角的集合:
22
360度2 弧度
l r
11Sl r r2
221180.弧度
180 1 弧度度180 弧度倒数关系:SinCsc1 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1
CosSec1
tan21Sec2
平方关系:Sin2Cos1 21Cot2Csc2
乘积关系:SintanCos , 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积
Ⅲ 诱导公式 终边相同的角的三角函数值相等
Sin2kSin , kz Cos2kCos , kz
tan2ktan , kz
角与角关于x轴对称SinSin
CosCos
tantan
角与角关于y轴对称SinSin
CosCos
tantan 角与角关于原点对称SinSin
tantanCosCos
角
2与角关于yx对称Sin
CosCos2 CosSin
CosSin22
tancottancot22
上述的诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”
Ⅳ 周期问题
2yACosx , A0 , 0 , TyASinx , A0 , 0 , TyACosx , A0 , 0 , T
yASinx b , A0 , 0 , b 0 , T2yASinx , A0 , 0 , T2
2yACosx b , A0 , 0 , b0 , TTyAcotx , A0 , 0 ,
yAtanx , A0 , 0 , T
yAcotx , A0 , 0 , T
Ⅴ 三角函数的性质
yAtanx , A0 , 0 , T怎样由ySinx变化为yASinxk ? 振幅变化:ySinx左右伸缩变化:
y 左右平移变化 x)
上下平移变化yASin(x)k
Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量 a,a0,b,如果有
一个实数,使得,,则与与是共线向量 那么又且只有一个实数,使得.
Ⅶ 线段的定比分点
.
OP
当1时 当1时
Ⅷ 向量的一个定理的类似推广
向量共线定理:
推广
平面向量基本定理: ae e , 其中e1,e21122
不共线的向量
推广
1e1 2e2 3e3,
空间向量基本定理: 其中e,e,e为该空间内的三个123
不共面的向量
Ⅸ一般地,设向量x1,y1,x2,y2且,如果∥那么x1y2x2y10 反过来,如果x1y2x2y10,则∥.
Ⅹ 一般地,对于两个非零向量a,b 有 ,其中θ为两向量的夹角。
Cos
x1x2y1y2x1
2
y1
2
x2
2
y2
2
特别的,
2
Ⅺ
如果 x1,y1 , x2,y2 且 , 则x1x2y1y2特别的 , abx1x2y1y20
Ⅻ 若正n边形A1A2An的中心为O , 则OA1OA2OAn
三角形中的三角问题
ABC ABC ,ABC,-2
2
2
2
2
ABC
SinABSinC CosABCosC SinCos
22
ABCCosSin
22
正弦定理:
abcabc
2R SinASinBSinCSinASinBSinC
余弦定理:
a2b2c22bcCosA , b2a2c22acCosB cab2abCosC
2
2
2
b2c2a2a2c2b2CosA , CosB
2bc2ac
变形: 222
abc
CosC 2ab
tanAtanBtanCtanAtanBtanC
三角公式以及恒等变换
两角的和与差公式:SinSinCosCosSin , S()
SinSinCosCosSin , S()
CosCosCosSinSin , C()CosCosCosSinSin , C()tantan
, T()
1tantantantan
tan , T()
1tantantan
二倍角公式:
Sin22SinCos
Cos22Cos112SinCosSin
2tan
tan2
1tan2
2
2
2
2
tantantan1tantan
变形: tantantan1tantan
tantantantantantan
其中,,为三角形的三个内角
半角公式:
Sin
2
1Cos2
CosCos
22
2
tan
2
1CosSin1Cos
1Cos1CosSin
降幂扩角公式:Cos21Cos2, Sin21Cos2
2
1
SinSin21
积化和差公式:CosSinSinSin
21
CosCosCosCos
21
SinSinCosCos
2
SinCos
SinSin2SinCos
22
SinSin2CosSin
和差化积公式:22
CosCos2CosCos
22
CosCos2SinSin
22
2tan
Sin
SS2SC
( SS2CS)
CC2CCCC2SS
1tan2
2
万能公式:
1tan2
Cos
1tan2
2
( STC )
tan
2tan
1tan2
2
3
三倍角公式:Sin33Sin4Sin
3tantan3
tan3
313tan2Cos34Cos3Cos
“三四立,四立三,中间横个小扁担”
1. yaSinbCos
b
aa
2. yaCosbSina2b2Sin 其中 , tan
bb
a2b2Cos 其中 , tanab
3. yaSinbCosa2b2Sin 其中 , tan
aa
a2b2Cos 其中 , tanb
a2b2Sin 其中 , tan
4. yaCosbSin
a2b2Sin
a
bb
a2b2Cos 其中 , tana
注:不同的形式有不同的化归,相同的形式也有不同的化归,进而可以 a2b2Sin 其中 , tan求解最值问题. 不需要死记公式,只要记忆 1. 的推导即表达技巧,其它的就可以直接写出.
一般是表达式第一项是正弦的就用两角和与差的正弦来靠,第一项是余弦的就用两角和与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握.
tantan
, T()
♣ 补充: 1. 由公式 1tantan
tantan
tan , T()
1tantan
tan
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可以推导 : 当 在有些题目中应用广泛。
2. tantantantantantan 3. 柯西不等式(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.
补充
1.常见三角不等式:(1)若x(0,
(2) 若x(0,
2
2
2
2
2
4
时, z , 1tan1tan2
2
),则sinxxtanx.
2
22
2. sin()sin()sinsin(平方正弦公式);
),则1sinxcosx|sinx||cosx|1.
cos()cos()cos2sin2.
asinbcos
)(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,
b
tan ).
a
3. 三倍角公式 :sin33sin4sin4sinsin(
3
)sin(). 33
cos34cos33cos4coscos()cos().333tantan3
tan3tantan()tan().
13tan233
4.三角形面积定理:(1)S
111
ahabhbchc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边222
上的高).
111
absinCbcsinA
casinB.(3)222
SOAB5.三角形内角和定理在△ABC中,有ABCC(AB)
CAB2C22(AB).
222
(2)S
6. 正弦型函数yAsin(x)的对称轴为x
k
(kZ);对称中心
为(
k
,0)(kZ);类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心;
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〈三〉易错点提示: 1. 在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、
余弦函数的有界性了吗? 2. 在三角中,你知道1等于什么吗?(
这些统称为1的代换) 常数 “1”
的种种代换有着广泛的应用.
3. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角,异名化同名,高次化低次) 4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?
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